2024届安徽省安大附中数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2024届安徽省安大附中数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知随机变量，其正态分布曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点数估计值为（）（附：则）A．6038 B．6587 C．7028 D．75392．已知函数在上的值域为，函数在上的值域为.若是的必要不充分条件，则的取值范围是（）A． B．C． D．3．的展开式中的常数项为（）A． B． C． D．4．下列命题中为真命题的是（）A．若B．命题：若，则或的逆否命题为：若且，则C．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件D．若命题，则5．设i是虚数单位，复数a+i1+i为纯虚数，则实数a的值为A．-1B．1C．-2D．26．椭圆的焦点坐标是（）A． B． C． D．7．将6位女生和2位男生平分为两组，参加不同的两个兴趣小组，则2位男生在同一组的不同的选法数为（）A．70 B．40 C．30 D．208．设离散型随机变量的概率分布列如表：1234则等于（）A． B． C． D．9．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．10．设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．8111．已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．12．在的展开式中的系数是（）A．40 B．80 C．20 D．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若正数，满足，则的取值范围是________．14．函数，当时，恒成立，求．15．已知为数列的前项和，若且，设，则的值是__________．16．的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）已知，且恒成立，求的最大值；18．（12分）[选修4-4：坐标系及参数方程]已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；（2）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值.19．（12分）“微信运动”是手机推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：运动达人参与者合计男教师602080女教师402060合计10040140（Ⅰ）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？（Ⅱ）从具有“运动达人”称号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为，写出的分布列并求出数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.0500.0100.0013.8416.63510.82820．（12分）设集合，如果存在的子集，，同时满足如下三个条件：①；②，，两两交集为空集；③，则称集合具有性质.（Ⅰ）已知集合，请判断集合是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）设集合，求证：具有性质的集合有无穷多个.21．（12分）（1）设：实数x满足|x﹣m|＜2，设：实数x满足＞1；若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围（2）已知p：函数f（x）＝ln（x2﹣ax+3）的定义城为R，已知q：已知且，指数函数g（x）＝（a﹣1）x在实数域内为减函数；若￢p∨q为假命题，求实数a的取值范围．22．（10分）甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍的概率分别为,乙同学购买书籍的概率分别为,假设甲、乙是否购买三种书籍相互独立.（1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为,求的概率分布列和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】∵随机变量，∴，∴，∴落入阴影部分的点的个数的估计值为个．选B．2、B【解题分析】

先计算出两个函数的值域，根据是的必要不充分条件可得是的真子集，从而得到的取值范围.【题目详解】因为在上单调递增，所以，又函数在上单调递增，于是.因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，故有（等号不同时取），得，故选B.【题目点拨】（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．3、C【解题分析】

化简二项式的展开式，令的指数为零，求得常数项.【题目详解】二项式展开式的通项为，令，故常数项为，故选C.【题目点拨】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于基础题.4、B【解题分析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．详解：对于A，，利用基本不等式，可得，故不正确；

对于B，命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，正确；

对于C，“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故不正确；

对于D，命题命题，则，故不正确．

故选：B．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．5、A【解题分析】a+i1+i=(a+i)(1-i)6、C【解题分析】

从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据求的值.【题目详解】由椭圆方程得：，所以，又椭圆的焦点在上，所以焦点坐标是.【题目点拨】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是轴型还是轴型，防止坐标写错.7、C【解题分析】

先确定与2位男生同组的女生，再进行分组排列，即得结果【题目详解】2位男生在同一组的不同的选法数为，选C.【题目点拨】本题考查分组排列问题，考查基本分析求解能力，属基础题.8、D【解题分析】分析：利用离散型随机变量X的概率分布列的性质求解.详解：由离散型随机变量X的分布列知：，解得.故选：D.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意离散型随机变量X的概率分布列的性质的灵活应用.9、C【解题分析】试题分析：因为双曲线的离心率为,所以,又因为双曲线中,所以,而焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,所以此双曲线的渐近线方程为,故选C.考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.10、D【解题分析】由题意可得，成立，需要分五种情况讨论：当时，只有一种情况，即；当时，即，有种；当时，即，有种；当时，即，有种当时，即，有种，综合以上五种情况，则总共为：种，故选D.【题目点拨】本题主要考查了创新型问题，往往涉及方程，不等式，函数等，对涉及的不同内容，先要弄清题意，看是先分类还是先步，再处理每一类或每一步，本题抓住只能取相应的几个整数值的特点进行分类，对于涉及多个变量的排列，组合问题，要注意分类列举方法的运用，且要注意变量取值的检验，切勿漏掉特殊情况.11、B【解题分析】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．12、A【解题分析】

把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数.【题目详解】解：由的展开式中，，令，可得，可得的展开式中的系数是：，故选：A.【题目点拨】本题主要考查二项式展开式及二项式系数的性质，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用基本不等式将变形为即可求得的取值范围.【题目详解】∵，，∴，即，解得，即，当且仅当时，等号成立.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查利用基本不等式求代数式的取值范围问题，属常规考题.14、【解题分析】试题分析：由题意得，，因此，从而，考点：二次函数性质15、【解题分析】

根据是等比数列得出，利用数列项与和的关系，求得，从而得出，利用裂项相消法求出答案.【题目详解】由可知，数列是首项为，公比为2的等比数列，所以.时，..时,.【题目点拨】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列通项公式，数列项与和的关系，裂项相消法求和，属于简单题目.16、1【解题分析】

写出二项展开式的通项公式，令的指数为2，可求得项是第几项，从而求得系数．【题目详解】展开式通项为，令，则，∴的系数为．故答案为1．【题目点拨】本题考查二项式定理，考查二项展开式通项公式．解题时二项展开式的通项公式，然后令的指数为所求项的指数，从而可求得，得出结论．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）函数在区间上单调递减，在上单调递增；（2）.【解题分析】

（1）函数求导，根据导函数的正负判断函数的单调性.（2）设，求导，根据函数的单调性求函数的最值，得到，再设函数根据函数的最值计算的最大值.【题目详解】（1）由已知得，令，则由得，由，得所以函数在区间上单调递减，在上单调递增.（2）若恒成立，即恒成立当时，恒成立，则；当时，为增函数，由得，故，.当时，取最小值.依题意有，即，，令，则，，所以当，取最大值，故当时，取最大值.综上，若，则的最大值为.【题目点拨】本题考查了函数的单调性，函数最值，恒成立问题，构造函数，综合性大，技巧强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力.18、（1），（2）【解题分析】【试题分析】(I)将方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得的长度并求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得的值.【试题解析】（Ⅰ）由得，即曲线的直角坐标方程为根据题意得，因此曲线上的动点到原点的距离的最大值为（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线与轴交点的坐标为，曲线的参数方程为:，曲线的直角坐标方程为联立得……8分又，所以19、（1）不能在犯错误的概率不超过的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关；（2）见解析.【解题分析】

（1）计算比较3.841即可得到答案；（2）计算出男教师和女教师人数，的所有可能取值有，分别计算概率可得分布列，于是可求出数学期望.【题目详解】（1）根据列联表数据得：不能在犯错误的概率不超过的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关（2）根据分层抽样方法得：男教师有人，女教师有人由题意可知，的所有可能取值有则；；；的分布列为：【题目点拨】本题主要考查独立性检验统计思想，超几何分布的分布列与数学期望，意在考查学生的分析能力，计算能力.20、（Ⅰ）不具有，理由见解析；（Ⅱ）证明见解析【解题分析】

（Ⅰ）由条件易得集合具有性质，对集合中的进行讨论，利用题设条件得出集合不具有性质；（Ⅱ）利用反证法，假设具有性质的集合有限个，根据题设条件得出矛盾，即可证明具有性质的集合有无穷多个.【题目详解】解：(Ⅰ)具有性质，如可取；不具有性质；理由如下：对于中的元素，或者如果，那么剩下个元素，不满足条件；如果，那么剩下个元素，也不满足条件．因此，集合不具有性质.（Ⅱ）证明：假设符合条件的只有有限个，设其中元素个数最多的为.对于，由题设可知，存在，满足条件.构造如下集合由于所以易验证，，对集合满足条件，而也就是说存在比的元素个数更多的集合具有性质，与假设矛盾．因此具有性质的集合有无穷多个.【题目点拨】本题主要考查了集合的应用，涉及了反证法的应用，属于较难题.21、（1）；（2）【解题分析】

（1）解绝对值不等式求得中的范围，解分式不等式求得中的取值范围.由是的必要不充分条件知是的充分不必要条件，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（2）根据的定义域为求得为真时，的取值范围.根据的单调性求得为假时的取值范围.为假命题可知真假，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【题目详解】（1）记，即由条件是的必要不充分条件知是的充分不必要条件，从而有是的真子集，则，可得，故（2）当为真命题时，函数的定义域为，则恒成立，即，从而；条件为假命题可知真假，当为假命题时有即从而当真假有即,故【题目点拨】本小题主要考查绝对值不等式、分式不等式的解法，考查对数函数的定义域，考查指数函数的单调性，考查含有简单逻