2024届广西桂林十八中高二数学第二学期期末考试试题含解析

2024届广西桂林十八中高二数学第二学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知A＝B＝｛1，2，3，4，5｝，从集合A到B的映射满足：①；②的象有且只有2个，求适合条件的映射的个数为()A．10 B．20 C．30 D．402．已知离散型随机变量的分布列为则的数学期望为（）A． B． C． D．3．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．中国古代数学名著《九章算术•商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方得二堑堵邪解堑堵”錾堵是一个长方体沿不在同一表面上的相对两棱斜截所得的立体图形其正视图和俯视图（直角三角形）如图所示，则该“堑堵”的外接球的大圆面积为（）A． B． C． D．5．现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（）A． B． C． D．6．已知集合，，则集合（）A． B． C． D．7．已知，则方程的实根个数为，且，则（）A． B． C． D．8．某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是（）A．①用系统抽样，②用简单随机抽样 B．①用系统抽样，②用分层抽样C．①用分层抽样，②用系统抽样 D．①用分层抽样，②用简单随机抽样9．函数在闭区间上有最大值3，最小值为2，的取值范围是A． B． C． D．10．已知，，若包含于，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．复数的实部与虚部之差为（）A．-1 B．1C． D．12．已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若（其中i是虚数单位），则实数_____.14．已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x＋1)＝，则f(2018)=________.15．椭圆绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为___________．16．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，高为，为线段的中点，为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率有帮助”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示：60分及以下61～70分71～80分81～90分91～100分甲班（人数）3612159乙班（人数）4716126现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.（1）由以上统计数据填写列联表，并判断是否有的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助；（2）对甲乙两班60分及以下的同学进行定期辅导，一个月后从中抽取3人课堂检测，表示抽取到的甲班学生人数，求及至少抽到甲班1名同学的概率.19．（12分）已知是定义域为的奇函数，且当时，，设“”.（1）若为真，求实数的取值范围；（2）设集合与集合的交集为，若为假，为真，求实数的取值范围.20．（12分）在锐角中，角所对的边分别为，已知．证明：；若的面积，且的周长为10，为的中点，求线段的长．21．（12分）已知数列（）的通项公式为（）.（1）分别求的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和；（2）求的二项展开式中的系数最大的项；（3）记（），求集合的元素个数（写出具体的表达式）.22．（10分）甲，乙两人进行射击比赛，各射击局，每局射击次，射击中目标得分，未命中目标得分，两人局的得分情况如下：甲乙（1）若从甲的局比赛中，随机选取局，求这局的得分恰好相等的概率；（2）从甲，乙两人的局比赛中随机各选取局，记这局的得分和为，求的分布列和数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：将元素按从小到大的顺序排列，然后按照元素在中的象有且只有两个进行讨论.详解：将元素按从小到大的顺序排列，因恰有两个象，将元素分成两组，从小到大排列，有一组；一组；一组；一组，中选两个元素作象，共有种选法，中每组第一个对应集合中的较小者，适合条件的映射共有个，故选D.点睛：本题考查映射问题并不常见，解决此类问题要注意：（）分清象与原象的概念；（）明确对应关系.2、B【解题分析】

根据数学期望公式可计算出的值.【题目详解】由题意可得，故选B.【题目点拨】本题考查离散型随机变量数学期望的计算，意在考查对数学期望公式的理解和应用，考查计算能力，属于基础题.3、B【解题分析】

由题意得，得到复数在复平面内对应的点，即可作出解答.【题目详解】由题意得，e2i＝cos2＋isin2，∴复数在复平面内对应的点为(cos2，sin2)．∵2∈，∴cos2∈(－1，0)，sin2∈(0，1)，∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【题目点拨】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.4、B【解题分析】

首先根据题意得到“堑堵”是半个长方体的直三棱柱，再求其外接球的大圆面积即可.【题目详解】由题知：“堑堵”是半个长方体的直三棱柱，如图所示：设外接球大圆的半径为，.，所以外接球的大圆面积为.故选：B【题目点拨】本题主要考查三棱柱的外接球，同时考查三视图的直观图，属于中档题.5、C【解题分析】先排剩下5人，再从产生的6个空格中选3个位置排甲、乙、丙三人，即，选C.6、B【解题分析】

由并集的定义求解即可.【题目详解】由题,则,故选:B【题目点拨】本题考查集合的并集运算,属于基础题.7、A【解题分析】

由与的图象交点个数可确定；利用二项式定理可分别求得和的展开式中项的系数，加和得到结果.【题目详解】当时，与的图象如下图所示：可知与有且仅有个交点，即的根的个数为的展开式通项为：当，即时，展开式的项为：又本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，涉及到函数交点个数的求解；解题关键是能够将二项式配凑为展开项的形式，从而分别求解对应的系数，考查学生对于二项式定理的综合应用能力.8、D【解题分析】

①总体由差异明显的几部分构成时，应选用分层抽样；②总体个体数有限、逐个抽取、不放回、每个个体被抽到的可能性均等，应选用简单随机抽样；∴选D9、C【解题分析】

本题利用数形结合法解决，作出函数的图象，如图所示，当时，最小，最小值是2，当时，，欲使函数在闭区间，上的上有最大值3，最小值2，则实数的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．【题目详解】解：作出函数的图象，如图所示，当时，最小，最小值是2，当时，，函数在闭区间，上上有最大值3，最小值2，则实数的取值范围是，．故选：．【题目点拨】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．10、B【解题分析】

解一元二次不等式求得集合，根据是的子集列不等式，由此求得的取值范围.【题目详解】由解得，所以，由于且包含于，所以，故的取值范围是.故选：B【题目点拨】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题.11、B【解题分析】试题分析：,故选B.考点：复数的运算.12、A【解题分析】易知在上恒成立，在上单调递减，又.本题选择C选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由可知，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解.【题目详解】因为所以所以【题目点拨】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.14、-1【解题分析】

由已知分析出函数f（x）的值以4为周期，呈周期性变化，可得答案．【题目详解】∵函数f（x）满足：f（1）=2，f（x+1）=，∴f（2）=﹣1，f（1）=﹣，f（4）=，f（5）=2，……即函数f（x）的值以4为周期，呈周期性变化，∵2018=504×4+2，故f（2018）=f（2）=﹣1，故答案为：﹣1．【题目点拨】本题考查的知识点是函数求值，函数的周期性，难度不大，属于中档题．15、【解题分析】

利用定积分在几何中的应用解答；所求为计算可得．【题目详解】解：由，得，将椭圆绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为故答案为：【题目点拨】本题考查了定积分的应用；将旋转得到几何体的体积为，属于基础题．16、【解题分析】

根据极值点个数可确定根的个数，将问题转化为与有两个不同交点，利用数形结合的方式可求得结果.【题目详解】由题意得：.有两个极值点，有两个不等实根，即有两个不等实根，可等价为与有两个不同交点，，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，；当时，；当时，，可得图象如下图所示：由图象可知，若与有两个不同交点，则，解得：，即实数的取值范围为.故答案为：.【题目点拨】本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为导函数为零的方程根的个数，进而进一步转化为两函数交点个数问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见证明；（2）【解题分析】

（1）要证明平面，利用中位线可先证明即可；（2）找出直线与平面所成角为，利用正弦定理即可得到所成角的正弦值.【题目详解】解：（1）证明：在四棱锥中，连结交于点，连结，因为在中，为的中点，为的中点，所以为的中位线，得，又因为平面，平面，所以平面．（2）设，由题意得，因为为的中点，所以，，故平面．所以直线在平面内的射影为直线，为直线与平面所成的角，又因为，所以．由条件可得，，，，所以．在中，，，所以所以，故直线与平面所成角的正弦值为．【题目点拨】本题主要考查线面平行的判定，线面所成角的相关计算，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度中等.18、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）根据题意得到列联表，然后由列联表中的数据得到的值，再结合临界值表可得结论．（2）由题意得到随机变量的所有可能取值，并分别求出对应的概率，进而得到的分布列，于是可得所求．【题目详解】（1）由题意可得列联表如下:优秀人数非优秀人数总计甲班212445乙班271845合计484290由表中数据可得，所以没有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．（2）由题意得60分以下共有7人，其中甲班有3人，所以随机变量显然的所有可能取值为．，，，，所以随机变量的分布列为0123所以，至少抽到1名甲班学生概率为．【题目点拨】在独立性检验中，再求出后查临界值表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的值与求得的相比较．另外，临界值表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性，所以其有关联的可能性为．19、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）由已知可得，函数为上的奇函数、且为增函数，由命题为真，则，所以，从而解得；（2）由集合，若为真，则，因为“为假，为真”等价于“、一真一假”，因此若真假，则；若假真，则.从而可得，实数的取值范围是.试题解析：∵函数是奇函数，∴，∵当时，，∴函数为上的增函数，∵，，∴，∴，若为真，则，解得（2），若为真，则，∵为假，为真，∴、一真一假，若真假，则；若假真，则综上，实数的取值范围是考点：1.函数性质的应用；2.命题的真假判断及其逻辑运算.20、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果；（2）利用题中所给的条件，结合三角形的面积公式求得两条边长，根据三角形的周长求得第三边，之后根据，利用余弦定理得到相应的等量关系式，求得结果.【题目详解】（1）证明：，，，，又，，即.（2）解：又.，.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理，在解题的过程中，需要对题的条件灵活应用，即可求得结果.21、（1），0；（2），；（3）.【解题分析】

（1）根据二项展开式直接得二项式系数之和为，利用赋值法求二项展开