江苏省徐州一中、如皋中学、宿迁中学2024届高二数学第二学期期末经典试题含解析

江苏省徐州一中、如皋中学、宿迁中学2024届高二数学第二学期期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则“成等比数列”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知函数，则使得成立的x的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A．2 B． C．1 D．4．双曲线x2A．23 B．2 C．3 D．5．已知函数，若方程有两个相异实根，且，则实数的值等于（）A．-2或2 B．-2 C．2 D．06．在二项式的展开式中，的系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．807．设是公比为的等比数列，则“对任意成立”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420 B．210 C．70 D．359．设为随机变量，，若随机变量的数学期望，则等于（）A． B．C． D．10．已知函数在区间内既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（）A．70种 B．140种 C．420种 D．840种12．甲乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，.若，且的最小值为-1，则实数的值为__________．14．已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____．15．已知函数的导函数为，且满足，则________16．已知数列的前项和为，，，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．（1）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（2）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X表示乙车间的零件个数，求X的分布列与数学期望．18．（12分）已知函数，数列的前项和为，点（）均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.19．（12分）已知二次函数（均为实数），满足，对于任意实数都有，并且当时，有.（1）求的值；并证明：；（2）当且取得最小值时，函数（为实数）单调递增，求证：.20．（12分）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究.（I）求抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率；（Ⅱ）用表示抽取的3天中空气质量为优的天数，求随机变量的分布列和数学期望.21．（12分）已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i.(1)求；(2)求的值.22．（10分）如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱、和所在直线上的动点：（1）求的取值范围：（2）若为面内的一点，且，，求的余弦值：（3）若、分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点，使平面?若能，试确定点的位置，若不能，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：根据等比数列的定义和等比数列的性质，即可判定得到结论．详解：由题意得，例如，此时构成等比数列，而不成立，反之当时，若，则，所以构成等比数列，所以当时，构成等比数列是构成的等比数列的必要不充分条件，故选B．点睛：本题主要考查了等比数列的定义和等比数列的性质，其中熟记等比数列的性质和等比数列的定义的应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．2、C【解题分析】

转化函数，证明函数单调性，奇偶性，再转化为，即，求解即可.【题目详解】由题意，函数，定义域为R，故为偶函数令，在单调递增，且在单调递增则因此故选：C【题目点拨】本题考查了函数的奇偶性、单调性在解不等式中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.3、B【解题分析】

由，可得，则函数是周期为8的周期函数，据此可得，结合函数的周期性与奇偶性，即可求解．【题目详解】根据题意，函数满足，则有，则函数是周期为8的周期函数，则，又由函数为奇函数，则，则，即；故选B．【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、A【解题分析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为b，所以距离为b=23考点：双曲线与渐近线．5、C【解题分析】分析：利用导数法，可得当x=﹣1时，函数取极大值m+2，当x=1时，函数取极小值m﹣2，结合方程f（x）=0有两个相异实根x1，x2，且x1+x2＜0，可得答案．详解：∵函数f（x）=x3﹣3x+m，∴f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，则x=±1，当x＜﹣1，或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；故当x=﹣1时，函数取极大值m+2，当x=1时，函数取极小值m﹣2，又∵方程f（x）=0有两个相异实根x1，x2，且x1+x2＜0，∴m﹣2=0，解得m=2，故选：C．点睛：本题考查的知识点是利用导数法研究函数的极值，方程根的个数判断，难度中档．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含参的函数，注意让含参的函数式子尽量简单一些。6、A【解题分析】

根据二项展开式的通项，可得，令，即可求得的系数，得到答案.【题目详解】由题意，二项式的展开式的通项为，令，可得，即展开式中的系数为，故选A.【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、D【解题分析】

根据等比数列的通项公式，由充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.【题目详解】因为是公比为的等比数列，若对任意成立，则对任意成立，若，则；若，则；所以由“对任意成立”不能推出“”；若，，则，即；所以由“”不能推出“对任意成立”；因此，“对任意成立”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.【题目点拨】本题主要考查既不充分也不必要条件的判断，熟记概念即可，属于基础题型.8、A【解题分析】

将不同的染色方案分为：相同和不同两种情况，相加得到答案.【题目详解】按照的顺序：当相同时：染色方案为当不同时：染色方案为不同的染色方案为：种故答案为A【题目点拨】本题考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分为相同和不同两种情况是解题的关键.9、A【解题分析】

根据解得，所以.【题目详解】因为，得，即.所以.故选【题目点拨】本题主要考查二项分布，同时考查了数学期望，熟记公式是解题的关键，属于简单题.10、A【解题分析】分析：先求导得到，转化为方程在（0,2）内有两个相异的实数根，再利用根的分布来解答得解.详解：由题得，原命题等价于方程在（0,2）内有两个相异的实数根，所以.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查导数的应用，考查导数探究函数的极值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题有两个关键，其一是转化为方程在（0,2）内有两个相异的实数根，其二是能准确找到方程在（0,2）内有两个相异的实数根的等价不等式组,它涉及到二次方程的根的分布问题.11、C【解题分析】

将情况分为2男1女和2女1男两种情况，相加得到答案.【题目详解】2男1女时：C52女1男时：C共有420种不同的安排方法故答案选C【题目点拨】本题考查了排列组合的应用，将情况分为2男1女和2女1男两种情况是解题的关键.12、A【解题分析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】分析：先表示函数，再利用导数求函数最小值，最后根据的最小值为-1得实数的值.详解：因为，设，则所以因为，所以当时，；当时，；即当时，.点睛：两函数关系问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式或方程，从而求出参数的取值范围或值.14、2；【解题分析】

试题分析：由可得，即，故填2.考点：1.向量的运算.2.向量的数量积.15、-1【解题分析】

首先对函数求导，然后利用方程思想求解的值即可.【题目详解】由函数的解析式可得：，令可得：，则.【题目点拨】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16、【解题分析】

利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可.【题目详解】解：由数列的前项和为，，，可得，，，，则.故答案为：.【题目点拨】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解题分析】分析：（1）设事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”.通过，P（E）=P（B）+P（C），．求解概率即可．

（2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．详解：（1）设事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”.∴∴.故所求概率为.（2）可能取值为分布列为所以，.点睛：本题考查条件概率的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．18、（1）；（2）1．【解题分析】分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出；（2）由，利用裂项求和法求出，由此能求出满足要求的最小整数.详解：（1）当时，当时，符合上式综上，（2）所以由对所有都成立，所以，得,故最小正整数的值为.点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．19、(1)答案见解析；(2)证明见解析【解题分析】试题分析：(1)由函数的解析式可得，结合均值不等式的结论可得.(2)由题意讨论二次函数的对称轴和单调性即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意，即，又，∴，则恒成立∴，∴.（2）由（1）可得，当且仅当时取等号此时，要使其在区间内单调递增，必有对称轴与其关系为，即为所证.20、（I）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）可先计算对立事件“抽取的3天空气质量都不为良”的概率，再利用相关公式即得答案；（Ⅱ）找出随机变量的所有可能取值，分别计算相关概率，从而列出分布列计算数学期望.【题目详解】（Ⅰ）解：设事件为“抽取的3天中至少有一天空气质量为良”，事件的对立事件为“抽取的3天空气质量都不为良”，从7天中随机抽取3天共有种不同的选法，抽取的3天空气质量都不为良共有种不同的选法，则,所以，事件发生的概率为.（Ⅱ）解：随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.，所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.【题目点拨】本题主要考查对立事件的相关概念与计算，超几何分布的分布列与数学期望，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力和计算能力.21、（1）；（2）2【解题分析】

（1）先求出为,即可求出，再根据共轭复数的定义即可求出；（2）根据复数的运算法则计算即可得出结论.【题目详解】(1)因为|3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.(2)===2.【题目点拨】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.22、（1）；（2）；（3）点M为的中点，理由见解析【解题分析】

（1）设，求出，利用余弦定理求解，然后求出的取值范围．

（2）设在，三边上