湖北省宜昌县域高中协同发展共合体2024届数学高二第二学期期末调研试题含解析

湖北省宜昌县域高中协同发展共合体2024届数学高二第二学期期末调研试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是()A． B． C． D．2．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A． B．C． D．3．若，则的值是（）A．-2B．-3C．125D．-1314．在10个篮球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为A． B． C． D．5．设a,b,c为三角形ABC三边长，a≠1,b<c，若logc+ba+logc-bA．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定6．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．7．在回归分析中，的值越大，说明残差平方和（）A．越小 B．越大 C．可能大也可能小 D．以上都不对8．已知复数满足（为虚数单位），则（）A． B． C． D．9．复数为虚数单位）的虚部为（）A． B． C． D．10．由数字0，1，2，3组成的无重复数字且能被3整除的非一位数的个数为（）A．12 B．20 C．30 D．3111．在“新零售”模式的背景下,自由职业越来越流行，诸如:淘宝网店主、微商等等.现调研某自由职业者的工资收入情况.记表示该自由职业者平均每天工作的小时数，表示平均每天工作个小时的月收入.（小时）23456（千元）2.5344.56假设与具有线性相关关系，则关于的线性回归方程必经过点()A． B． C． D．12．若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数有且只有一个零点，则实数的值为__________.14．甲、乙两地都位于北纬45°，它们的经度相差90°，设地球半径为，则甲、乙两地的球面距离为________.15．在10件产品中有8件一等品，2件二等品，若从中随机抽取2件产品，则恰好含1件二等品的概率为___16．已知圆锥的底面面积为，母线长为5，则它的侧面积为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，为的导函数.证明：（1）在区间存在唯一极小值点；（2）有且仅有个零点.18．（12分）已知函数.(1)若曲线在处的切线过点,求的值;(2)是否存在实数,使恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理山.19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.（=1\*ROMANI）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（=2\*ROMANII）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.20．（12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，统计结果如下表所示，已知这100位顾客中一次购物量超过7件的顾客占.一次购物量1至3件4至7件8至11件12至15件16件及以上顾客数（人）272010结算时间（/人）0.511.522.5（1）确定，的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）从收集的结算时间不超过的顾客中，按分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的结算时间为的概率.（注：将频率视为概率）21．（12分）某县畜牧技术员张三和李四年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量（单位：万只）与相应年份（序号）的数据表和散点图（如图所示），根据散点图，发现y与x有较强的线性相关关系.年份序号年养殖山羊/万只（1）根据表中的数据和所给统计量，求关于的线性回归方程（参考统计量：，；（2）李四提供了该县山羊养殖场的个数（单位：个）关于的回归方程.试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？②到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．22．（10分）如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，，直线与平面所成的角等于．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

先根据奇函数性质确定取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.【题目详解】因为为奇函数，所以因为，所以因此选B.【题目点拨】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.2、B【解题分析】

本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．【题目详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，所以恰有2只做过测试的概率为，选B．【题目点拨】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．3、C【解题分析】试题分析：由题意可知，令得，令得所以考点：二项式系数4、A【解题分析】

正品数比次品数少，包括一正三次和全部是次品两种情况，根据情况写出所有的组合数计算即可.【题目详解】正品数比次品数少，包括一正三次和全部是次品这两种情况为，总数为，所以概率为．选A.【题目点拨】本题考查概率问题，解题的关键是正确的求出所有可能的结果，属于基础题.5、B【解题分析】试题分析：两边除以logc+balogc-ba考点：1.解三角形；2.对数运算.6、B【解题分析】

设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可．【题目详解】设“东方魔板”的面积是4，

则阴影部分的三角形面积是1，

阴影部分平行四边形的面积是则满足条件的概率故选：B【题目点拨】本题考查了几何概型问题，考查面积之比，是一道基础题．7、A【解题分析】分析：根据的公式和性质，并结合残差平方和的意义可得结论．详解：用相关指数的值判断模型的拟合效果时，当的值越大时，模型的拟合效果越好，此时说明残差平方和越小；当的值越小时，模型的拟合效果越差，此时说明残差平方和越大．故选A．点睛：主要考查对回归分析的基本思想及其初步应用等知识的理解，解题的关键是熟知有关的概念和性质，并结合条件得到答案．8、C【解题分析】

整理得到，根据模长的运算可求得结果.【题目详解】由得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查向量模长的求解，属于基础题.9、B【解题分析】

由虚数的定义求解．【题目详解】复数的虚部是－1．故选：B．【题目点拨】本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础．10、D【解题分析】

分成两位数、三位数、四位数三种情况，利用所有数字之和是的倍数，计算出每种情况下的方法数然后相加，求得所求的方法总数.【题目详解】两位数：含数字1，2的数有个，或含数字3，0的数有1个.三位数：含数字0，1，2的数有个，含数字1，2，3有个.四位数：有个.所以共有个.故选D.【题目点拨】本小题主要考查分类加法计数原理，考查一个数能被整除的数字特征，考查简单的排列组合计算，属于基础题.11、C【解题分析】分析：先求均值，再根据线性回归方程性质得结果.详解：因为，所以线性回归方程必经过点,选C.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.12、C【解题分析】

首先确定流程图的功能为计数的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果.【题目详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为，，.本题选择C选项.【题目点拨】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-2【解题分析】

将有且只有一个零点问题转化成a＝﹣lnx，两函数有一个交点，然后令g（x）＝﹣lnx，对g（x）进行单调性分析，即可得到g（x）的大致图象，即可得到a的值．【题目详解】由题意，可知：令2，即：a＝﹣lnx，x＞2．可设g（x）＝﹣lnx，x＞2．则g′（x），x＞2．①当2＜x＜2时，g′（x）＞2，g（x）单调递增；②当x＞2时，g′（x）＜2，g（x）单调递减；③当x＝2时，g′（x）＝2，g（x）取极大值g（2）＝﹣2．∵函数有且只有一个零点，∴a只能取g（x）的最大值﹣2．故答案为：﹣2．【题目点拨】本题主要考查函数零点问题，构造函数的应用，用导数方法研究函数的单调性．属中档题．14、【解题分析】

根据两地的经度差得两地纬度小圆上的弦长，再在这两地与球心构成的三角形中运用余弦定理求出球心角，利用弧长公式求解.【题目详解】由已知得，所以，所以，所以在中，，所以，所以甲、乙两地的球面距离为.故得解.【题目点拨】本题考查两点的球面距离，关键在于运用余弦定理求出球心角，属于中档题.15、【解题分析】

先求从10件产品中随机抽取2件产品事件数，再求恰好含1件二等品的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【题目详解】从10件产品中随机抽取2件产品有种方法；其中恰好含1件二等品有种方法；因此所求概率为故答案为：【题目点拨】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.16、【解题分析】

圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形,沿着圆锥的母线,把圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,而扇形的半径等于母线长,圆锥的侧面积等于展开后扇形的面积.【题目详解】由圆锥的底面面积为,底面半径为,可得底面周长为扇形的面积=扇形弧长扇形半径侧面积为=故答案为:.【题目点拨】解题关键是通过圆的面积求得圆的半径,然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,通过扇形的面积公式得到的答案.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析【解题分析】

（1）令，然后得到，得到的单调性和极值，从而证明在区间存在唯一极小值点；（2）根据的正负，得到的单调性，结合，，的值，得到的图像，从而得到的单调性，结合和的值，从而判断出有且仅有个零点.【题目详解】（1）令，，当时，恒成立，当时，.∴在递增，，.故存在使得，时，时，.综上，在区间存在唯一极小值点.（2）由（1）可得时，，单调递减，时，，单调递增.且，.故的大致图象如下：当时，，∴此时，单调递增，而.故存在，使得故在上，的图象如下：综上，时，，时，，时，.∴在递增，在递减，在递增，而，，又当时，，恒成立.故在上的图象如下：∴有且仅有个零点.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，利用导数研究函数零点个数，属于中档题.18、（1）或（2）存在，使得不等式成立，详见解析【解题分析】

（1）求出导函数，得切线斜率，写出切线方程，由切线过点可求得参数，从而得切线方程；（2），要使恒成立，则是的极小值点，先由此结论求出参数，然后验证是极小值，也是最小值点．【题目详解】（1）∴曲线在处的切线方程为又切线过点∴∴或（2）的定义域为，要使恒成立，则是的极小值点.∵∴，∵，∴此时，，当时，，当时，，∴在处取得极小值1，∴当时，，当时，，即∴当时，恒成立，∴【题目点拨】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题．不等式恒成立问题，通常转化为求函数极值．本题通过不等式恒成立及，因此问题转化为就是极小值，从而先求出参数的值，然后再证明恰是极小值即可．19、（=1\*ROMANI）（=2\*ROMANII）X0123P【解题分析】（=1\*ROMANI）解法一解法二（=2\*ROMANII）X所有可能取值为0,1,2,3.,,,所求的分布列为X0123P第一小问可以从两个方面去思考，一是间接法，就是张同学1道乙类题都没有取到的取法是多少？二是直接法，就是取一道乙类题和两道甲类体；两道乙类题和一道甲类体；三道乙类题。三种情况加起来就是共有多少种取法。第二问一是思考随机变量的所有可能取值，二是算出对应的概率，其中X=1和X=2要注意有两种情形。最后利用数学期望的公式求解。【考点定位】本题考查古典概型，随机变量的分布列和数学期望的定义。20、（1），，；（2）【解题分析】

（1）由条件可得，从而可求出，的值，再计算顾客一次购物的结算时间的平均值

（2）结算时间不超过的顾客有45人，则按分层抽样抽取5人，从结算时间为的人中抽取2人，从结算时间为的人中抽取3人，列举出基本事件数，再列举出至少有1人结算时间为所包含基本事件数，用古典概率可求解.【题目详解】解：（1）由已知得，∴，，∴.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，

所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，

顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，

其估计值为.（2）结算时间不超过共有45人，其中结算时间为的有18人，

结算时间为的有27人，

结算时间为的人数：结算时间为的人数，

则按分层抽样抽取5人，从结算时间为的人中抽取人，

从结算时间为的人中抽取人.记抽取结算时间为的2人分别为，，

抽取结算时间为的3人分别为，，，

表示抽取的两人为，，基本事件共有10个：，，，，，，

，，，.记至少有1人结算时间为为事件，包含基本事件共有7个：，，，，，，，∴，故至少有1人结算时间为的概率.【题目点拨】本题考查统计中求平均数和分层抽样以及用古典概率公式计算概率,属于基础题.21、（1）（2）①万只；②第10年【解题分析】

(1)根据最小二乘法的方法分别求解线性回归方程中对应的量代入公式求解即可.(2)①根据养殖山羊总数等于山羊养殖场的个数与山羊养殖场年养殖数量的积求解即可