2024届北京一零一中学高二数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

2024届北京一零一中学高二数学第二学期期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若对任意实数，有，则（）A． B． C． D．2．已知函数是定义在上的奇函数,当时，,则（）A．12 B．20 C．28 D．3．在一项调查中有两个变量和，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是()A． B．C． D．（）4．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A．2019 B．1 C．0 D．-15．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直D．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直6．双曲线与双曲线有相同的（）A．顶点 B．焦点 C．渐近线 D．离心率7．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A．2 B．3C．4 D．89．函数在处切线斜率为（）A． B． C． D．10．若集合,则实数的取值范围是()A． B．C． D．11．用数学归纳法证明“能被13整除”的第二步中，当时为了使用归纳假设，对变形正确的是（）A． B．C． D．12．随机变量的分布列如下：-101若，则的值是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得________．14．设实数x，y满足，则的最小值为___________.15．从集合{1,2，…，30}中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是______．16．某地区共有4所普通高中，这4所普通高中参加2018年高考的考生人数如下表所示：学校高中高中高中高中参考人数80012001000600现用分层抽样的方法在这4所普通高中抽取144人，则应在高中中抽取的学生人数为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知（其中且，是自然对数的底）.（1）当，时，求函数在处的切线方程；（2）当时，求函数在上的最小值；（3）若且关于的不等式在上恒成立，求证：.18．（12分）已知.（1）讨论的单调性；（2）若，求实数的取值范围.19．（12分）已知曲线的参数方程为(为参数在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.1求曲线的普通方程和的直角坐标方程；2若与相交于两点，设点，求的值．20．（12分）四棱锥中，底面是中心为的菱形，，．（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角正弦值．21．（12分）如图，矩形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值．22．（10分）已知函数．（Ⅰ）若曲线在处切线的斜率等于，求的值；（Ⅱ）若对于任意的，，总有，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：根据，按二项式定理展开，和已知条件作对比，求出的值，即可求得答案.详解：，且，.故选：B.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数.2、A【解题分析】

先计算出的值，然后利用奇函数的性质得出可得出的值。【题目详解】当时，，则，由于函数是定义在上的奇函数，所以，，故选：A.【题目点拨】本题考查利用函数奇偶性求值，求函数值时要注意根据自变量的范围选择合适的解析式，合理利用奇偶性是解本题的关键，考查运算求解能力，属于基础题。3、B【解题分析】

根据散点图的趋势，选定正确的选项.【题目详解】散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除选项C、D，故选B．【题目点拨】本小题主要考查散点图，考查回归直线方程等知识，属于基础题.4、C【解题分析】

根据题意推导出函数的对称性和周期性，可得出该函数的周期为，于是得出可得出答案．【题目详解】函数是上的奇函数，则，，所以，函数的周期为，且，，，，，，，故选C．【题目点拨】本题考查抽象函数求值问题，求值要结合题中的基本性质和相应的等式进行推导出其他性质，对于自变量较大的函数值的求解，需要利用函数的周期性进行求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题．5、D【解题分析】

可在正方体中选择两个相交平面，再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线，通过变化直线的位置可得正确的选项．【题目详解】

如图，平面平面，平面，但平面内无直线与平行，故A错．又设平面平面，则，因，故，故B、C错，综上，选D．【题目点拨】本题考察线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例．6、C【解题分析】

根据选项分别写出两个双曲线的几何性质，比较后得到答案.【题目详解】的顶点是，焦点是，渐近线方程是，离心率是；的顶点是，焦点是，渐近线方程是，离心率，比较后可知只有渐近线方程一样.故选C.【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质，属于简单题型.7、B【解题分析】

根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．【题目详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；当，则，有，满足必要性；所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．【题目点拨】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题．8、D【解题分析】

利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．【题目详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．【题目点拨】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9、C【解题分析】分析：首先求得函数的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可.详解：由函数的解析式可得：，则，即函数在处切线斜率为.本题选择C选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10、D【解题分析】

本题需要考虑两种情况，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数的取值范围。【题目详解】设当时，，满足题意当时，时二次函数因为所以恒大于0，即所以，解得。【题目点拨】本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论。11、A【解题分析】试题分析：假设当，能被13整除，当应化成形式，所以答案为A考点：数学归纳法12、D【解题分析】由题设可得，，所以由随机变量的方差公式可得，应选答案D。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】令，则：，两式相加可得：,故：，即.14、【解题分析】

由题意画出可行域，令，转化目标函数为，数形结合即可得解.【题目详解】由题意画出可行域，如图，令，则，数形结合可知，当直线过点A时，取最小值，由可得点，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查了简单的线性规划，属于基础题.15、2【解题分析】

根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，d∈N*.确定d的可能取值为1，2，3，【题目详解】根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，必有d∈则a5=a则d的可能取值为1，2，3，…，1．对于给定的d，a1=a5-4d≤30-4d，当a1分别取1，2，3，(如：d=1时，a1≤26，当a1分别取1，2，3，可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，…，6；…；26，21，…，30，其它同理)．当d取1，2，3，…，1时，可得符合要求的等差数列的个数为：12故答案为：2．【题目点拨】本题主要考查了合情推理，涉及等差数列的性质，关键是确定d的取值范围，属于难题.16、24【解题分析】

计算出高中人数占总人数的比例，乘以得到在高中抽取的学生人数.【题目详解】应在高中抽取的学生人数为．【题目点拨】本小题主要考查分层抽样，考查频率的计算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）;（2）当或时，最小值为，当时，最小值为;（3）见解析.【解题分析】

（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再写出切点坐标，就可以写出切线方程．（2）当时，，求导得单调性时需要分类讨论,,，再求最值．（3）将恒成立问题转化为在上恒成立，设，，求出，再令设，，求最大值小于，进而得出结论．【题目详解】解：（1），时，，，，，函数在处的切线方程为，即.（2）当时，，，令，解得或，当时，即时，在上恒成立，在上单调递减，；当时，即时，在上恒成立，在上单调递减，；③当时，即时，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，．综上所述：当或时，最小值为；当时，最小值为.（3）证明：由题意知，当时，在上恒成立，在上恒成立，设，，，在上恒成立，在上单调递减，，，存在使得，即，因为，所以.当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，，，设，，，在恒成立，在上单调递增，，在单调递增，，．【题目点拨】本题考查导数的综合应用，考查了最值问题，考查了不等式恒成立问题.若要证明，一般地，只需说明即可；若要证明恒成立，一般只需说明即可，即将不等式问题转化为最值问题.18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解题分析】试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式可得，当时，，在上单调递增；当时，由导函数的符号可知在单调递减；在单调递增.（Ⅱ）构造函数，问题转化为在上恒成立，求导有，注意到.分类讨论：当时，不满足题意.当时，，在上单调递增；所以，满足题意.则实数的取值范围是.试题解析：（Ⅰ），当时，，.∴在上单调递增；当时，由，得.当时，；当时，.所以在单调递减；在单调递增.（Ⅱ）令，问题转化为在上恒成立，，注意到.当时，，，因为，所以，，所以存在，使，当时，，递减，所以，不满足题意.当时，，当时，，，所以，在上单调递增；所以，满足题意.综上所述：.19、（1）的普通方程为.的直角坐标方程为.（2）【解题分析】试题分析：（Ⅰ）消参后得到曲线的普通方程；根据得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，而，代入根与系数的关系得到结果.试题解析：（I）（为参数），所以曲线的普通方程为.，所以的直角坐标方程为.（Ⅱ）由题意可设，与两点对应的参数分别为，将的参数方程代入的直角坐标方程，化简整理得，，所以，所以，因为，所以，所以【题目点拨】本题考查了极坐标与直角坐标方程，以及普通方程和参数方程的转化关系，对于第二问中的弦长问题，过定点，倾斜角为的参数方程，与曲线相交交于两点，，，，根据图象和二次方程去绝对值，后根据根与系数的关系得到结果.20、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）由题意，，又，则平面，则，又，则平面；（2）由题意，直线与平面所成的角即为，设菱形的边长为2，取的中点，连接，则平面，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解二面角．【题目详解】（1）证明：因为底面是菱形，故，又，且平面，，∴平面，∵平面，∴又∵，，平面，∴平面；（2）解：由（1）知，平面，故直线与平面所成的角即为，设菱形的边长为2，由平面几何知识，，取的中点，连接，则平面，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，，故所求二面角的正弦值为．【题目点拨】本题主要考查线面垂直的判定与性质，考查利用空间向量求二面角，考查推理能力与计算能力，属于中档题．21、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）由，即可得面，即可证明平面平面；（2）过作，垂直为，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）．求得平面的法向量为．则，即可求出与平面所成角的正弦值．【题目详解】（1）在中，，又，，平面则平面，从而，又，，则平面又平面，从而平面平面.（2）过作，垂足为，由（1）知平面.以为原点，为轴正方向如图建立空间直角坐标系.不妨设，则，.则，设为平面的一个法向量，则，令，则，设，则故与平面所成角的正