2024届云南省楚雄州元谋县一中高二数学第二学期期末质量检测试题含解析

2024届云南省楚雄州元谋县一中高二数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数在平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．3．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）A．4 B．3 C． D．4．在复平面内，复数，则对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．随机变量的分布列为123则（）A．4.8 B．5 C．6 D．8.46．函数的导函数为，对任意的，都有成立，则（）A． B．C． D．与大小关系不确定7．倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点（点，分别位于轴的左、右两侧），，则的值是（）A． B． C． D．8．已知函数，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．9．已知为非零不共线向量，设条件，条件对一切，不等式恒成立，则是的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知，若的展开式中各项系数之和为，则展开式中常数项为（）A． B． C． D．11．如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线与所围成阴影区域内的概率是（）A.B.C.D.12．在中，角的对边分别是，若，则的值为（）A．1 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为____________14．从包括甲乙两人的6名学生中选出3人作为代表，记事件：甲被选为代表，事件:乙没有被选为代表，则等于_________.15．事件相互独立，若，，则____.16．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知.（1）讨论的单调性；（2）若，且在区间上的最小值为，求的值.18．（12分）设函数.（1）求的单调区间；（2）求使对恒成立的的取值范围.19．（12分）甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：（1）计算，的值；（2）若规定考试成绩在为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；（3）若规定考试成绩在内为优秀，由以上统计数据填写下面列联表，若按是否优秀来判断，是否有的把握认为两个学校的数学成绩有差异.附：，.20．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，，，E，F分别是BC，PC的中点．Ⅰ证明：；Ⅱ设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为，求直线PD与平面AEF所成的角的余弦值．21．（12分）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．22．（10分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：先化简复数z,再判断其在平面内对应的点在第几象限.详解：由题得，所以复数z在平面内对应的点为，所以在平面内对应的点在第二象限.故答案为B.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.2、D【解题分析】分析：根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，分析的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间和上都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上都有，进而将不等式变形转化可得或，解可得x的取值范围，即可得答案.详解：根据题意，设，其导数，又当时，，则有，即函数在上为减函数，又，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在区间和上都有，又由为奇函数，则在区间和上都有，或，解可得：或.则x的取值范围是.故选：D.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析与的解集.3、A【解题分析】

由条件可得，【题目详解】因为函数的图象在点P处的切线方程是所以，所以4故选：A【题目点拨】本题考查的是导数的几何意义，较简单.4、A【解题分析】

化简复数，计算，再计算对应点的象限.【题目详解】复数对应点为：故答案选A【题目点拨】本题考查了复数的计算，共轭复数，复数对应点象限，意在考查学生的计算能力.5、B【解题分析】分析：先求出a,再求,再利用公式求.详解：由题得a=1-0.2-0.3-0.4=0.1.由题得.所以所以.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查概率的计算和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，.6、B【解题分析】

通过构造函数,由导函数,结合,可知函数是上的增函数，得到,即可得到答案.【题目详解】构造函数，则，故函数是上的增函数，所以，即，则.故选B.【题目点拨】本题的难点在于构造函数,由,构造是本题的关键,学生在学习中要多积累这样的方法.7、D【解题分析】

设，则，由抛物线的定义，得，，进而可求BE、AE，最后由可求解.【题目详解】设，则A、B两点到准线的距离分别为AC、BD，由抛物线的定义可知：，过A作，垂足为E..故选：D【题目点拨】本题考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题.8、B【解题分析】

先求出导函数，再分别讨论，，的情况，从而得出的最大值【题目详解】由题可得：；（1）当时，则，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）当时，则在恒成立，则函数在上单调递增，当时，，故不可能恒有；（3）当时，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，则，对任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，则在上所以单调递增，在上单调递减，所以；所以的最大值为；综述所述，的最大值为；故答案选B【题目点拨】本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题。9、C【解题分析】

条件M：条件N：对一切，不等式成立，化为：进而判断出结论．【题目详解】条件M：．

条件N：对一切，不等式成立，化为：．

因为，，，即，可知：由M推出N，反之也成立．

故选：C．【题目点拨】本题考查了向量数量积运算性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10、B【解题分析】

通过各项系数和为1，令可求出a值，于是可得答案.【题目详解】根据题意，在中，令，则，而，故，所以展开式中常数项为，故答案为B.【题目点拨】本题主要考查二项式定理，注意各项系数之和和二项式系数和之间的区别，意在考查学生的计算能力，难度不大.11、B【解题分析】试题分析：图中阴影面积可以用定积分计算求出，即，正方形OABC的面积为1，所以根据几何概型面积计算公式可知，点落到阴影区域内的概率为。考点：1.定积分的应用；2.几何概型。12、C【解题分析】

在中利用正弦定理和二倍角公式能求出角，再依据余弦定理列出关于角的关系式，化简即得．【题目详解】∵，∴由正弦定理可得，即.由于，∴.∵，∴.又，由余弦定理可得，∴.故选C.【题目点拨】本题主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等变换．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

因为点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候，则，即点（1，1）那么可知两平行线间的距离即点（1，1）到直线的距离为14、【解题分析】因为，所以。应填答案。15、【解题分析】

由于事件为对立事件，故，代入即得解.【题目详解】由于事件为对立事件，，且，故故答案为：【题目点拨】本题考查了互斥事件的概率求法，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.16、【解题分析】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解题分析】

（1）根据函数解析式可得定义域和导函数；分别在和两种情况下讨论导函数的符号，从而得到函数的单调性；（2）首先确定解析式和；通过可知；分别在、和三种情况下确定在上的单调性，从而得到最小值的位置，利用最小值构造方程求得结果.【题目详解】（1）由题意得：定义域为：；当时，在上恒成立在上单调递增当时，令，解得：时，；时，在上单调递增；在上单调递减综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）则令，解得：①当，即时，在上恒成立在上单调递增，解得：，舍去②当，即时，时，；时，在上单调递减；在上单调递增，解得：，符合题意③当，即时，在上恒成立在上单调递减，解得：，舍去综上所述：【题目点拨】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、根据函数在区间内的最值求解参数值的问题；关键是能够根据参数与导函数零点的位置关系确定函数在区间内的单调性，从而得到最值的位置.18、（1）见解析；（2）【解题分析】

(1)求导后得,再对分三种情况讨论可得;(2)先由,解得,从而由(1)可得在上为增函数,再将恒成立转化为可解得.【题目详解】（1）因为，其中，所以.所以，时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；时，所以的单调递减区间为；时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由题意得，即.由（1）知在内单调递增，要使对恒成立.只要解得.故的取值范围是.【题目点拨】本题考查了利用导数求函数的单调区间,用导数研究不等式恒成立问题,属中档题.19、（1），；（2）；（3）有95﹪的把握认为两个学校数学成绩有差异【解题分析】

（1）由分层抽样的知识及题中所给数据分别计算出甲校与乙校抽取的人数，可得，的值；（2）计算样本的优秀率，可得乙校的优秀率；（3）补全列联表，计算出的值，对照临界表可得答案.【题目详解】解：（1）由题意知，甲校抽取人，则，乙校抽取人，则.（2）由题意知，乙校优秀率为.（3）填表如下表（1）.甲校乙校总计优秀102030非优秀453075总计5550105根据题意，由题中数据得，有95﹪的把握认为两个学校数学成绩有差异.【题目点拨】本题主要考查了分层抽样及频率分布直方图的相关知识、独立性检验及其应用，属于中档题，注意运算准确.20、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）根据正三角形性质得AE⊥BC，即得AE⊥AD，再根据PA⊥平面ABCD得AE⊥PA,由线面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,即得AE⊥PD；（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面AEF一个法向量，由向量数量积得向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系得结果.【题目详解】（1）连接AC，因为底面ABCD为菱形，所以三角形ABC为正三角形，所以AE⊥BC，又AD//BC，所以AE⊥AD，则又PA⊥平面ABCD，所以AE⊥PA,由线面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,所以AE⊥PD（2）过A作AH⊥PD于H，连HE，由（1）得AE⊥平面PAD所以EH⊥PD，即EH=，∵AE=，∴AH=，∴PA=2以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，A（0,0,0），E（，0,0），D（0,2,0），C（，1,0），P（0,0,2）∴F（，，1）∵，，∴平面AEF的法向量又，∴所以直线PD与平面AEF所成的角的余弦值为【题目点拨】本题主要考查线面垂直的判定和性质及利用空间向量求线面角，属中等难度题．21、（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解题分析】

（Ⅰ）利用奇函数