数学寒假作业答案

寒假作业(一)答案

一、选择题：1.B2.B3.B.4.A.5.A6.A7.B8.C9.B

10.B.提示：而〃O)=T/(3)=1,.•./(())<〃x)</(3),

0<x<3.

二、填空题：11.812./(x)=(x+l)213.[2,-H»)14.{-2,0,2)

15.①②④.提示：若函数y=2'的定义域是{x|xWO},则它的值域是{y|O<y〈l}；

若函数y=-的定义域是{x|x>2},则它的值域是{y10<y<-}.

x2

三、解答题：16、解人={0,—4}VAnB=BABcA

由x2+2(a+l)x+a2—l=0得△=4(a+1)—4(a2—1)=8(a+1)

(1)当a<-l时△<()B=<bcA

(2)当a=-l时△=()B={0}cA

(3)当a>-l时△>()要使B=A,贝ijA=B

VO,-4是方程x2+2(a+l)x+a2-l=0的两根

-2(a+l)=T

解之得a=l

a2-1=0

综上可得aW-1或a=l

17.解：⑴依题意有:A={1,2},B={1,2,3,4,5},C={3,4,5,6,7,8}

/.BC={3,4,5},故有A(BC)={1,2}{3,4,5}={1,2,3,4,5}.

(2)由G/={6,7,8},QC={1,2}；

故有(癖)(uQ={6,7,8}(1,2)={1,2,6,7,8}.

18.解:⑴因为y=f—2x+9在{尤|3<十48}上单调递增,所以yw(12,57]

(2)因为y=/一2x+9在(一3,1]上单调递减，在(1,2]单调递增，所以ye[8,24)

19.解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为陋理2=12,所

50

以这时租出了100—12=88辆车.

(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为

/(%)=fl00-「叫(x-150)-Y00。x50=—L(x—4050)2+307050.

(50)505()

所以，当x=4050时，,(X)最大，其最大值为八4050)=307050.

当每辆车的月租金定为4050元时，月收益最大，其值为307050元.

1(1、

20.证明：⑴函数为奇函数/(—x)=r——=-x+-=-/(%)

xyX)

⑵设项,为£(。［)且为<%2

11

(々一七)(中2—1)

X-=(^2-X1)J

f{x2)-f{x[)=x2+—~l

龙2x\X\X27x}x2

・,0<Xj<x2<1,/.XxX2<1,%1%2—1<0

W一%>0././(x2)-/(x,)<0,f[x2)</(xj

因此函数f(x)在(0,1)上是减函数

(3)/(x)在(—1,0)上是减函数.

(7+2丫V

21.解：(1)据题意，/(x)=4x--—I(«>0),•••/(1)=0.•.«=1,

故/*)的表达式为/(x)=(x—等)—：.

(2)当*<一1即f<-4时，/(x)在闭区间—1,(上单调递增，/(x)在闭区间一l,g

上的最小值是/(一1),../—l一二产9

-=-5,解得f=—Z.

42

当一14一4；即一4<14一1时，/(x)在闭区间一11上的最小值是—

产

-----=-5,**•t=-2*\/5(舍去).

4

当审〉;即r>—l时，/(x)在闭区间—l,g上单调递增，/(x)在闭区间—1,(上的

最小值是/(,)，二口―2匕［--=-5,解得/=一生(舍去).

2(22J42

9

综上，t——,x=-1.

2

寒假作业(二)答案

一、选择题：DDBCBBBACB

10.设3"=4"=6,=攵，则>>0且4W1,取对数得a=log3N〃=log4左,c=log6%,

.1.J,1c.’,221

••一=1og3-7=(og=4?16g=2，ATo&6+1(,••一——I—。

ahccal.

二、填空题：11.12.x>2,0<a<l13.俘,半)14.(|,；)+8)

15.(D(3)o提示：⑴中两个函数的定义域都是R；⑵中两个函数的值域分别是R

与(0,+8)；⑶中两个函数均满足/(-x)=-/(幻，是奇函数；⑷中函数

y=(x-l)2在(0,+8)不是增函数。

三、16.解：因为/(lga)=，s=］(x),两边取对数，得lg」(31g"5)=2,

1.1

所以3(lga)2-51ga-2=0,解得lga=—1或lga=2,即a=103或&=⑼。

17.解：若则/的龛(„xX+e>必/在区间口，7］上的最大值为log,8,

最小值为log“2,依题意，有log“8-log“2=g,解得a=16；

若0<4<1,则«Q>面片在区间［1,7］上的最小值为log“8,最

大值为log42,依题意，有log,,2-log“8」，解得。=,。

216

综上，得a=16或

16

18.解：*/y=(5'.在xw(0,+8)时，有y>l,/.」>1,即0<a<。

aa

于是由log“(xT)4k>g〃(x2+x-6),得「，1""+"6,

x+x-6>0

解得2<x4&,二不等式的解集为｛x|2<x46｝。

19.解:⑴由1-优>0,得优<1。

当a>l时，解不等式相<1,得x<0；

当OVaVl时，解不等式优<1,得x>0。

当a>l时，/(x)的定义域为｛x|x<0｝；当0<。<1时，/(x)的定义域为

｛x|x>0｝o

(2)当时，f(x)在(-8,0)上是减函数，证明如下:

设%，々是（-8,0）内的任意两个数，且X,＜当，则

xa

f(%)-)=log„(l-a')-loga(l-优2)=loga\~，

X2x

a>1,x,<x2<0,0<a''<a<1,l-a'>1-a>0»

从而^一—>1，log«；——>0»即/(与)>/(工2)・

\-a-1-a-

.•.当a>l时,f(x)在(-8,0)上递减。

20.解：根据题意，有，+-4">°，*e(一8，1］，

即a>—(；)'+(；)*,xe(-00,1］,

一(_1)，与-(3*在(-吗1］上都是增函数，

42

/.-［(；)'+(夕］在(-8,1］上也是增函数,

它在x=i时取最大值为-七+3=-3，即-

424L42J4

•、

••a3N—©

4

21.解:因为S(f)=f(f>g(f),所以

(1)当0<r<40U寸,S(r)=(；f+22)(—gr+F),即5«)=-\。+88)«—109),从而可

知当f=10或11时，Smax=808.5；

(2)^40<r<100ift,5(r)=(--z+52)(--z+—)=-(r-104)(z-109),当r=40时，

2336

Enax=736<808.5o

综上可得，当04rM10001Smax=808.5□

答：在最近的100天内，这种商品的日销售额的最大值为808.5。

寒假作业（三）答案

一、选择题:

12345678910

CABBCBADBD

二、填空题：11.y=13xl.01',xeN'；12.［l,+oo)；13.0,4；14.2

15.(1,1),(5,5)；

三、解答题：16.解：A={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}

(1)又BC={3},A(BC)={3}；

(2)又BC={1,2,3,4,5,6},

得C(6C)={^6,-5,-4,-3,-2,-1,0}.

•••ACA(BC)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}.

211111L1L

221

17.解：(1)原式=(xy•N-y~K.x-'.y-'=x2.y2.y2.x-',y-=i.

(2)原式=21g5+lg2(lg5+l)+(lg2)2=21g5+Ig2(lg5+l+lg2)=21g5+21g2=2

18.解：(1)是偶函数.定义域是R,•；/(—x)=(—x)2—2|—x|=f—2|x|=/(x)

函数/(x)是偶函数.

(2)是单调递增函数.当xe(-l,0)时，./XX)=X2+2X

设一1<%<%2<0，则%一工2<0，且％+%2>—2，即%+%+2>0

/(%)-/(%)=(34)+2(万f)=(演_电)(3+/+2)<0

•••/(%,)</(%2)

所以函数/(x)在(-1,0)上是单调递增函数.

19.解：⑴a=-1,/(无)=f—2x+2,对称轴xf./aLn=/(l)=l,/(x)1rax=f(-5)=37

••1(制2=37"(女而=1

(2)对称轴x=—a,当一a«—5或一a上5时,/(x)在［—5,5］上单调

，。25或a«-5

20.解：⑴y=a(l—10%)”(x£N*).

(2)y<-a,:.a(i-W/o)x<-a,/.0.9A<-,

333

1-]3

x>log-=—^g«10.4,x=11.

09321g3-l

答：至少通过11块玻璃后，光线强度减弱到原来的,以下。

3

21.解：⑴/(x)的定义域为R,设

112'1-T2

则)_/(%)=a------------a+---------=---------------------，

1-2再+12应+1(1+2*)(1+2*)

为<%，；♦2"—2”<0,(1+2")(1+2迎)>0,，/(玉)-/(/)<0,

即/(5)</(々)，所以不论。为何实数/(幻总为增函数.

(2)/(x)为奇函数，.•./(_幻=_/(x),即a-4，=_r+Jr，

2+12+1

解得：a=1.=

(3)由(2)知/(x)=g—^■，2v+l>l,.-.0<^-j-<l,

一己7<-g</⑴<\

所以/(X)的值域为(一；,；).

作业4空间几何体(答案)

5

-DCDC

一、选择题：1.D2.A3.D4.C5.C6.27.8.9.10.

二、填空题：11.16乃12.13.处亭14.g兀层15.2兀+邛士

三、解答题：16.解画法：⑴画轴.画以轴、Oy轴、Oz轴，N%Oy=45。(或135。)，Z

xOz=90°,如图⑴.

⑵画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形

A8CO的直观图.

⑶画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱

锥的高.

⑷成图.顺次连接为、PB、PC、PD,并擦去辅助线，

将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图(如图(2)).

17.解设圆柱的底面圆半径为rem,・・.S圆柱表=2兀•尸8+2兀户=130兀.

r=5(cm),即圆柱的底面圆半径为5cm.则圆柱的体积V=TiPh=7rX52X8=2007t(cm3).V

=Vvm—Vm.=%。彳+r\n+$用71=^-：

18.解析因为E点在线段M上，所以S=gx1Xl=g,

又因为尸点在线段BiC上，所以点尸到平面。EZZ的距离为1,

即〃=1,所以VDi-EDF=VF-DEDi^XS/\DEDiXh^X^X1

4答案i

19.解(1)该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4,高是2,因此该几何体的全面积

是：2X4X4+4X4X2=64(cm?),即几何体的全面积是64cm

(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d,球

的半径是r,d=y/16+16+4=yf36=6,所以球的半径为r=3.

44

因此球的体积「=不立'=鼻X27n=36n(cn?),所以外接球的体积是36ncm\

JV

20.解如图所示，在梯形ABCD中，AB//CD,NA=90。，NB=45。，绕AB边旋

3

转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体.设O)=x,A8=fx,

x、历

则AO=A5-C£>=5，BC=^X.

S表=S।削柱底+S眼柱例+SAD1+2n'AD-CD-\-nAD-BC

多=苧小

根据题设，^=(5+的兀,则x=2.所以旋转体体积丫=兀么£>2.。£)+争4。2.(43一°)

n7

=nXJX2+£X12X(3-2)=；n.

oo

21.解如题图，在梯形A8CQ中，ZABC=90°,AD//BC,AD=a,BC=2a,ZDCB=

60°,

BC-AD,,

：.CD=­7^=2a,A5=CQsin600=r@,：.DD'=AAf-2AD=2BC-2AD=2a,

COSOU

•*.£)O=^D£)Z=a,

由于以/为轴将梯形ABC。旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的

圆锥.

由上述计算知，圆柱母线长小m底面半径2a,圆锥的母线长2a,底面半径a,

圆柱的侧面积Si=2?r2a•小a=4小兀品

圆锥的侧面积52=7t-a-2a=27ta2,圆柱的底面积S?,—Tt(2a)2—4na2,圆锥的底面积S4—na2,

，旋转体的表面积S=Sl+S2+2S3-S4

=4小+2na2+4raz2X2-na2=（4小+9）na2.

又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积.V槎=曲=

兀（2“F小a=4小兀<?.

V城=*'h=^ifa1-yf?>a='^na}.U=丫桂一丫城=4小兀一坐兀43=_11平兀“3.

作业5点、直线、平面之间的位置关系（答案）

一、选择题：1.D.2.C3.B4.D5.B6.D7.D8.C9.C10.D

二、填空题：11.②④12.E为SA中点13.45°14.a>615.观

三、解答题16.证明（1）如图，连接AC交B。于。连接EO.

•.•底面ABC。是正方形，.•.点。是AC的中点，

在△曲（7中，EO是中位线，：.PA//EO.

而EOU平面EDB且平面EDB.所以南〃平面EDB.

（2）：PO_L底面ABCD且QCU底面ABCD,：.PD±DC,

■：PD=DC,可知△2£>€1是等腰直角三角形，而。E是斜边PC的中线,

ADEI.PC,①同理：由PO_L底面ABC。，得PD_LBC.

•.•底面ABCD是正方形，WDC1BC,/.BC±¥ffiPDC.

而QEU平面PQC,②由①和②推得£>E_L平面尸BC

而PBU平面尸2C,：.DELPB,又EF_LPB且所以P8_L平面EFD

17.证明由题意：COLAO,BOLAO,，NBOC是二面角B-AO-C的平面角，

又；二面角8-AO-C是直二面角，；.CO_LBO,

又：?1。。〃"。，ACO±¥ffiAOB,

：COU平面COD,，平面CO£»_L平面AOB.

18.（1）解（1）该几何体的直观图如图所示.

⑵证明如图所示，①连接AC、8。交于点O,连接OG,因为G为

PB的中点，。为8。的中点，所以OG〃尸D

又。GU平面AGC,PDQ平面AGC,所以〃平面AGC.

②连接尸0,由三视图可知PO_L平面ABCD,所以40_LP0.

又4。_1_80,所以AO_L平面P8D.

因为AOU平面4GC,所以平面尸6O_L平面AGC.

19.⑴证明在矩形ADE尸中，EDA.AD,

平面AQEF_L平面ABCD,且平面ADEFC\平面ABCD=AD,

平面ABC。，：.ED1.AC.

⑵解由⑴知：EQ_L平面A8CC,

ZEBD是直线BE与平面ABCD所成的角，即/EB£>=45。，

设则DE=BO=也a,取力E中点M,连接AM,

：G是AF的中点，:.AMHGE,

：.ZMAC是异面直线GE与AC所成角或其补角.

连接8。交AC于点0,连接M0.

-：AM=CM=4层+惇，2=孝/。是AC的中点，

蛆

MO.LAC,/.cos/加4。=赢^=大-=号，

2a

.•・异面直线GE与AC所成角的余弦值为坐.

20.(1)证明VZAiCiB^ZACB=9Q°,.'.fiiCilAiC,

又由直三棱柱性质知B.CilCG，平面ACG4.

...BiC|_LC£>,由A4i=BC=2AC=2,。为A4i中点，

可知QC=QG=也，：.DC2+DCy=CC\=4,BPCDLDCy,

又BCi_LCZ),.•.CD_L平面

又CQU平面SCO,故平面8CQ_L平面BiGD

⑵解当AD=^AAi时二面角BiCDCi的大小为60°.

假设在A4上存在一点。满足题意，由(1)可知BiG，平面ACC\A\,

如图，在平面ACGAi内过G作GELCZ),

交CD或延长线或于E,连EB\,则EBJCD,

所以/BiEG为二面角Bl-CD-Ci的平面角，.•.NBiEG=60。，

由BICI=2知，GE=号,设AD=x,则BCRf+l,

•/△OCG的面积为1,.•.IxpTL",解得x—y12,即AD=y[2—^2LAAi,

在A4i上存在一点。满足题意.

21.⑴证明由题意，COLAO,BOA,AO,...NBOC是二面角B-AO-C的平面角,

又•..二面角BAOC是直二面角.J.COYBO.

又•.,AOriBOn。，，COJ_平面A08.

又COU平面COD,.,.平面COD_L平面AOB.

⑵解作力ELOB,垂足为E,连接CE(如右图)，贝iJOE〃4O.

.*.NCCE是异面直线AO与CQ所成的角.在RtzXOCB中，CO=BO=2,

OE=^BO=1,CE^CO^+OE2=y[5.

又DE=%0=小,.•.在RtZ\C£>E中，tan/C£)E=^=^|=空.

即异面直线A0与CD所成的角的正切值是华.

(3)解由(1)知，(70_1_平面4。8,是CO与平面AOB所成的角，

OC2

且tan/C£>0=35=历.；.当OD最小时，ZCDO最大，

这时，ODJ_AB,垂足为。，0£>==小,tanZCDO=^,

")/\8D"J

即CD与平面AOB所成角的正切值的最大值是半

作业6(答案)

一、选择题：1.D2.C3.D4.A.5.A6.D.7.C8.B9.C10.A

二、填空题：11.Jt=312.(-2,1)13.114.3巾15.4

三、解答题：16.解⑴设所求的直线方程为4x—3y+c=0.由己知：不为=6,解得

=±30,故所求的直线方程为4x一3yi30=0.

(2)设所求的直线方程为2x+3y-5+2(7x+15y+1)=0,

2+7/1

即(2+7»工+(3+152»+/1—5=0,由已知一三一，;二一5,解得2=1.

JI1DA乙

故所求的直线方程为9x+18y—4=0.

17.解(1)当直线过原点时;该直线在x轴和)，轴上的截距都为零，当然相等，

则(a+l)X0+0+2—a=0,；.a=2,方程即3x+y=0.

n-2

若aW2,由于截距存在，.•.干=〃-2,

即a+1=1.，。=0,方程即x+y+2=0.；./的方程为3x+y=0或x+y+2=0.

(一(a+l)N0,

(2)将/的方程化为y=—(a+l)x+a-2,.•./不经过第二象限，当且仅当_

I”一2W0.

aW—1,综上可知，a的取值范围是aW—1.

18.解由于点A(l,l)与8(—3,1)到y轴的距离不相等，

所以直线/的斜率存在，设为卜，又因为直线/在y轴上的截距为2,

则直线/的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.

由点A(l,l)与仇一3,1)到直线/的距离相等，

zri|k-l+2||feX(-3)-1+2|“加―

后，解得k=。或i

/.直线/的方程是y=2或x-y+2=0.

19.解当m=0时，Zl：x+6=0,Z2：x=0,：.h//l2;

当机=2时，/i：x+4y+6=0,Z2：3y+2=0,二/i与L相交；

I2-i/,

当mWO且？nW2时，由----=TT，得0I=-1或"7=3,由---7=7~>得机=3.

m—25mm~2Zm

故⑴当机£一1且机W3且根WO时，八与b相交；

(2)当机=-1或胆=0时，/|〃勿(3)当机=3时，/1与/2重合.

20.解|AB|=M(3+1>+(2—5)2=5,8c=10,...AB边上的高为4,

即C点到AB距离为4,而直线AB的方程为3x+4y—17=0,

①一6+3=0,5

a——1,a=

设C(a,h),则j|3a+4A-17|解得或'y所以

b—0

5二4力=8.1a

工-2y+1=0,

21.解由方程组。解得点A的坐标为(-1,0),又直线A8的斜率L“=l,x

)=0，

轴是/A的平分线，所以k.=—1，则4c边所在的直线方程为y=—(x+1).①

又已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,故直线BC的斜率knc=-2,

所以BC边所在的直线方程为y—2=—2(x—1).②

x5

,即顶点C的坐标为(5,-6).

{产一6,

作业7圆与方程

一、选择题：1.A2.D3.B4.B5.C6.B7.C8.B9.C10.D

二、填空题：11.(一3,-4,-5)12.(10,+8)13.(X+2)2+/=2

14.相切或相交15.f=2|y|+l.

1片+丁+8苫—6丫+21=0,

三、解答题：16.解由彳,„

[x-y+5=0,

求得交点(-2,3),(-4,1).设所求圆的方程为f+V+Dr+£>+尸=0,

7(0,0),(—2,3),(一4,1)三点在圆上，

.•.<4+9-2O+3E+F=0,解得<_史

乜―5'

U6+l-4D+£+F=0,

/=0,

ioQ

所以所求圆的方程为^+/+yx-1y=O.

17.解由圆M和圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m,—2),N(—l,-1).

两圆方程相减得直线AB的方程为

2(/«+1)A~2y—/M2—1=0.'."A^8两点平分圆N的圆周,

；.AB为圆N的直径，直线AB过点M—l，-1).

2(m+1)X(—1)—2X(—1)—/n2—1=0.解得m=-1.

故圆M的圆心为M(—l,-2).

18.解如图所示，以01。2中点。为原点，0|。2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则

。1(一2,0),。2(2,0).已知PM=y[2PN,

得PM2^2PN2,由两圆半径均为1得POT-1=2(PO2-1).

设点P(x,y),则(x+2)2+V—1=2[。-2)2+)2—1],

即(x—6)2+9=33.

所以所求点P轨迹方程为(x—6)2+尸=33.

19.解过。作£>E_LBC,垂足为E,在RtA^DC中，ZfiDC=90°,/£>CB=30。，BC=2,

贝CD=y[3,：.DE

OE=OB-BE=OB-BDcos60°=1-5

二。坐标为(0,—I，2J-

“势+(1%>+。=/，

.".|AB|=

：.\AB\2+\AC\1=\BC\2=4.'.△ABC是直角三角形.

20.解(1)若直线斜率不存在，x=2符合题意；

当直线斜率存在时，设直线人的方程为：y=k(x-2),

即以一厂2—0由条件得：।I4L心5一—2kl=2,解得：仁养2]，

yjk£+1zu

21

所以直线/1的方程：x=2或丁=行(1—2),即x=2或21x—20y—42=0.

(2)由题意知直线/2的斜率存在，设直线b的方程为：y=k(x—4),

即日一y—4k=0,由条件得：圆心C2到直线/2的距离d==1,

结合点到直线的距离公式，得:=1,化简得:24卜2+7卜=0,

7—7

卜=0或卜=一五，所以直线，2的方程为：y=0或了=一立(X—4),

即y=0或7x+24y-28=0.

21.解设直线/的方程为y=x+从D圆C：f+y2—2x+4y-4=0.②

联立①②消去y,得2/+2S+l)x+〃+46—4=0.

用+无2=-S+1)，

设A(X[,yi),3(x2，yi)f则有v/+4。—4③

X\X2=2-

因为以4B为直径的圆经过原点，所以OA，。-即加也+)叮2=0，

12

而y1J2=Ui+b)(X2+b)=x\X2+b(x\+x2)+b,所以2XIX2+b{x\+x2)+b=09

22

把③代入：h+4h-4-h(h+\)+h=0f

即〃+3b—4=0,解得b=l或b=-4,

故直线/存在，方程是x—y+l=0,或x—y—4=0.

寒假作业（八）答案

一选择题：DCDAACCADD

二、填空题：11.212.{a|—2万+2左乃<°<2万+2&）£Z}13.

14.-sin^cos^15.y=3sin(2x+y)+2

三、解答题：

16.解(1)tana=^^"=-3,且a为第二象限角，又有sin%+cos2a=1

cosa4

.34

sin(7=-,cosa=——

55

734

(2)sina-cosa=—,sin2a+cos2a=\.^L7i<a<—

132

.7127

「.sma=-----,cosa=-----tana=------

131312

17.解、Vtan=3cos6z0

(4sina-2cosa)x------4tana-24x3-210

・•・原式=------------------eQsa

5+4tana5+4x317

(5cosa+4sina)x------

COS6Z

X7T7Tt

18.解：函数自变量x应满足土+,ksz,