河南省洛阳市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

洛阳市2024年中招模拟考试（一）数学试卷注意事项：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟．2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1.的绝对值是（）A.3 B. C. D.【答案】A解析：解：，的绝对值是3，故选：A．2.天地正清明，最美四月天．2024年清明假期，河南省文化和旅游市场热度延续、高潮迭起．三天假期，河南省接待国内游客1906.9万人次，旅游总收入112.5亿元．与2023年同期相比，接待人次增长9.9%，旅游总收入增长20.6%．数据“112.5亿”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】D解析：解：数据亿用科学记数法可表示为：，故选：D．3.我国古代数学家刘徽利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（）A. B. C. D.【答案】A解析：解：由几何体可得，从左边看到的平面图形为，故选：．4.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C解析：解：A.，运算错误，不符合题意；B.，运算错误，不符合题意；C.运算正确，符合题意；D.运算错误，不符合题意．故选：C．5.如图，已知，于点F，平分，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】D解析：设与相交于点G，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴．故选：D．6.关于x的方程有两个不相等的实数根，m的值可以是（）A. B.1 C. D.2【答案】A解析：解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，，解得：．故的值可以为，故选：A．7.如图，四边形内接于，连接．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D解析：∵四边形内接于，∴，∵，∴，∵与所对的弧都是，∴．故选：D．8.某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：龙门石窟、洛邑古城、龙门海洋馆、洛阳博物馆．为了解学生想法，校方进行问卷调查（每人选一个地点），并绘制成如图所示统计图．已知选择洛邑古城的有360人，那么选择龙门石窟的有（）A.120人 B.240人 C.360人 D.480人【答案】B解析：解：学生总数为：（人），选择龙门石窟的人数为：（人），故选：B．9.如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（）A. B. C. D.(7，0)【答案】A详解】解：∵，∴，∴，∴；∵C是斜边的中点，∴，∵，∴在中，，由平移的性质可得，，∴，∵点E为的中点，∴，在中，，∴，∴，故选：A．10.如图1，点E在正方形的边上，且点P沿从点B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为则最高点N的纵坐标a的值为（）A.6 B. C. D.【答案】C解析：连接，∵四边形是正方形，是其对角线，∴，又，∴，∴，，连接交于点，（三角形两边之和大于第三边）．当点P运动到时，，解得，．连接，则．在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，，故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11.若一次函数（b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是_____（写出一个即可）．【答案】（答案不唯一）解析：解：∵一次函数（b是常数）的图象经过第二、三、四象限，∴．故答案为：（答案不唯一）．12.不等式组的解集为__________．【答案】解析：解：，由①得，，由②得，，故不等式组的解集为．故答案为：．13.人类的性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体、用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等．则一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是_______．【答案】##解析：解：一对夫妇的第一个孩子有女孩和男孩两种情况，所以一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是，故答案为：．14.如图，在中，，，以点A为圆心，边的长为半径作交边于点E，以边为直径作半圆交边于点D，则图中阴影部分的面积为_______．【答案】解析：∵，∴，∴，∴．故答案为：．15.在中，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为_________．【答案】或解析：解：当，且点在上方时，如图所示，过点作的垂线，垂足为，∵，且，∴四边形是正方形，∴，∴．在中，．当，且点在下方时，如图所示，过点作的垂线，垂足为，∵，且，∴四边形是正方形，∴，∴．在中，综上所述：的长为或．故答案为：或．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）计算：；（2）化简：【答案】（1）；（2）解析：解：（1）；（2）．17.某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为310元，370元，580元．洛洛打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．型号平均里程（）中位数（）众数（）A199195C227225225（1）洛洛已经对A，C型号汽车数据统计如表，请继续求出B型号汽车行驶里程的平均数、中位数和众数；（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的租车建议．【答案】（1）平均数是；中位数为；众数为（2）选择型号汽车（1）解：型号汽车行驶里程的平均数是：，把这20个数据按从小到大的顺序排列，第10，11个数据均为，所以中位数为；出现了六次，次数最多，所以众数为；（2）选择型号汽车，理由如下：型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择；型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过，其中型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车．18.如图，四边形的顶点B，C在x轴上，顶点D在y轴上，，顶点A的坐标为，顶点B的横坐标．双曲线经过点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线(要求：不写作法，保留作图痕迹)；（3）上问中所作的角平分线与x轴交于点E，若点C的坐标为，求证：四边形是菱形．【答案】（1）反比例函数的解析式为（2）见详解（3）见详解（1）解：将点代入双曲线，得，，解得：，∴反比例函数的解析式为；（2）（3），，，，，，，，，是的平分线，，，，，，，∴四边形是平行四边形，，∴平行四边形是菱形．19.随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：

A超市B超市优惠方案所有商品按七五折出售购物金额每满100元返40元（1）当购物金额为90元时，选择超市（填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择超市（填“A”或“B”）更省钱；（2）当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为（注：优惠率=购物金额-实付金额）．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．【答案】（1）（2）当或时，在超市购物更省钱；当或时，在超市购物和超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当时，在超市购物更省钱（3）在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大（1）解：当购物金额为90元时，在超市购物实付金额(元)，在超市购物实付金额90元，∵，∴当购物金额为90元时，选择超市更省钱；当购物金额为120元时，在超市购物实付金额(元)，在超市购物实付金额(元)，，∴当购物金额为120元时，选择超市更省钱．故答案为：．（2）当时，在超市购物实付金额；当时，在超市购物实付金额；当时，在超市购物实付金额；∴在超市购物实付金额，当时，；当时：；当时：若，解得；若，解得；若，解得．综上，当或时，在超市购物更省钱；当或时，在超市购物和超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当时，在超市购物更省钱．（3）在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．举例说明如下：当在超市购物金额为100元时，返40元，实付金额为(元)，优惠率为；当在超市购物金额为160元时，返40元，实付金额为(元)，优惠率为，∴在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．20.风是一种可再生能．利用风能进行发电既可以提供持续的电力供应，又可以减少温室气体排放，抑制全球气候变暖，还可以增加能供应的多样性，降低对传统能的依赖．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶，，两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底O水平距离为米的E处，测得塔顶部A的仰角．，风叶的视角，求风叶的长度（结果精确到．参考数据：）【答案】风叶的长度约为解析：如图，自点B作，垂足为点F，过点A作，垂足为点G．∵，∴四边形是矩形，∴．由已知，∴，在中，．∵，∴，又，则，∴，则．在中，，，∴，∴，在中，，∴，则，∴．答：风叶的长度约为．21.“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离0234竖直高度0根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小．【答案】（1）（2）（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为：．∴该运动员竖直高度的最大值为米．设函数关系式为：．∵经过点，∴，解得：．∴函数解析式为：．（2）取．第一次训练时，．解得：(不合题意，舍去)，．∴．第二次训练时，．解得：(不合题意，舍去)，．，，．22.如图1，⊙O与直线l相离，过圆心O作直线l的垂线，垂足为P，且交于两点（M在之间）．我们把点N称为关于直线l的“远望点”，把的值称为关于直线l的“远望数”．（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，过点E画垂直于x轴的直线a，则半径为1的关于直线a的“远望点”的坐标是________，关于直线a的“远望数”为________；（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C坐标为，以点C为圆心、长为半径作．若与直线相离，点O是关于直线的“远望点”，且关于直线的“远望数”是求直线的函数表达式．【答案】（1）（2）直线的函数表达式为（1）根据“远望点”定义，可得半径为1的关于直线a的“远望点”的坐标是，∴关于直线a的“远望数”为，故答案为：（2）设直线的解析式为连接并延长，交于H，交直线于点G，过C作轴于点D，设∵点C坐标为，∵O是关于直线的“远望点”，且关于直线的“远望数”是，即∵点C坐标为，轴于点D，∴即同理得即，∴，解得，∴直线的函数表达式为23.综合与实践课上，老师让同学们用“木工尺”探究三等分任意角的方法．如图1为“木工尺”示意图，它是由两条宽度相同且互相垂直的直尺组成的，其中．下面是同学们的探究过程，请仔细阅读，并完成相应的任务，【操作实践】如图2，小明画的平行线，使得与的距离等于尺宽，在上取点E，使等于尺宽，调整“木工尺”的位置，使得经过点O，点D落在上，点E落在上，则三等分小明过点D作，垂足为点F，由题意得：，∴（）．∵，∴垂直平分，∴，∴平分（），∴．∴．∴三等分．任务：（1）请在括号内填写推理的依据．【类比迁移】爱动脑筋的小华受到上述方法的启发，想到了通过折叠矩形纸片三等分一个已知角的方法，他的前两个操作步骤如下（如图3）：步骤1：在矩形纸片上折出任意角，将矩形对折，折痕记为，再将矩形对折，折痕记为，展开矩形；步骤2：将矩形沿着折叠，使得点B的对应点落在上，点M的对应点落在上．任务：（2）连接，试证