2024届湖南省邵阳市新邵县数学高二下期末质量检测试题含解析

2024届湖南省邵阳市新邵县数学高二下期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数y的图象大致为（）A． B．C． D．2．已知i为虚数单位，复数z满足，则复（）A．1 B． C．i D．3．一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，若，则该班数学成绩的及格（成绩达到分为及格）率可估计为（）A． B． C． D．4．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．5．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（）A．150种 B．180种 C．240种 D．540种6．已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是（）A．(1,－4,2) B． C． D．(0,－1,1)7．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(2－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)B．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(2)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)D．函数f(x)有极大值f(－1)和极小值f(2)8．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14）内的频数为（）A．780 B．680 C．648 D．4609．的展开式中的系数是（）A．58 B．62 C．52 D．4210．设复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A．1 B．-1 C． D．11．已知，则（）A． B． C． D．12．已知向量，，若与垂直，则（）A．2 B．3 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则________.（用含的式子表示）14．已知幂函数的图象经过点，则实数α的值是_______.15．已知函数若存在互不相等实数有则的取值范围是______.16．已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD的外接球，BC=3，AB=23，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.18．（12分）已知函数的定义域为.（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数满足，求的最小值.19．（12分）（本小题满分12分）在等比数列中，.(1)求；(2)设，求数列的前项和.20．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：21．（12分）已知数列中，，.（1）写出的值，猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的结论.22．（10分）已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的最大值，并说明取最大值时对应的的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

通过函数的单调性和特殊点的函数值，排除法得到正确答案.【题目详解】因为，其定义域为所以，所以为奇函数，其图像关于原点对称，故排除A、C项，当时，，所以D项错误，故答案为B项.【题目点拨】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点的函数值来判断函数的图像，属于简单题.2、C【解题分析】

利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式．【题目详解】解：复数，故选：．【题目点拨】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数，属于基础题．3、B【解题分析】

由题意得出正态密度曲线关于直线对称，由正态密度曲线的对称性得知所求概率为可得出结果.【题目详解】由题意，得，又，所以，故选B.【题目点拨】本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要充分利用正态密度曲线的对称性转化为已知区间的概率来计算，考查运算求解能力，属于中等题.4、A【解题分析】

由实部虚部均大于0联立不等式组求解．【题目详解】解：复数在复平面内对应的点在第一象限，，解得．实数的取值范围是．故选：．【题目点拨】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．5、A【解题分析】先将个人分成三组,或,分组方法有中,再将三组全排列有种,故总的方法数有种.选A.6、D【解题分析】试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），选项A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0满足垂直，故正确；选项B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0满足垂直，故正确；选项C，（2，1，1）（-，1，−）=0，（0，2，4）（-，1，−）=0满足垂直，故正确；选项D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故错误．考点：平面的法向量7、A【解题分析】由函数y＝(2－x)f′(x)的图像可知，方程f′(x)＝0有两个实根x＝－1，x＝1，且在(－∞，－1)上f′(x)<0，在(－1，1)上f′(x)>0，在(1，2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)<0.所以函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)．8、B【解题分析】试题分析：频率分布直方图中每个小方块的面积就是相应的频率，因此所求结论为.考点：频率分布直方图.9、D【解题分析】

由题意利用二项展开式的通项公式，赋值即可求出．【题目详解】的展开式中的系数是.选D.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的展开式以及赋值法求展开式特定项的系数．10、A【解题分析】

先求解出的共轭复数，然后直接判断出的虚部即可.【题目详解】因为，所以，所以的虚部为.故选：A.【题目点拨】本题考查共轭复数的概念以及复数的实虚部的认识，难度较易.复数的实部为，虚部为.11、C【解题分析】

利用指数函数、对数函数的单调性，将a，b，c分别与1和0比较，得到结论.【题目详解】因为所以故选：C【题目点拨】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.12、B【解题分析】分析：先求出的坐标，然后根据向量垂直的结论列出等式求出x，再求即可.详解：由题可得：故选B.点睛：考查向量的坐标运算，向量垂直关系和模长计算，正确求解x是解题关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

通过寻找，与特殊角的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可．【题目详解】因为，即，所以，所以，所以，又.【题目点拨】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力．14、【解题分析】

由幂函数的定义，把代入可求解.【题目详解】点在幂函数的图象上，，，故答案为：【题目点拨】本题考查幂函数的定义.幂函数的性质:(1)幂函数在上都有定义；(2)幂函数的图象过定点；(3)当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增；(4)当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减；(5)当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数．15、【解题分析】

不妨设，根据二次函数对称性求得的值.根据绝对值的定义求得的关系式，将转化为来表示，根据的取值范围，求得的取值范围.【题目详解】不妨设，画出函数的图像如下图所示.二次函数的对称轴为，所以.不妨设，则由得，得，结合图像可知，解得，所以，由于在上为减函数，故.【题目点拨】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16、[2π,4π]【解题分析】

设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接oO1D，OD，O1E，OE，可得R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【题目详解】如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接oO1D，OD，O1E，OE，则O1D=3sin60在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝3BE，∴DE＝2在△DEO1中，O1E=3+4-2×∴OE=O过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为22-2当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故答案为：[2π，4π]【题目点拨】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）在梯形中，设，题意求得,再由余弦定理求得,满足,得则.再由平面得，由线面垂直的判定可.进一步得到丄平面;（Ⅱ）分别以直线为:轴，轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设,令得到的坐标，求出平面的一法向量.由题意可得平面的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当时，有最小值为,此时点与点重合.试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形中，∵,设，又∵,∴,∴∴.则.∵平面,平面，∴,而,∴平面.∵,∴平面.（Ⅱ）解：分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，令，则，∴设为平面的一个法向量，由得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴∵，∴当时，有最小值为，∴点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.18、（1）（2）【解题分析】

（1）由定义域为，只需求解的最小值，即可得实数的取值范围；（2）根据（1）求得实数的值，利用基本不等式即可求解最小值．【题目详解】（1）函数的定义域为.对任意的恒成立，令，则，结合的图像易知的最小值为，所以实数的取值范围.（2）由（1）得，则，所以，，当且仅当，即，，时等号成立，的最小值为.【题目点拨】本题主要考查了含绝对值函数的最值，转化思想和基本不等式的应用，考查了分析能力和计算能力，属于难题.19、(1).（2）.【解题分析】试题分析：(1)设的公比为q，依题意得方程组，解得，即可写出通项公式.（2）因为，利用等差数列的求和公式即得.试题解析：(1)设的公比为q，依题意得，解得，因此，.（2）因为，所以数列的前n项和.考点：等比数列、等差数列.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（ⅰ）；（ⅱ）46.24【解题分析】

（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，∴=563-68×6.8=100.6.∴关于的线性回归方程为，∴关于的回归方程为.（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值=576.6，.（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，∴当=，即时，取得最大值.故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.21、（1），，，猜想（2）见解析【解题分析】

（1）依递推公式计算，并把各分子都化为3，可归纳出；（2）用数学归纳法证明即可．【题目详解】