复变函数与积分变换全套精美课件

复变函数与积分变换引言复变函数与积分变换，实际上是两门课，都属于工程数学.第1章到第6章是属于复变函数，复变函数论发展到今天已成为一个内容非常丰富、应用极为广泛的数学分支.作为大学必修课程的复变函数主要讲述解析函数的基本理论和有关方法，通常它包含以下三方面内容：Cauchy积分理论Weierstrass级数理论Riemann保形映照理论.第7,8章是属于积分变换，主要包括傅里叶(Fourier)和拉普拉斯(Laplace)积分变换.第1章复数与复变函数

一、复数域、扩充复平面及其球面表示在中学代数中已经知道，虚数单位具有性质，将这一虚数单位与两个实数用加、乘结合起来得到复数

分别称为复数的实部与虚部记为.

复数的四则运算为若，

两复数相等当且仅当实部与虚部相等，i.e.

和

若复数，则称为的共轭复数，记作.而称为的绝对值（模），，记.

于是显然，

对于平面上一个给定的直角坐标系来说，复数可以用坐标为的点来表示.

轴为实轴，轴为虚轴，所在平面称为复平面，记作.（见图1.1）

图1.1

一个复数不仅可以用一点来表示，而且可以用一个由原点指向这点的向量来表示，这个复数、这个点、这个向量都用同一字母来表示.任一向量作平行移动后得到的所有向量都视为与原向量恒等.于是复数的加法成为向量的加法.而复数的公式往往赋有几何意义，例如表示向量长度，表示三角形两边之和大于第三边，等等.

对复数也可引入极坐标复数也称为复数的三角表示式.显然，，称为复数的模.称为复数的辐角，记辐角有无穷多值,彼此相差的整数倍.通常把满足的辐角值称为的主值，记为

，于是

用复数的极坐标来表示两复数的乘、除法、乘方以及开方，有时很方便.如果则两复数相乘，积的模为模的积，积的辐角为辐角的和.进而，不难知道，使得，则称为的次方根，记为设，则.

从而解出后（算术根），因此，的次方根为

（i）当时，得到个相异的根（ii）当以其他整数值代入时，上述根又重复出现.

例1．将写成三角形式

解：令

由

例2．假设，，试证只有时才是实数.

证：实数

从得，故

例3．试证

证：又因例4．在一直线上的条件是为实数,试证明之.

证：在一直线上的条件是以线段与线段为两边的角是的整数倍，即平面图形用复数形式表示，有时很简单.若，为一固定的复数，为一固定的实数，则表示一个以为中心，为半径的圆盘，记作.同样，上半平面；右半平面等等.例5：求

解：因为，所以

即

引入坐标，得到复平面，但如何来处理无穷远点？在复变函数论中，引入一个点，叫做无穷远点，记作，

称为扩充复平面，它的几何模型称为复球面，如图1.3：球面上任意点（除点外）与复平面上的点一一对应，反之亦然.但是在复平面上引进无穷远点与球面上点对应.以此来扩展.有限复数，图1.3

二、复平面的点集，复变函数

②的邻域：

③，称为的内点：若使得.

④称为的界点：若以及

⑤若的每个点皆为内点，则称为开集.若的所有极限点都属于，则称为闭集.全部边界点组成的集，称为的边界，记为.

①的邻域：

1．基本概念设为复数点集（平面点集）.

2．区域、曲线非空平面点集称为区域：若它满足（1）为开集；（2）是连通的，就是说中任何两点都可以用一条完全属于内的折线连接起来.

设已给曲线：区域加上它的边界称为闭区域.如，，则叫做连续曲线.若，即没有重点的连续曲线叫做简单曲线，当时，则称为简单闭曲线.

若在上恒有，且、，则称为光滑曲线；若一条曲线由有限条光滑曲线连接而成，则称为逐（按）段光滑曲线.

如果的一个值对应着一个值，那么称是单值的否则就称是多值的.称为的定义域,称为的值域.一个区域，若在内任作一条简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；否则称为多连通区域.

这里，我们承认一条简单闭曲线将平面分为内部和外部.

设是一个复数集，如果对中的任一复数，通过一个确定的规则有一个或若干个复数与之对应，就说在上定义了一个复变函数，记为.

3．复变函数定义，极限，连续性

例：

例如．，，及均为的单值函数；（整数）及均为的多值函数.对于中的每一个，一定存在一个或若干个值与之对应，这就定义了上的一个函数.或记为

称为的反函数.

当为单值时，其反函数可能是多值的.当函数及其反函数都是单值函数时，则称这种函数是双方单值的.

设复变函数在的去心邻域内有定义，，对，若，使得当时，有.则称为当趋向于时，函数的极限，记为或当时，.关于复变函数的极限与连续性.

注1趋向是按任意的方式进行的通常用“方式”这一术语，以区别“方向”一词，具体地说，即使当沿任何射线方向趋向于时，都趋向于数，还不能说在点以为极限.

注2

对极限概念可作一几何说明：首先留意不等式所确定的是平面上的一个去心邻域，即除去了中心的一个邻域.

在点以为极限的意思是：先在平面上给定一个以为心,为半径的圆，而后能找到的一个去心邻域，使得中含于此去心邻域内的点的象都在上述圆内.先、后顺序关系：圆是先给的，去心的邻域则是后找的.图1.4

下面的结论成立，它们的证明方法与工数里的相应结论是类似的.若在点有极限，则其极限是唯一的.若，，则

i.

ii.

iii.

；

；

证：由不等式在极限定义中，若极限为函数在点的值即则说在点连续.

定理1设，，则

且

定理2

设，在点连续在点连续.

例1.

求下列极限值（1），（2）

解：（1）令，则，沿直线，趋于0时，它随值而作各式各样变化，故不存在.（2）

例2.

问下列函数在原点连续吗？

（1）（2）

解：（1）令，则沿半直线

时

不存在，因此在不连续.

（2）令，则，

故在连续.

例3.

若在点连续，那么，也在点连续，试证明之.解：使得当时，成立，故在点连续.又故在连续.

例4.在何处连续？

解：当不是原点也不是负实轴或虚轴上的点时，与足够接近的点也不是原点与负实轴上的点，这时有

因为，所以有意义，故

即

.

当为正虚轴上点时，有

当为负虚轴上的点时，有

当为负实轴上点时，由于

所以不存在.第二章解析函数

第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节解析函数与调和函数第四节初等函数1.复变函数的导数与微分

2.解析函数的概念

3.判定解析函数的方法

第一部分解析函数1复变函数的导数与微分(1)导数定义定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作

如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。(3)求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).----实函数中求导法则的推广③设函数f(z),g(z)均可导，则

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)④复合函数的导数(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。例2解(4)可微、可导、连续关系1.若

w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.2.w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处可微.2.解析函数的概念定义

如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称

f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数

(全纯函数或正则函数）。如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。(1)w=f(z)在D内解析在D内可导。

(2)函数f(z)在z0点可导，未必在z0解析。例如(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；定理1设w=f

(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0时)均是D内的解析函数。定理2设w=f(h)在h

平面上的区域G内解析,

h=g(z)在z平面上的区域D内解析,h=g(z)的函数值集合G，则复合函数w=f[g(z)]在D内处处解析。

如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数

w=f(z)在D内解析。

本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题:如何判断函数的解析性？3.判定解析函数的方法定义方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则

f(z)在点z=x+iy

∈D处可导的充要条件是

u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足

Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有定理2

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.

利用该定理可以判断那些函数是不可导的.使用时:1)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，

2)验证C-R条件.3)求导数：

前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.例1

判定下列函数在何处可导，在何处解析：例2例3例41.解析函数与调和函数2.初等函数第二部分调和函数初等函数

定义：如果二元实变函数在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程那么称为区域D内的调和函数。

定理1

任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数。

定义2

设u和v均为调和函数，且满足C-R方程,则称v为u的共轭调和函数。1.调和函数

定理4

（刻划函数解析的等价定理）f(z)=u+iv在D内解析的充要条件是：v是u在D内的共轭调和函数。

定理3

设f(z)=u+iv为解析函数，则v为u的共轭调和函数。

问题：

u的共轭调和函数是v，那么

v的共轭调和函数是否是u？如何由一个调和函数来构造一个解析函数？（偏微分法）（不定积分法）例1例22.指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义

这个性质是实变指数函数所没有的。

例1例2例32.2对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数。即，(1)对数的定义故:（2）

(2)对数函数的性质例5①当b=n(正整数)w=zn在整个复平面上是单值解析函数定义2.3幂函数—多值—一般为多值

除去b为正整数外，均为多值函数，当b为无理数或复数时，无穷多值。解例72.4三角函数和双曲函数推广到复变数情形定义正弦与余弦函数的性质思考题定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质第一节复变函数积分的概念第二节

柯西积分定理第三节柯西积分公式第三章复变函数的积分1.积分的定义

2.积分存在的条件及其计算法3.积分的基本性质4.柯西积分定理5.基本定理的推广第一部分复变积分柯西积分定理1.1积分的定义A(起点)B(终点)CC定义3.1DBxyo

1.2积分存在的条件及其计算法定理

证明

复积分的计算方法法一：将复积分转为两个二元实函数的线积分法二：利用参数方程，将复积分转为定积分计算例1解：Aoxy法一法二例2解oxyrCîíì¹==-=-\òò=-1012)()(000nnizzdzzzdzrzznCnp

1.3积分的基本性质oxy例3解解:例41.4柯西积分定理由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值＝0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。先将条件加强些，作初步的探讨—Cauchy定理Cauchy-Goursat基本定理：

BC—也称Cauchy定理(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图。BBC推论设f(z)在单连通区域B内解析，则对任意两点z0,z1∈B,积分∫cf(z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关。Cz1z0C1C2C1C2z0z1此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的f(z)的不解析点.1.5基本定理推广DCC1C1C11.闭路变形原理2.复合闭路定理：证明DCC1C2BL1L2L3AA’EE’FF’GH说明基本内容：1、复数项级数(概念和收敛的充要条件)

2、幂级数(收敛圆、收敛半径的计算)3、函数的泰勒级数、洛朗级数展开式。4、孤立奇点重点：收敛半径、级数展开式。

第四章级数

1.复数列的极限定义4.1又设复常数：§1.1复数项级数定理4.1证明课堂练习:下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.收敛,极限为-1发散收敛，极限为0发散2.复级数的概念级数的前面n项的和---级数的部分和---无穷级数定义4.2设复数列：不收敛

例1解定理4.2证明解所以原级数发散.例1

由定理4.2，复数项级数的收敛问题可归之为

两个实数项级数的收敛问题。必要条件重要结论:定理4.3所以原级数发散.启示:判别级数的敛散性时,可先考察?级数发散;应进一步判断.定理4.4定义4.3证明由定理4.4的证明过程，及不等式推论4.1另外,因为

的各项都是非负的实数,所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.

?解例2练习：发散复习掌握一、正项级数审敛法：

1.幂级数的概念

2.收敛定理3.收敛圆与收敛半径

4.收敛半径的求法

5.幂级数的运算和性质§4.2幂级数1.幂级数的概念定义设复变函数列：---称为复变函数项级数级数的最前面n项的和---级数的部分和例如若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数---级数(1)的和函数

特殊情况，在级数(1)中称为幂级数2.收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理4.5(阿贝尔(Able)定理）z1xyO证明(2)用反证法，3.收敛圆与收敛半径由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，则级数(3)在复平面上处处收敛。(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，

级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。播放幻灯片37显然，<否则，级数(3)将在处发散。

(ii)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。(i)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆周；圆周的内部成为收敛圆，这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。例如,级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.

定理4.7(根值法)

定理4.6(比值法)4.收敛半径的求法例求下列幂级数的收敛半径:(1)(2)解(1)因为所以收敛半径(2)例4.2解

综上练习：

求下列幂级数的收敛半径例3解例2求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解

(1)该级数收敛该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是处处收敛的。

综上该级数发散。该级数收敛，故该级数在复平面上是处处收敛的.5.幂级数的运算和性质

代数运算

---幂级数的加、减运算---幂级数的乘法运算---幂级数的代换(复合)运算

幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用.例3解代换解代换展开还原

分析运算

定理4.8---幂级数的逐项求导运算---幂级数的逐项积分运算例4.4

求级数的收敛半径与和函数.解例4.4

求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以

1.泰勒展开定理

2.展开式的唯一性

3.简单初等函数的泰勒展开式§4.3解析函数的泰勒(Taylor)展开1.泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：任何一个解析函数能否用幂级数表达?由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。定理4.9（泰勒展开定理）DK回忆：Dkz---(*)得证！证明DK而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看函数1-z2+z4-…它有两个奇点i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.

在实变函数中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显然的事情,例如在实数范围内,展开式的成立必须受|x|<1的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的.

(1)如果

f(z)在z0解析,则使

f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径

R等于从z0到

f(z)的距z0最近一个奇点a的距离,即R=|a-z0|.

例如：yz0ax

2.展开式的唯一性结论

解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数。事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分

析运算和

已知函数的展开式来展开由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Taylor级数，因而是唯一的。---直接法---间接法代公式函数展开成Taylor级数的方法：例

解3.简单初等函数的泰勒展开式例1解间

接

法例2把下列函数展开成

z的幂级数:解

（2）由幂级数逐项求导性质得：因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，

ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z<1.定理4.104.解析函数零点的性质性质4.3不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成则称z=z0为f(z)的m级零点。例如：性质4.4例如注:一个实函的零点不一定是孤立的.如事实上，充分性略！必要性得证！但在复变函数中,我们有定理性质4.5

1.双边幂级数

2.函数展开成罗朗级数

3.展开式的唯一性及求法4.典型例题§4.4解析函数罗朗(Laurent)展开

一个在以z0为中心的圆域内解析的函数

f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.

如果

f(z)在z0处不解析,则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但这种情况在实际问题中却经常遇到.因此,需要讨论在以

z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法.讨论下列形式的级数:可将其分为两部分考虑:只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛，且收敛于它们的和.

正幂项是一幂级数,设其收敛半径为

R2：

设收敛半径为R：

对负幂项,如果令z=(z-z0)-1,就得到：

则当|z-z0|>R1时,即|z|<R,(z的幂级数)z0R1R2例如级数因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圆环域,原级数才收敛.在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项积分和逐项求导.幂级数在收敛圆内的许多性质,级数反问题：

在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数?如果能，级数又是什么形式？先看下例.1Oxy例如，由此推想，若f(z)在R

1<z-z0<R2

内解析,f(z)可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即2.函数展开成罗朗级数定理4.12Dz0R1R2c3.证明思路Cauchy积分公式推广到复连通域Dz0R1R2rRk1k2D1zk1k2zz0证明

由复连通域上的Cauchy

积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z记为I1记为I2式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2，k1上进行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理可将cn写成统一式子：证毕！（2）级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为

罗朗级数的解析部分和主要部分。

其中解析部分在圆C2内收敛，主要部分在C1外

收敛，两部分合起来，构成罗朗级数，在圆环

域R1<|z-z0|<R2

内收敛。

当R1=0时，罗朗级数的主要部分就完全反映了

f(z)在z0的奇异性。

(3)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点z0的

去心邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么就

利用罗朗（

Laurent）级数来展开。4.展开式的唯一性结论

一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的罗朗级数。事实上，Dz0R1R2cDz0R1R2c二、函数的罗朗展开式求法常用方法:1.直接法2.间接法

1.直接展开法利用定理公式计算系数然后写出缺点:

计算往往很麻烦.根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点:简捷,快速.2.间接展开法三、典型例题例1解由定理知:其中故由柯西–古萨基本定理知:由高阶导数公式知:另解本例中圆环域的中心

z=0既是各负幂项的奇点,例1解三、典型例题例2解练习解例4.7xyo12xyo12xyo12解:xyo12xyo12注意首项xyo12(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。小结：把f(z)展成罗朗(Laurent)级数的方法：解

(1)在(最大的)去心邻域例4.8yxo12

(2)在(最大的)去心邻域xo12

函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).我们不要把这种情形与罗朗展开式的唯一性相混淆.所谓罗朗展开式的唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的罗朗展开式是唯一的.练习：

(1)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把

f(z)

展成泰勒(Taylor)级数（T圆）在圆环域内需要把f(z)展成罗朗(Laurent)级数（L环）(2)Laurent级数与Taylor级数的不同点：

Taylor级数：先展开求R,找出收敛域。

Laurent级数：先求

f(z)

的奇点，然后以

z0为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使

f(z)

解析的圆环，在圆环域上展成级数。

1.定义2.分类

3.性质

4.零点与极点的关系§4.5孤立奇点

1.定义例如----z=0为孤立奇点----z=1为孤立奇点定义4.4~~~~~~~~~xyo这说明奇点未必是孤立的。----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇点。2.孤立奇点的分类特点：没有负幂项特点：只有有限多个负幂项特点：有无穷多个负幂项考察：依据在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗级数的情况分为三类:1．可去奇点1．可去奇点;2．极点;3．本性奇点.如果罗朗级数中不含

的负幂项,那末孤立奇点

称为

的可去奇点.1)定义说明:(1)其和函数为在解析的函数.（2）(3)无论在是否有定义,补充定义则函数在解析.如果补充定义:时,那末在解析.例中不含负幂项,是的可去奇点.

2)可去奇点的判定(1)由定义判断:的洛朗级数无负在如果幂项,则为的可去奇点.(2)判断极限若极限存在且为有限值,则为的可去奇点.例

说明为的可去奇点.解

所以为的可去奇点.无负幂项另解

的可去奇点.为2.

极点

若在罗朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,

且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数

f(z)的m级极点.说明：1)上式也可写成

其中

j

(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,

在|z-z0|<d内是解析的函数,且

j

(z0)0.

2）反过来,当任何一个函数

f(z)能表示为(*)的形式,且

j(z0)0时,则z0是

f(z)的m级极点，且定理4.13:这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.例思考例3.本性奇点

如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为

f(z)的本性奇点.注孤立

奇点非孤立奇点支点(多值函数)极

点本质奇点可去奇点综上所述:我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点罗朗级数特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为三、函数在无穷远点的性态1.定义如果函数在无穷远点的去心邻域内解析,则称点为的孤立奇点.Rxyo令变换规定此变换将:映射为映射为结论:

在去心邻域内对函数的研究在去心邻域内对函数的研究因为

在去心邻域内是解析的,所以是的孤立奇点.规定:m级极点或本性奇点.的可去奇点、m级极点或本性奇点,如果

t=0

是是的可去奇点、

那末就称点1)不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项;那末是的1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.判别法1(利用罗朗级数的特点)2.判别方法:在内的洛朗级数中:如果例(1)函数在圆环域内的罗朗展开式为:不含正幂项所以是的可去奇点.(2)函数含有正幂项且

z为最高正幂项,所以是的

1级极点.(3)函数的展开式:含有无穷多的正幂项所以是的本性奇点.课堂练习的奇点及其类型.说出函数答案判别法2:(利用极限特点)如果极限1)存在且为有限值;2)无穷大;3)不存在且不为无穷大;那末是的1)可去奇点;2)m级极点

;3)本性奇点.第五章

留数

第一节孤立奇点第二节留数第三节留数在定积分计

算中的应用1.解析函数孤立奇点及分类2.解析函数在有限孤立奇点的性质

3.函数的零点与极点的关系

4.函数在无穷远点的性态第一部分孤立奇点1.孤立奇点及其分类例如----z=0为孤立奇点----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇点----z=1为孤立奇点定义~~~~~~~~~xyo这说明奇点未必是孤立的。将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。特点：没有负幂次项特点：只有有限多个负幂次项特点：有无穷多个负幂次项

定义设z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0

的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;只有有限多个负幂次项，称z=z0为m阶极点;有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。2.解析函数在有限孤立奇点的性质（1）若z0为f(z)的可去奇点（2）若z0为f(z)的m(m1)

阶极点（3）若z0为f(z)的本性奇点Tips：以上三个性质是三种类型奇点的极限形式3.解析函数的零点与极点的关系定义不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成则称z=z0为f(z)的m阶零点。例如：定理1必要性得证，充分性略。例解：定理2:证明“”

若z0为f(z)的m阶极点例1解显然，z=i是(1+z2)的一阶零点

z=i是(1+z2)的一阶零点特别：综上4.解析函数在无穷点的性态定义如果在内解析，则称为的孤立奇点。§5.3留数在计算积分上的应用例1解:例2解:1、计算形如的积分例3解：2、计算形如的积分例4解3、计算形如的积分例5解:第六章保形映射

第一节保形映射的概念第二节分式线性映射第三节分式线性映射的性质第四节两个重要的分式线性映射第五节初等函数的映射1.解析函数导数的几何意义

2.保形映射的概念和性质第一部分保形映射的概念（1）曲线的切线设连续曲线(z)1.解析函数导数的几何意义(z)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

定义切线随切点的移动而连续转动的有向曲线称为有向光滑曲线.(z)~~~~~~~~~~（2）辐角和模则~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~即(1)即(z)(w)~~~~~~~x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(z)(w)——保角性由上述讨论我们有(z)(w)定理~~~~~~~~~~~~~~~~2.保形映射的概念~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定义~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

1.分式线性映射

2.分式线性映射的性质

3.举例第二部分分式线性映射1.分式线性映射定义~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊映射的复合：称为：平移整线性反演事实上，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定义~~~~~~~~roxyP

规定无穷远点的对称点为圆心o~~~~~~~~~~~~~~~~~oTP1ox,uy,vzw2.分式线性映射的性质~~~~~~~~~定理1分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的，且具有保角性。~~~~~~~定理2分析：定理3

在分式线性映射下，圆周或直线上没有点映射成无穷远点，则它映射成半径为有限的圆周；若有一个点映射成无穷远点，它映射成直线。定理4（4）保交比不变性例1解xy(z)1-1i-iouv(w)o例2解3.两个重要的分数线性映射举例uvo(w)xy(z)o

例3解uv(w)xy(z)11例4解uvo(w)xy(z)oR1.幂函数

2.指数函数第三部分

几个初等函数所构成的映射1.幂函数幂函数：xy(z)uv(w)xy(z)上沿下沿uv(w)幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成了原来的n倍。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~xy(z)uv(w)i例1解:-ixy(z)i11uv(w)例22.指数函数带形区域角形区域xy(z)iauv(w)x

y(z)

上岸下岸u

v

(w)xy(z)uv(w)i例3解xy(z)ab1例4解uv(w)第七章傅里叶变换

第一节傅里叶积分与定理第二节傅里叶变换与逆变换第三节单位脉冲函数第四节广义傅里叶变换第五节傅里叶变换的性质第六节卷积1.傅里叶积分公式

2.傅里叶积分变换3.单位脉冲函数

第一部分傅里叶变换和d-函数

所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.——

Fourier级数方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近3181.Fourier积分公式是以T为周期的函数，在上满足Dirichlet条件：(1)连续或只有有限个第一类间断点；(2)只有有限个极值点；可展开成Fourier级数，且在连续点t处成立：319

研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间内函数变化的情况.320级数化为：321引进复数形式：这就是Fourier级数的复指数形式，或者写为

接下来讨论非周期函数的展开问题。

任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的。

作周期为T的函数fT

(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT

(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)由公式可知当n取一切整数时，数轴上，两个相邻的点的距离为所对应的点便均匀分布在整个如图{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w所以

f(t)又可写为此公式称为函数f(t)的Fourier积分公式。至于一个非周期函数f(t)在什么条件下，可以用Fourier积分公式来表示，有接下来的收敛定理。又最后可得：Fourier积分定理

若f(t)在(-,+)上满足条件:1.

f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件;成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以来代替。在绝对可积是指收敛。2.

f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积,则有(1.4)式也可以转化为三角形式329因是ω的奇函数，例1求函数的Fourier积分表达式。解根据Fourier积分公式的复数形式，有当时，f(t)应以代替.3312.F