2023-2024学年湘教版必修第二册 4-3-1空间中直线与直线的位置关系第2课时异面直线 学案

第2课时异面直线教材要点要点一异面直线的画法异面直线的表示，一般借助辅助平面．如图，图中的两条直线a，b均为异面直线．要点二异面直线的另一种判断方法与平面的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线．要点三异面直线所成的角1.定义：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线平行的直线，这两条直线所成的锐角或直角，叫作两条异面直线所成的角．2.范围：．3.如果两条异面直线a与b所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直，记作．状元随笔（1）异面直线所成角的定义的理论依据是等角定理．（2）两异面直线所成角的大小与点O的选取无关，所以在具体计算两条异面直线所成角的问题中，点O经常选在一些特殊的位置或两异面直线的一条上．（3）两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．基础自测1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）分别位于两个不同平面内的两条直线是异面直线．（）（2）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线是异面直线．（）（3）过直线外一点可以作无数条直线与该直线成异面直线．（）（4）两条直线垂直不一定相交，两条相交直线不一定垂直．（）2.已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b（）A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线3.在三棱锥S­ABC中，与SA是异面直线的是（）A．SBB．SCC．BCD．AB4.若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为．题型1异面直线的判断例1（1）若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（）A．平行B．异面C．相交D．以上皆有可能（2）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？方法归纳判定异面直线的方法（1）定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在一个平面内．（2）利用异面直线的判定定理．（3）反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可．跟踪训练1如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是．题型2求异面直线所成的角例2如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：（1）BE与CG所成的角；（2）FO与BD所成的角．变式探究1在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．变式探究2（变换条件）在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为θ，求AM和BN所成的角．方法归纳求异面直线所成的角的步骤（1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．（3）结论——设由（2）所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求．提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°.跟踪训练2如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为Ｗ．易错辨析忽略异面直线所成的角的范围致误例3如图1，已知空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．解析：如图2，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM（或其补角）为BC与MN所成的角，∠MEN（或其补角）为BC与AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°.∵异面直线所成角θ∈（0°，90°]，∴BC与AD所成的角为60°.易错警示易错原因纠错心得解本题时易忽略异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°，从而由∠MEN＝120°直接得出BC与AD所成的角为120°这一错解．在未判断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两条异面直线所成的角，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角．课堂十分钟1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定垂直C．一定是异面直线D．一定相交2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直3.（多选）如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（）4.如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，异面直线A′B′与BC所成的角的大小为Ｗ．5.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为60°，E，F分别是BC，AD的中点，求EF与AB所成的角的大小．第2课时异面直线新知初探·课前预习要点二相交要点三2．(0°，90°]3．a⊥b[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线．答案：C3．解析：如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．答案：C4．解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.答案：60°题型探究·课堂解透例1解析：(1)平面α，β相交，如图所示：则a⊂α，b⊂β，a∥b；又a⊂α，c⊂β，a、c异面；c⊂β，d⊂α，c，d相交；所以分别在这两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交．(2)分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体如图所示．答案：(1)D(2)见解析跟踪训练1解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案：③例2解析：(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角．又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB.又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形．又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.变式探究1解析：连接EG，HF，则P为HF的中点．连接AF，AH，则OP∥AF.又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角．由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°.故OP与CD所成的角为45°.变式探究2解析：连接MG.因为四边形BCGF是正方形，所以BF綊CG.因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BM綊NG.所以四边形BNGM是平行四边形．所以BN∥MG.所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角．因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝θ.所以∠AMG＝180°－2θ，即AM和BN所成的角为180°－(180°－2θ)＝2θ.跟踪训练2解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD.因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.答案：2[课堂十分钟]1．解析：因为a⊥b，b∥c，所以a⊥c.答案：B2．解析：因为正方体的对面平行，且直线A1C1与BD不平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直．答案：D3．解析：A中，直线GH∥MN；B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，且N∉GH，因此直线GH与MN异面；C中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此，GH与MN共面；D中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，且G∉MN，所以GH与MN异面．答案：BD4．解析：∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角，且∠A′B′C′＝90°.答案：90°5．解析：取AC的中点G，连接