西农概率论课后习题册答案

第一章随机事件与概率

§1.1随机试验随机事件

一、选择题

1.设8表示事件“甲种产品畅销”，C表示事件“乙种产品滞销”，则依题意得4=8。于

是对立事件X=={甲产品滞销或乙产品畅销}，故选D.

2.由AU8=B=AU3U>8U4OAB=①，故选D.也可由文氏图表示得出.

二写出下列随机试验的样本空间

1.{3,4,-,20}2[0,100]3.Q={(x,y,z)Ix>0,y>0,z>0,x+j+z=l},x,y,z

分别表示折后三段长度。

三(1)任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验，易知共有6个不同的结果.设试验

的样本点g="出点点,"£=1,2,3,4,5,6；则A={牡，，%，4}，5={%Q}

(2)A={01,g,g}，8={可,02，0,@}>AUB={02，g，4，06}，A8={4}，

AU5={«1，<»<；}

四(1)ABC(2)ABCi(3)“A、BC不都发生”就是“4、8C都发生”的对立

事件，所以应记为痂；(4)AUBUC:(5)“4BC中最多有一事件发生”就是“A、8C

中至少有二事件发生”的对立事件，所以应记为：48UACUBC.又这个事件也就是

“A、BC中至少有二事件不发生“，即为三事件X及彳。月C的并，所以也可以记为

AB\JAC\JBC

§1.2随机事件的概率

一、填空题

1.试验的样本空间包含样本点数为10本书的全排列10!,设4={指定的3本书放在一起},

所以A中包含的样本点数为8!.3!,即把指定的3本书捆在一起看做整体,与其他三本书全排，

然后这指定的3本书再全排。故尸(4)=型=_1。

10!15

2.样本空间样本点〃=7!=5040,设事件4表示这7个字母恰好组成单词SCIENCE,则

因为C及C,E及E是两两相同的，所以A包含的样本点数是A=21x2!=4,故

2!-2!1

P(A)=

7!1260

二、求解下列概率

c2C；C：5!_C；耳

1.(1)—7«0.36;⑵=0.375

C：C：6!婕

A4

2.1—aa0.4271

124

3.由图1.1所示，样本点为随机点M落在半圆0<y〈屈二7（a为正常数）内，所以样

本空间测度可以用半圆的面积S表示。设事件A表示远点O与随机点M的连线。”与x轴

的夹角小于则A的测度即为阴影部分面积s,

4

所以

—a

2

§1.3概率的性质

一.填空题

图1.1

।17

1.0.3;2.1—〃；3.—j4.—

"612

二.选择题

1.C;2.A;3.D;4.B;5.B.

三.解答题

解：因为ABqAqAUB,所以由概率的性质可知：P(48)<P(4)〈P(4U8).又因

为P(AB)>0,所以可得P(AUB)<P(4)+P(8),于是我们就有

P(AB)<P(A)WP(AU8)4P(A)+P(B).

如果则A8=A,P(AB)=P(A)；

如果8qA,则AU8=A这时有P(A)=P(AUB).

如果A3=。，则P(AB)=0,这时有P(AUB)=P(A)+P(B).

§1.4条件概率与事件的独立性

填空题

221

1.—；2.0.3、0.5；3.—；4.一；5.2；

334

5.因为AB=通，所以(AB)荷1)=4初百=),(AB)仪比=43=入方，则有

AB=A+B=</>,A+B=Q,因为AB=。目<+8=。，所以A与3是对立事件，即

A=B,A=B.所以，P(砸)=尸(乖)=1,于是「(砸)+隔忸)=2

选择题

1.D；2.B；3.A；4.D；5.B

1.已知P(川8)+P(R耳)=1,又P(A叵+P(R后)=1,所以P(A\B)=P(A忸),于是

得?翳=今簿’注意到「(AB)=尸(A)-P(A'),0(')=1-0(8),代入上式并整理后

可得P(AB)=P(A)P(B)。由此可知,答案P

三.解答题

,332

1.—，一;2o.—

105n

§1.5全概率公式和逆概率(Bayes)公式

解答题

1.0.973

2.(1)0.85；(2)0.941

3.(1)0.943；(2)0.848

§1.6贝努利概型与二项概率公式

填空题

2

1.2.-

解答题

1.0.5952.

2.0.94",C；2(094)7(0.06)2,1—“(0.94严(0.06)—(0.94)”

3.(1)0.0839,(2)0.1240,(3)0.9597

章节测验

填空题

8484

1.—；2.对立；3.0.7；4.—，—

25217

选择题

I.B2.C3.C4.A5,D

三、解答题

2

1.(1)0.69；(2)—

23

2..0038

四、证明题(略)。

2.1随机变量分布函数

一、填空题

1.1-F(«)；F(l)-F(-1)；F(b)S)；Z“=_1力=1：3.1-2e

F(b)2

二、选择题

1、D：2、A；

三、计算题

1.解：由题意知随机变量X的分布列（律）为

X345

P136

101010

所以得随机变量X的分布函数为

0,x<3

—,3<x<4

10

尸(x)=

—,4<x<5

10

1,x>5

2.解：（1）由条件知，当x<—1时，F（x）=0；

由于P{X=—1}=—,则户(一1)=P{X<—1}=—；

88

从而有P{-1<X<1}=1-P{X=1}-P{X=-l}=1-1-1=1；

由已知条件当一1<X<1时，有P{-1<X<x|-l<X<l)=Jl(x+l);

而P{-1<XWl|-1<X<1}=1,则

于是，对于—1<X<1有

P{-1<X<x}=P{-\<X<x-l<X<1}=P{-1<X<1}P{-1<X<x|-l<X<1}

5x+15(x+l)

=­x---=------

8216

所以尸(x)=P{X<—1}+P]—1<X=

当x21时，R(x)=l,从而

0,x<—1

F(x)=<"JZ,-1<%<1

16

1,x>1

(2)略。

2.2离散型与连续性随机变量的概率分布

一、填空题

二、选择题

1.C；2.A；3.C

三、计算题

0,x<0

x2

0<%<1

'2'3

1.(1)A=i,B=2；(2)F(x)="(3)

x24

2x---—1,1K%<2

2

1,x>2

2.略。

2.3常用的几个随机变量的概率分布

一、填空题

二、计算题

3

1、一；2、0.352；3、0.5167；4.(1)①(2.5)+①(1.5)-1=0.9270；(2)d=3.29

4

2.4随机向量及其分布函数边际分布

一、填空题

1、F(b,b)-F(a,b)-F(b,a)+F(a,a)；F(b,b)~F(a,b)；

2、0；1

计算题

1、(1)A="W；⑵A

(3)F(x)=—(—+arctan—),xGR,(y)=—(—+arctan—),yGR

x7i227i23

1i-e-2x,x>0l-e-y,y>0

2、(1)F(x)=>，：

x00,y<0

(2)I—e。

0,x<00,y<0

1171

3、Fx(x)=<—(sinx+l-cosx),0<x<—,Fr(y)=<—(siny+1-cosy),0<y<—

717t

1X>-1

2y〉7

2.5二维离散型与连续性随机向量的概率分布

填空题

7+0Q•»<»

2、Au；3、2

8j=\i=\4

计算题

1

e-x,x>0,y>0

；

1、c=l；fx(x)=<0,x<0坂)=

0,y<0

6,(x,y)&D

2、(1)f(x,y)=<

0,其它；

6(X-X2),0<X<16(77_y),o<y<i

(2)fx(x)=<o,其它；加上

o,其它

3、Y

-12

42

10

4

2.6条件分布随机变量的独立性

一、选择题

1、B：2、A；3、D；4^C；5、D

二、计算题

xiy=0012

p0.250.250.5

[2x,0<x<l[2)\0<y<l

2、忝⑴y)=「，其它岫(田叼0,

(1)c=8；(2)P{y<—}=1；(3)不独立。

3、

24

4、2+1-①⑴

/

2.7随机变量函数的概率分布

一、填空题

Y-3-1137

p34544

2020202020

Z9410

P3854

20202020

然.Ho1,,0<其y它<l

二、选择题

1、B；2、D；

三、计算题

,[0,z<0

1,0<y<1.

1、/(y)=；；2、底)=l-e",0<z<l

n(),else

(e-l)e-z,z>l

0,z<00,z<0

3、/z(Z)=121,0<Z<l;Fz(z)=z|,O<Z<1

第二章测验

一、填空题

1、L2、&3、0；4、0.2

4

二、选择题

1、C；2、A；3、B

三、计算题

1、X~8(3,04),则随机变量的概率函数为

X0123

p2754368

125125125125

其分布函数为：

0,x<0

27

—,0<x<1

125

里小<2

F(x)=<

125

117cc

---,2Kx<3

125

1,x>3

2、(1)A=24；

12X2(1-X),0<X<1,,、12y(l-/),0<y<l

(2)f(x)=.，/x(x)=<

x[0,其它0,其它

(3)不独立;

々,0<x<1,0<y<1

0-y),/wx(ylx)'X2O

“)fxw(x1y)=

o,其它0,其它

-^-，z>0

ze,Z>0

3、(1)/Z(z)=0,"0")"z)=

0,z<0

第三章随机变量的数字特征

3.1数学期望

-、填空题

123547

1、一，一，--2、21,0.23、2,

332496

二、计算题

1.解:根据公式

+00/+00A/VA1

Ykxk-'Yxk=上=—二(忖＜1)得到

台后Jll-xj(1-X)211

a_______1

E(X)=-a

(1+吗]a

I,~T+a

八2

2.0；3.:一

a

4.2/3,4/3，-2/3,8/5；5.4/5,3/5,1/2,16/15

3.2方差

一、填空题

1.0.49；2.1/6；3.8/9；4.8,0.2

二、计算题

1.：0.6,0.46

提示：设

[0,部件个不需要调整

'•=h，部件介需要调整

则X],乂2,乂3相互独立，并且X=X1+X2+X3,显然X|

X2B(l,0.2),X38(1,0.3)

2.：1/3,1/3；3.：16/3,28

三、证明题

提示：O(XY)=E[XY—£(XY)『=E[xy—EX£K)]2

^E[XY-YEX+YEX-EXEY)「

=E[Y(X-EX)+EX(Y-EY)^>DXDY

3.3协方差与相关系数

一、选择题

I.A；2.C；3.C

二、计算题

1.E(X)=E(Y)=O,O(X)=O(y)=0.75,pxy=0'D(X+丫)=1.5

x与y不独立

2.0,0

焊一f(、—fr?dx=--1“41

提小：/y(y)=7C^-y兀'

o其它

E(K)=(1y-Jl-y2dy=0£>(7)=0.25

同理可得E(X)=E(Y)=0,D(X)=£>(/)=0.25

Cov(X,Y)=E(XY)jj—dxdy=0

。2八TC

x+y<1

a2-b2

a2+b2

3.4矩与协方差矩阵

1.4=匕-3V2”+2〉

2.(1)0.7,0.6,0.21,0.24；(2)-0.02；(3)-0.0089

-0.21-0.02-

(4)

-0.020.24_

第三章测验

一、填空题

1.18.4；2.1,0.5；3.ab

二、选择题

I.B；2,A；3.D

三、计算题

1.解：设X表示该学徒工加工的零件中报废的个数，又设

]0,第介零件未报废

/=[1,第个零件报废

则由题设知

-01

XjJ____1_

_/+1r+1_

101

于是有X=yX,.且E(XJ=——(i=l,2,…,10)

M，+1

1010101111

从而E(X)=E(Zx,)=£E(XJ=£—r=-+-+-+--2.02

(=1(=1，=1，+123■I

2.：10分25秒

提示：设乘客到达车站的时间为X,由题意可知X为[0,60]

上的均匀分布，根据发车时间可以得到等候时间丫，且y是关于x的函数

10-X0<X<10

30—X10<X<30

y=g(x)=<

55-X30<X<55

70—X55<X<60

3.0,0

第四章习题

4.1切比雪夫不等式随机变量序列的收敛性

1.解：由切比雪夫不等式知，

21

P(3<X<7)=P(IX-5I<2)>1--=-

2272

尸(IX—51>8)4=]

O

Y

2.解：设X为在〃次试验中事件A出现的次数，则X〜8(%p),一为频率.

n

L/X、1厂“、1ccru~X、1~、八0,75x0.25

E(一)=—E(X)=—xnx0.75=0.75,£>(一)=—D(X)=-------------

nnnnn"n

v

由题意知P{0.7<—<0.8}>0.9,

n

0.75x0.25

v

而由切比雪夫不等式有P{I——0.751<0.05}>1——瑞—

0.75x0.25

所以有1-----J—=0.9,得n=750

0.052

4.2大数定理

1.证：有题设知x(n=2,3,•••)的概率分布为:

4-Vn0+Vn

尸{*0=xj1/n1-2/n1/n

故工,的数学期望为

F(J)=17n)x-+0xfl--

n+4nx—=0

nyn)n

%的方差为

2

D(X.)=E(xj-[E(X“)]2=卜赤了x—+0x1-2]+(五)X—=2

nvnJ'n

—1，V

故¥=不工不〃的数学期望

N?

f—\C1A'、1'V

曲)=£丁2乙=下2>代)=o

/?=1/Nn=\

方差

而)=〃q之才/=!之始

/?=17八??=1

在利用车比雪夫不等式得

p[x-由1>J-—^22__

]、LJ_i-城

因此，X,,%,­­•,…服从大数定理.。

2.证：由于％,龙，，…,匕相互独立，且E(XJ=1>Q(XJ存在,

___1n

令Xn=-ZX,

〃,=1

__(\n\1n1〃

则E(X")=E—W>k=-2>(Xk)=工£外

\n/=17ni=\n1=1

有限。

____(1n\1n

D(x")=。—ZXk

\ni=l7ni=l

故由车比雪夫不等式知，Ve>0。

p(|x「i—JI

1n1n

即limP{l—£Xi-一£从I<£}=1

〃T+oo17-1H，

"/=!”|=I

4.3中心极限定理

1.解：设X为抽取的100件中次品的件数，则X5(100,0.2),

£：(%)=100x0.2=20,0(%)=20x0.8=16

则

Vcc18-20X-2025-20,1X-205、

Pn{ii1o8<X<25)=Pn{f——<——<——}=nP({--<——<-}

444244

=0(1.25)-①(—0.5)=0(1.25)4-<D(0.5)-1=0.8944+0.6915-1=0.5859

2.解：(1)设X为一年中死亡的人数，则X其中历10000,p=0.006

保险公司亏本则必须1000X>120000,即X>120

P{保险公司亏本}=P{X>120}=P{-Jr*=>120??P}

p)

=P{J_〃P>7.769}x1-①(7.769)=0

JnpQ-p)

(2)P{保险公司获利不少于40000元}

P{120000-1000X>40000}=P{X<80}

=P{-X—〃P一<一80一秋_}=①(2.59)=0.995

dnpQ-p)

3.解:设Xk{每个加数的舍入误差},则X：U(-0.5,0.5),

£亿)=0,职)=1/12,i=1,2,…

故由独立同分布中心极限定理知％,%,…服从中心极限定理。

(1)

(1500、(1500、1500、

p>15=1一尸£Xj<151-P-15<^X,.<15

i=l

\1500

22%,-1500x0

-15-1500x015-1500x0

=1-P4</=1<

1500x1500x—1500x—

12)1212

x1-[①(1.34)—0(-1.34)]=1-[2①(1.34)-1]=2[1—0(1.34)]

=2x(1-0.9099)=0.1802

(2)

10

1<10}>0.9住0.9

/=1

由中心极限定理得，2中(-20)-120.9,0(-,10)>0.95,所以

I1।1

nx——nx——

1212

10

r-->1.65,解得”=440.

J"X—

V12

第四章测验

一、填空题

1.1/4；1--V.

k2

2

2.提示：利用切比雪夫不等式估计.

ns

3.1/12

4.0.

5.0.5.

6.①(x).

二、选择题

1.A2.C31).

三、应用题

1.解：设X为1000次中事件4出现的次数，则X5(1000,0.5)

£(%)=500,D(X)=500x0.5=250

25039

尸{400<X<600}=P{IX-500l<100}>l---------=—=0.975

1000040

2.解：设至少要掷n次，有题设条件知应有

尸(0.4<<0.6)>0.9

——1n

其中X,=_》,1,出现正面

nM、0,出现反面

独立同分布，且

p(x.=1)=P(Xi=0)=0.5,£(&)=0.5,

D(Xj=0.5x0.5=0.25

(1)用切比雪夫不等式确定

尸(0.4(工<0.6)=-0.5<0.1)

而听)=〃卜£刈]=£〃亿)=与00.52=

I刀7n;=1〃i=i

即要求1一°，25；”>0.90

0.1

即刀2丝095=250(次)

0.I3

即至少应掷250次才能满足要求。

(2)用中心极限定理确定

/---\

[0.4-0.5X-0.50.6-0.5j

尸(0.4(元<0.6)=<——-<---------

、0.5/4---0.5/«----0.5/4,

1+0.90

~r=0.95

查标准正态分布表的

”75>1.645,>5x1.645=8.225

所以〃>8.225"=67.65*68

即在这种情况下至少应掷68次才能满足要求。

3.解：设X为每天去阅览室上自习的人数。

贝IJ有X0(12000,0.08),E(X)=12000x0.08=960,D(X)=960x0.92=883.2

(1)

P[X>880}=l-P{X<880}

_j_X-960<880-960

一J883.2-J883.2

X1-0(-2.692)=0(2.692)=0.996

(2)设总座位数为〃

X-960”-960

P{X<〃}=0.8，口

J883.2一J883.2一'由中心极限定理知,

n—960n—960

①㈠)=0.8,查表得力=0.85,〃=986,所以应增添986-880=105个座

883.2883.2

位。

4.解：令〃为该药店需准备的治胃药的瓶数

X为在这段时间内购买该药的老人数

则由题意知X5(2000,0.3),6(X)=2000x0.3=600,0(X)=600x0.7

P{X<n}=0.99

X—600〃—600由中心极限定理知,

1{/——/}=0.99

V420V420

.n-600.八_....n—600___”，，,._

0(—亍——-)«0.99,查表得-产—•=2.33,所以〃a648

420420

四、证明题

1.证明：设

fO,第k次试验事件A不发生

Xk=\k=\,2,--,n

U，第k次试猿事件A发生

则有M“=£X*,E(X*)=p«RX*)=(1—pM<1

k=\4

h/f1〃1nZPk

E(〃)=E0X”±E(XD=y

〃〃订yn

由切比雪夫不等式得，1——二<1一一T—"{匹/+%+…P"1<£},

nn

所以当力一+8时14P{I区-P+P"…2'1<£}41,即

nn

川如一9七1^|<£}=].

nn

2.证：因为X「X,,…X“，…相互独立且同分布，所以才:，XI，才:相互独立且同

分布，且有相同的数学期望与方差：

2

赢)=%,〃的=£田)-陶〉=a4-(aj=a0

满足独立分布中心极限定理条件，所以方万：近似服从正太分布"(〃a2，〃b2),即

2=1

]8为—(I》

yn=—E1:近似服从Na2

n2n

第五章数理统计的基本概念

5.1总体样本统计量

一、选择题

l.(D)

E(X,-X)2£X；—9XB

$2=_£=l_____________i^l_____________285-9x25

2.(A)=7.5

9-19-18

3.(D)

二、应用题

1.5,2.44

2/(七,々,…%)="&(%)=<，4<苞，…工5<b

®'[o,其它

0,x<1

一,1x<2

4

3尸(%)=,

3

一,2Wx<3

4

l,x>3

5.2抽样分布

一、选择题

1.(0注：江刍1)才是正确的.

SJ瓜

2.(B)根据^一/——力2(”—1)得到f(x,—x)2~/(〃一1)

b,=1

3.(A)

9979/

解：Zxj~N(0,92)n£Xi/9~N(0,l),工片上/⑼

*=1i=l/»=1/

二、应用题

1.尸(〃一1,1)

-3

2.⑴X~N(10,5)⑵0.2061

3.26.105

第五章测验

一、选择题

l.(C)

2.(C)注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数

3(D)

对于答案D,由于幺=且相互独立，根据/分布的定义有

(J

f(Xi)?

上S------》2(〃)

—1X

4.(C)注：X〜N(0,—)~—1）才是正确的

ns/y/n

5.(0P{max(X,,X2,X3,X4,X5)>15}

=l-P{max(X1,X2,X3,X4,X5)<15}

=1-P(X1<15,---,X5<15)

=l-[O(1.5)]5

二、填空题

cr2

1.//,—

n

tx.I——-------------

2J,《白之区-又»-4z(^-^)2'

nV«-1,=i«-1,=in,=|n,=1

3"

n

4.2

5Z2(/I-1)

三、应用题

n4kJ-2~~

Lf^,x2,...xn)=n(T7^)^

-k-"k!

i=l

2.0.1

3.r(/i-l)

第六章参数估计

6.1参数的点估计

一、选择题

1.A2.A

二、解答题

1.解(1)E(X)=fxP{X=x}=£x(l—p)ip=p7=p_j

A=IA=1dqA=|11一口

=；（qdp）

用X代替E（X），则得p的矩估计量

（2）分布参数p的似然函数

MP）=flP{X=xj=立（1—p尸p=p"（1-p）”

i=\i=\

（n\

取对数lnL（p）=〃lnp+2为一〃ln（l-P）

3=17

解似然方程"ln）（p）j__l_fyx.-n\=o

dpP1-PIzT）

1（_]〃、

得〃的极大似然估计量）=上—X,

XVni=lJ

2.解（1）E（X）=J亶0"（x;6bx=J：镖®—x/c=S,用兄X,代替总

92nj=]

体均值E（X）,则得参数0的矩估计量为e=2X.

（2）

0（。）=0（2又）=40（9）=40-JX,

1〃7

因为

D（X）=E（X2）-[£（%）2]=「//卜治加（"

所以丽=焉S

“一i

3.解取*（X”X2,…,X,）=C£（XN-XJ2,由定义

1=1

"-1ZJ-I

Ee（X|,X2,…,X.）]=EC^（X,,-X,）2=CZE（X,M-X*

LL，=】」E

C£E[X32X,+'+X〃=式忸隔）.2E（X-禺）+E（X：）]=

»=l»=1

2

c£归（X3）-2£（XI+I）£（X;）+E（X：）]=c£归d；）-2E（X）+E（X；）]=

i=lz=l

C^2（cr2+（T2）=C（n-1）2（T2=er2

i=l

。二心

所以

6.2参数的区间估计

一、选择题

1.C2.A

6.3一个总体均值的估计

1.解由于l-a=0.99,故a=0.01,又〃—1=3,查♦分布表得⑶=5.841,又

5=8.34%,5=0.03%,故得〃的99%的置信区间为

（8.34-5.841x等）％,（8.34+5.841x等）％=[8.252%,8.428%]

2.解计算得样本均值了=2.125,S2=00171,〃=16

（1）a=0.10,«0]=1.645,0.01,总体均值〃的90%的置信区间为

~2

X-Ua-^,亍+4爷=[2.121,2.129]

?yin7J'

（2）a=0.10,〃—1=15.查f分布表得九1（15）=1.753d0（15）=1.753,总体均值

T

〃的90%的置信区间为

3.解：计算得元=65,52=3000,a=0.05,n-l=7,查f分布表得

°」。⑺=1.895,计算得株高绝对降低值〃的95%的置信下限为了f二（〃-1佳=28.298.

~2~2vn

4.解每0.10历后的平均蓄积量为15:r,以及全林地的总蓄积量75000//,估计精度

为A=0.9505

5.[372.37,452.67]

6.4一个总体方差与频率的估计

1.解由样本资料计算得亍=60.3750,S2=03846,s=0.6202,又由于a=0.05,

a/2=0.025,l-a/2=0.975,1=15查/分布表得临界值/侬(15)=27.488,

1975(15)=6.262,从而。2及=的置信概率为95%的置信区间分别为[0.2099,0.9213]与

[0.4581,0.9598],

2.解(1)由Is”=14,a=0.05,查，分布表得q05(13)=2.16,又元=8.7,5=1.67>

故得总体均值〃的95%的置信的区间为

x-ta(n-l