2023-2024学年湘教版必修第二册 6-3数学建模案例二距离问题 课件（11张）_第1页
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6.3数学建模案例(二)：距离问题发现问题某生产车间有一批工作效率相同的机器位于一条直线上，它们所生产的零件必须送到一个检验台上，经检验合格后才能送往下一道工序继续加工，检验是需要成本的，那么，提高检验台的工作效率，减少生产成本，是我们必须考虑的一个问题．提出问题如图，设这批机器为A1，A2，A3，…，An，假设移动零件所需费用与所移动的距离成正比．问检验台放在哪里，可以使所有零件移动所花总费用最少？分析问题这是来源于实际生活中的问题．可以将机器所在直线设为一条数轴，n台机器所在位置记为A1，A2，A3，…，An，设检验台位置为x，总距离为y，则y＝|x－A1|＋|x－A2|＋…＋|x－An|.在解答问题之前，先看看下面两个函数的图象．思考下列问题：(1)这两个函数是否有最值？若有，当x取何值时函数有最值？(2)你能画出函数y＝|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－202|的图象吗？(3)你能将这些结论继续推广吗？(4)这些结论是否有实际用途？(5)你还想到了什么？解决问题结合图象不难回答问题(1)，通过研究函数y＝|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－202|的图象和最值情况，可以得到以下结论：形如y＝|x－A1|＋|x－A2|＋…＋|x－An|的函数，假设A1，A2，A3，…，An是这n个不同的常数从小到大的排列，若n为奇数，设这一列数中间一个数为p，则当x＝p时，函数有最小值；若n是偶数，设这一列数中间两个数依次为m，n，则当x∈[m，n]时，函数有最小值．评价与推广1．根据上述问题的思路，继续研究下列问题：如图，一条铁路线上AB段长100km，工厂C到铁路的垂直距离CA为20km.现要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路运送相同量物资的速度与公路运送相同量物资的速度之比为5∶3.为了使原料从供应站B运到工厂C的时间最短，D应选在何处？

从上述解答过程不难看出，数学中的很多问题来源于实际，而且数学和物理是不可分割的，这就要求我们在进行数学建模的时候必须要有丰富的知识面，同时，也要对一个问题进行发散思考，不断开拓思路，发掘方法．2．有了本问题的研究结论后，形如y＝|x－A1|＋|x－A2|＋…＋|x－An|的函数图象也就可以画出来了，这个结论有很多的应用，如(1)关于x的不等式|x－1|＋|x－2|>a的解集为R，求实数a的取值范围．(2)求函数y＝3|x＋1|＋|5x－2|＋2|x－3|的最值．3．本节的问题还可以改为：有M1，M2，M3，…，Mn等n台机器位于一条直线上，它们的工作效率分别为N1，N2，N3，…，Nn.它们所生产的零件必须送到同一个

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