广东省揭阳市第三中学2024届高二数学第二学期期末检测试题含解析

广东省揭阳市第三中学2024届高二数学第二学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数f（x）＝，若函数f（x）的最大值为﹣1，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣2]2．若复数（）不是纯虚数，则（）A． B． C． D．且3．已知某产品连续4个月的广告费用（千元）与销售额（万元），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①广告费用和销售额之间具有较强的线性相关关系；②；③回归直线方程中的＝0.8（用最小二乘法求得）；那么，广告费用为8千元时，可预测销售额约为（）A．4.5万元 B．4.9万元 C．6.3万元 D．6.5万元4．角的终边上一点，则（）A． B． C．或 D．或5．已知函数，若且对任意的恒成立，则的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．56．直线的一个方向向量是（）．A． B． C． D．7．2019年高考结束了，有为同学（其中巴蜀、一中各人，八中人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到三个班，每个班至少分配位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A． B． C． D．8．只用四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A． B． C． D．9．设,，则（）A． B． C． D．10．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为（）A．7 B．6 C．5 D．411．下列函数既是偶函数，又在上为减函数的是（）A． B． C． D．12．若函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，且，那么__________．14．对于定义域为的函数，若满足①；②当，且时，都有；③当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：①；②；③；④.则其中是“偏对称函数”的函数序号为_______．15．7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有______种不同排法16．某种活性细胞的存活率（%）与存放温度（℃）之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示存放温度（℃）104-2-8存活率（%）20445680经计算得回归直线方程的斜率为-3.2，若存放温度为6℃，则这种细胞存活的预报值为_____%．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.18．（12分）某手机代工厂对生产线进行升级改造评估，随机抽取了生产线改造前、后100个生产班次的产量进行对比，改造前、后手机产量（单位：百部）的频率分布直方图如下：（1）设改造前、后手机产量相互独立，记表示事件：“改造前手机产量低于5000部，改造后手机产量不低于5000部”，视频率为概率，求事件的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关：手机产量部手机产量部改造前改造后（3）根据手机产量的频率分布直方图，求改造后手机产量的中位数的估计值（精确到0.01）.参考公式：随机变量的观测值计算公式：，其中.临界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819．（12分）已知函数．(1)若，当时，求证：．(2)若函数在为增函数，求的取值范围.20．（12分）已知函数，当时，函数有极大值8.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，且，求的取值范围.22．（10分）（1）已知，都是正数，并且，求证：；（2）若，都是正实数，且，求证：与中至少有一个成立.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

考虑x≥1时，f（x）递减，可得f（x）≤﹣1，当x＜1时，由二次函数的单调性可得f（x）max＝1+a，由题意可得1+a≤﹣1，可得a的范围．【题目详解】当x≥1时，f（x）＝﹣log1（x+1）递减，可得f（x）≤f（1）＝﹣1，当且仅当x＝1时，f（x）取得最大值﹣1；当x＜1时，f（x）＝﹣（x+1）1+1+a，当x＝﹣1时，f（x）取得最大值1+a，由题意可得1+a≤﹣1，解得a≤﹣1．故选：D．【题目点拨】本题考查分段函数的最值求法，注意运用对数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．2、A【解题分析】

先解出复数（）是纯虚数时的值，即可得出答案．【题目详解】若复数（）是纯虚数，根据纯虚数的定义有：，则复数（）不是纯虚数，故选A【题目点拨】本题考查虚数的分类，属于基础题．3、C【解题分析】

由已知可求出，进而可求出，即可得到回归方程，令，可求出答案.【题目详解】由题意，，因为，所以，则回归直线方程为.当时，.故选C.【题目点拨】本题考查了线性回归方程的求法，考查了计算能力，属于基础题.4、D【解题分析】

根据三角函数的定义求出，注意讨论的正负．【题目详解】的终边上一点，则，，所以.故应选D.【题目点拨】本题考查三角函数的定义，解题时要注意分类讨论，即按参数的正负分类．5、B【解题分析】分析：问题转化为对任意恒成立，求正整数的值．设函数，求其导函数，得到其导函数的零点位于内，且知此零点为函数的最小值点，经求解知，从而得到0，则正整数的最大值可求．．详解：因为，所以对任意恒成立，

即问题转化为对任意恒成立．

令，则令，则，

所以函数在上单调递增．

因为

所以方程在上存在唯一实根，且满足．

当时，，

即，当时，，即，

所以函数在上单调递减，

在上单调递增．

所以所以

因为），

故整数的最大值是3，

故选：B．点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调区间，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，如何求解函数的最小值，属难题．6、D【解题分析】

先求得直线的斜率，由此求得直线的方向向量.【题目详解】直线的斜率为，故其方向向量为.故选：D【题目点拨】本小题主要考查直线的方向向量的求法，属于基础题.7、A【解题分析】

首先先计算出所有的可能分组情况，从而计算出分配方案.【题目详解】设这五人分别为,若A单独为一组时，只要2种分组方法；若A组含有两人时，有种分组方法；若A组含有三人时，有种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有,故选A.【题目点拨】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生的分析能力，分类讨论能力，计算能力，难度中等.8、B【解题分析】

以重复使用的数字为数字为例，采用插空法可确定符合题意的五位数的个数；重复使用每个数字的五位数个数一样多，通过倍数关系求得结果.【题目详解】当重复使用的数字为数字时，符合题意的五位数共有：个当重复使用的数字为时，与重复使用的数字为情况相同满足题意的五位数共有：个本题正确选项：【题目点拨】本题考查排列组合知识的综合应用，关键是能够明确不相邻的问题采用插空法的方式来进行求解；易错点是在插空时，忽略数字相同时无顺序问题，从而错误的选择排列来进行求解.9、D【解题分析】

求对数函数的定义域求得集合，解一元二次不等式求得集合，求得集合的补集后与集合求交集，由此得出正确选项.【题目详解】对于集合，，对于集合，，解得或，故，所以，故选D.【题目点拨】本小题主要考查对数函数定义域、一元二次不等式的解法，集合补集、交集运算，属于基础题.10、D【解题分析】

计算，根据题意得到，设，判断数列单调递减，又，，得到答案.【题目详解】因为，且，所以，即每个零件合格的概率为.合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个.合格零件个数为零个或一个的概率为，由，得①，令.因为，所以单调递减，又因为，，所以不等式①的解集为.【题目点拨】本题考查了正态分布，概率的计算，数列的单调性，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11、B【解题分析】

通过对每一个选项进行判断得出答案.【题目详解】对于选项：函数在既不是偶函数也不是减函数，故排除；对于选项：函数既是偶函数，又在是减函数；对于选项：函数在是奇函数且增函数，故排除；对于选项：函数在是偶函数且增函数，故排除；故选：B【题目点拨】本题考查了函数的增减性以及奇偶性的判断，属于较易题.12、C【解题分析】

根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性即可.【题目详解】由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，则由导函数的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，排除，且两个拐点（即函数的极值点）在x轴上的右侧，排除B.故选：.【题目点拨】本题主要考查的是导数与函数的单调性，熟练掌握函数的导数与函数单调性的关系是解题的关键，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】分析：根据条件中所给的二项式定理的展开式，写出a和b的值，根据这两个数字的比值，写出关于n的等式，即方程，解方程就可以求出n的值．详解：∵（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），∴a=Cn3，b=Cn2，∵a：b=3：1，∴a：b=Cn3：Cn2=3：1，∴：=3：1，∴n=1．故答案为：1点睛：本题是考查二项式定理应用，考查二项式定理的二项式系数，属于基础题，解题的关键是利用通项公式确定a与b的值．14、①④.【解题分析】分析：条件②等价于f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，条件③等价于f（x）﹣f（﹣x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，依次判断各函数是否满足条件即可得出结论．详解：由②可知当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，f2（x）=ln（﹣x）=ln，∴f2（x）在R上单调递减，不满足条件②，∴f2（x）不是“偏对称函数”；又（）=（）=0，∴（x）在（0，+∞）上不单调，故（x）不满足条件②，∴（x）不是“偏对称函数”；又f2（x）=ln（﹣x）=ln，∴f2（x）在R上单调递减，不满足条件②，∴f2（x）不是“偏对称函数”；由③可知当x1＜0时，f（x1）＜f（﹣x2），即f（x）﹣f（﹣x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，对于（x），当x＜0时，（x）﹣（﹣x）=﹣x﹣e﹣x+1，令h（x）=﹣x﹣e﹣x+1，则h′（x）=﹣1+e﹣x＞0，∴h（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故h（x）＜h（0）=0，满足条件③，由基本初等函数的性质可知（x）满足条件①，②，∴（x）为“偏对称函数”；对于f4（x），f4′（x）=2e2x﹣ex﹣1=2（ex﹣）2﹣，∴当x＜0时，0＜ex＜1，∴f4′（x）＜2（1﹣）2﹣=0，当x＞0时，ex＞1，∴f4′（x）＞2（1﹣）2﹣=0，∴f4（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，满足条件②，当x＜0，令m（x）=f4（x）﹣f4（﹣x）=e2x﹣e﹣2x+e﹣x﹣ex﹣2x，则m′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣e﹣x﹣ex﹣2=2（e2x+e﹣2x）﹣（e﹣x+ex）﹣2，令e﹣x+ex=t，则t≥2，于是m′（x）=2t2﹣t﹣6=2（t﹣）2﹣≥2（2﹣）2﹣=0，∴m（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴m（x）＜m（0）=0，故f4（x）满足条件③，又f4（0）=0，即f4（x）满足条件①，∴f4（x）为“偏对称函数”．故答案为：①④．点睛：本题以新定义“偏对称函数”为背景，考查了函数的单调性及恒成立问题的处理方法，属于中档题.15、240.【解题分析】分析：本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，乙和丙必须相邻，把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，相乘得到结果．详解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，∵乙和丙必须相邻，∴把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，根据乘法原理知共有A55A22=240种结果，故答案为240点睛：站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用计数原理得到结果，本题的甲不影响排列．16、34【解题分析】分析：根据表格中数据求出，代入公式求得的值，从而得到回归直线方程，将代入回归方程即可得到结果.详解：设回归直线方程，由表中数据可得，代入归直线方程可得，所以回归方程为当时，可得，故答案为.点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见详解；(2)或.【解题分析】

(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.【题目详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.即相减得，即，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.即相减得，解得，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为即解得.综上得或.【题目点拨】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．18、（1）（2）有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关，详见解析（3）（百部）【解题分析】

（1）计算出事件“改造前手机产量低于部”的频率，以及事件“改造后手机产量不低于部”的频率，再利用独立事件的概率公式可计算出事件的概率；（2）补充列联表，计算的观测值，再根据临界值表找出犯错误的概率，即可对问题下结论；（3）利用频率分布直方图左右两边面积均为计算出中位数的值。【题目详解】（1）记表示事件“改造前手机产量低于5000部”，表示事件“改造后手机产量不低于5000部”，由题意知．改造前手机产量低于5000部的频率，故的估计值为0.1．改造后手机产量不低于5000部的频率为，故的估计值为0.66，因此，事件的概率估计值为．（2）根据手机产量的频率分布直方图得列联表：手机产量部手机产量部改造前138改造后3466由于，故有的把握认为手机产量与生产线升级改造有关；（3）因为改造后手机产量的频率分布直方图中，手机产量低于5000部的直方图面积为，手机产量低于5500部的直方图面积为，故改造后手机产量的中位数的估计值为（百部）．【题目点拨】本题考查独立事件概率的计算、独立性检验以及频率分布直方图中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解和掌握水平和分析推理能力，属于中等题。19、（1）见证明；（2）【解题分析】

(1)时，设,对函数求导得到函数的单调性，得到函数的最值进而得证；（2）原函数单调递增，即恒成立，变量分离，转化为函数最值问题.【题目详解】（1）时，设．则，在单调递增．即.(2)恒成立，即对恒成立．∵时，