2024届黑龙江省双鸭山市尖山区一中高二数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届黑龙江省双鸭山市尖山区一中高二数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（）A． B． C． D．2．已知双曲线的焦点坐标为，，点是双曲线右支上的一点，，的面积为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A． B． C． D．4．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r35．点M的极坐标(4，A．(4，π3) B．(46．已知复数，则的虚部是（）A． B． C．-4 D．47．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉（3，10）后，下列说法正确的是（）A．残差平方和变小 B．方差变大C．相关指数变小 D．解释变量与预报变量的相关性变弱8．设函数的定义域A，函数的值域为B，则（）A． B． C． D．9．设，，集合（）A． B． C． D．10．已知函数满足，与函数图象的交点为，则=（）A．0 B． C． D．11．甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是25和12A．27 B．15 C．212．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x，23，27，28，31，其中，中位数为22，则x等于（）A．21 B．22 C．23 D．24二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．我国南北朝时期数学家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高，该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的平面内，若函数的图象与轴围城一个封闭的区域，将区域沿轴的正方向平移个单位长度，得到几何体（图一），现有一个与之等高的圆柱（图二），其底面积与区域的面积相等，则此圆柱的体积为_______.图一图二14．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为________.15．若RtΔABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面内，A在平面内的射影为O，AO=2，则异面直线AO与BC之间的距离为___________．16．某等腰直角三角形的一条直角边长为4，若将该三角形绕着直角边旋转一周所得的几何体的体积是，则_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设，，其中a，．Ⅰ求的极大值；Ⅱ设，，若对任意的，恒成立，求a的最大值；Ⅲ设，若对任意给定的，在区间上总存在s，，使成立，求b的取值范围．18．（12分）我们称点到图形上任意一点距离的最小值为点到图形的距离，记作（1）求点到抛物线的距离；（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；（3）试探究：平面内，动点到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹．19．（12分）已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)若存在使得不等式成立，求实数的取值范围.20．（12分）已知函数,函数⑴当时,求函数的表达式;⑵若,函数在上的最小值是2,求的值;⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.21．（12分）已知函数是奇函数．（1）求的值；（2）判断的单调性，并用定义加以证明；22．（10分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人．①记表示选取4人的成绩的平均数，求；②记表示测试成绩在80分以上的人数，求的分布和数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2；③若取出的四张卡片为2张1和2张2；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得结论.详解：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；此时有种顺序，可以排出24个四位数.②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2,3,4中取出2个，有种取法，安排在四个位置中，有种情况，剩余位置安排数字1，可以排出个四位数同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出个四位数；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2,3,4中取出1个卡片，有种取法，安排在四个位置中，有种情况，剩余位置安排1，可以排出个四位数，则一共有个四位数，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.2、B【解题分析】

由的面积为，可得，再由余弦定理求出，根据双曲线的定义可得，从而可得结论.【题目详解】因为的面积为，，所以，可得，，，所以离心率，故选B.【题目点拨】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．3、A【解题分析】由圆，化为，∴，化为，∴圆心为，半径r=．∵tanα=，取极角，∴圆的圆心的极坐标为．故选A．4、A【解题分析】

根据正相关和负相关以及相关系数的知识，选出正确选项.【题目详解】由散点图可知图(1)与图(3)是正相关，故r1>0，r3>0，图(2)与图(4)是负相关，故r2<0，r4<0，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r2<r4<0<r3<r1.故选:A.【题目点拨】本小题主要考查散点图，考查相关系数、正相关和负相关的理解，属于基础题.5、C【解题分析】

在点M极径不变，在极角的基础上加上π，可得出与点M关于极点对称的点的一个极坐标。【题目详解】设点M关于极点的对称点为M'，则OM'所以点M'的一个极坐标为(4,7π6)【题目点拨】本题考查点的极坐标，考查具备对称性的两点极坐标之间的关系，把握极径与极角之间的关系，是解本题的关键，属于基础题。6、A【解题分析】

利用复数运算法则及虚部定义求解即可【题目详解】由，得，所以虚部为.故选A【题目点拨】本题考查复数的四则运算，复数的虚部，考查运算求解能力.7、A【解题分析】

由散点图可知，去掉后，与的线性相关性加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项.【题目详解】由散点图可知，去掉后，与的线性相关性加强，且为正相关，所以变大，变大，残差平方和变小，故选A.【题目点拨】该题考查的是有关线性相关性强弱的问题，涉及到的知识点有相关系数，相关指数，以及残差平方和与相关性的关系，属于简单题目.8、B【解题分析】

根据二次根式的性质求出，再结合指数函数的性质求出，取交集即可．【题目详解】，，解得：，而单调递增，故值域：，，故选：．【题目点拨】本题考查定义域值域的求法，考查交集等基本知识，是基础题9、C【解题分析】分析：由题意首先求得集合B，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：求解二次不等式可得，结合交集的定义可知：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10、B【解题分析】

由题意知函数的图象和函数的图象都关于直线对称，可知它们的交点也关于直线对称，于此可得出的值。【题目详解】设，由于，则函数的图象关于直线对称，且函数的图象也关于直线对称，所以，函数与函数的交点也关于直线对称，所以，，令，则，所以，，因此，，故选：B.【题目点拨】本题考查函数的交点坐标之和，考查函数图象的应用，抓住函数图象对称性是解题的关键，同时也要注意抽象函数关系与性质之间的关系，如下所示：（1），则函数的周期为；（2）或，则函数的对称轴为直线；（3），则函数的对称中心为.11、A【解题分析】

设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，则P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，求出P（C）＝P（AB）+P（AB）+P（AB）＝0.7【题目详解】设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，则P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，P（C）＝P（AB）+P（AB）+P（AB）＝0.2+0.3+0.2＝0.7∴在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率：P（AB|C）=P(AB)故选：A【题目点拨】本题考查条件概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率公式的合理运用．12、A【解题分析】

这组数据共有8个，得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，列出中位数的表示式，得到关于x的方程，解方程即可．【题目详解】由条件可知数字的个数为偶数，∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，∴中位数22，∴x＝21故选A．【题目点拨】本题考查了中位数的概念及求解方法，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先利用定积分计算底面面积，再用体积公式得到答案.【题目详解】的图象与轴围城一个封闭的区域故答案为【题目点拨】本题考查了体积的计算，意在考查学生解决问题的能力.14、【解题分析】

根据极值点个数可确定根的个数，将问题转化为与有两个不同交点，利用数形结合的方式可求得结果.【题目详解】由题意得：.有两个极值点，有两个不等实根，即有两个不等实根，可等价为与有两个不同交点，，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，；当时，；当时，，可得图象如下图所示：由图象可知，若与有两个不同交点，则，解得：，即实数的取值范围为.故答案为：.【题目点拨】本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为导函数为零的方程根的个数，进而进一步转化为两函数交点个数问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果.15、2【解题分析】

连接，通过证明和可知即为异面直线与之间的距离，利用勾股定理可求得结果.【题目详解】连接，，，又平面，又平面即为异面直线与之间的距离又本题正确结果：【题目点拨】本题考查异面直线间距离的求解，关键是能够通过垂直关系找到异面直线之间的公垂线段.16、【解题分析】分析：几何体为圆锥，根据圆锥的体积公式求解详解：由题意可知三角形绕着直角边旋转一周所得的几何体为圆锥，体积是点睛：三角形旋转为圆锥，体积公式为。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解题分析】

Ⅰ求出的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而求得的极大值；Ⅱ当，时，求出的导数，以及的导数，判断单调性，去掉绝对值可得，构造函数，求得的导数，通过分离参数，求出右边的最小值，即可得到a的范围；Ⅲ求出的导数，通过单调区间可得函数在上的值域为，由题意分析时，结合的导数得到在区间上不单调，所以，，再由导数求得的最小值，即可得到所求范围．【题目详解】Ⅰ，当时，，在递增；当时，，在递减．则有的极大值为；Ⅱ当，时，，，在恒成立，在递增；由，在恒成立，在递增．设，原不等式等价为，即，，在递减，又，在恒成立，故在递增，，令，，∴，在递增，即有，即；Ⅲ，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．又因为，，，所以，函数在上的值域为．由题意，当取的每一个值时，在区间上存在，与该值对应．时，，，当时，，单调递减，不合题意，当时，时，，由题意，在区间上不单调，所以，，当时，，当时，0'/>所以，当时，，由题意，只需满足以下三个条件：，，使．，所以成立由，所以满足，所以当b满足即时，符合题意，故b的取值范围为．【题目点拨】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查不等式恒成立和存在性问题，注意运用参数分离和构造函数通过导数判断单调性，求出最值，属于难题．18、（1）（2）（3）见解析【解题分析】

(1)设A是抛物线上任意一点，先求出|PA|的函数表达式，再求函数的最小值得解；(2）由题意知集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，再求出面积；(3)将平面内到定圆的距离转化为到圆上动点的距离，再分点现圆的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．【题目详解】(1)设A是抛物线上任意一点，则，因为,所以当时，.点到抛物线的距离.（2）设线段的端点分别为，，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，，点集由如下曲线围成：，，，，，，，，集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，其面积为．(3)设动点为，当点在圆内不与圆心重合，连接并延长，交于圆上一点，由题意知，，所以，即的轨迹为一椭圆；如图．如果是点在圆外，由，得，为一定值，即的轨迹为双曲线的一支；当点与圆心重合，要使，则必然在与圆的同心圆，即的轨迹为一圆.【题目点拨】本题主要考查新定义的理解和应用，考查抛物线中的最值问题，考查轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）（2）【解题分析】【试题分析】（1）先将不等式，即或，再求解不等式；（2）先将问题转化为，进而转化为不等式，通过解不等式可得实数的取值范围．解：（1），即或解得：或，所以；（2）存在使得不等式成立，即又，所以，解得，所以实数的取值范围是．20、(1)(2)=-2ln2+ln3【解题分析】

导数部分的高考题型主要表现在：利用导数研究函数的性质，高考对这一知识点考查的要求是：理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．⑴∵,∴当时,;当x<0时,∴当x>0时,;当时,∴当时,函数⑵∵由⑴知当时,,∴当时,当且仅当时取等号∴函数在上的最小值是,∴依题意得，∴；⑶由解得∴直线与函数的图象所围成图形的面积=