云南省普洱市2024届数学高二第二学期期末检测模拟试题含解析

云南省普洱市2024届数学高二第二学期期末检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个样本数据从小到大的顺序排列为，，，，，，，，其中，中位数为，则（）A． B． C． D．2．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为()A．1 B．2C．3 D．43．已知点，是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为2，则（）A．2 B．4 C．6 D．84．设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+1A．12 B．12i C．5．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx，，则f(x)()A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值6．若3x+xn展开式二项式系数之和为32，则展开式中含xA．40 B．30 C．20 D．157．已知定义在R上的函数的图象关于对称，且当时，单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是A． B． C． D．8．某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（）A．720 B．520 C．600 D．2649．设是实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件10．若对于任意的实数，有，则的值为（）A． B． C． D．11．若点为圆C：的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（）A． B． C． D．12．大学生小红与另外3名大学生一起分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小红恰好分配到甲村小学的方法数为（）A．3 B．18 C．12 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线PA=4，O是底面圆心，B是底面圆内一点，且AB⊥OB，C为PA的中点，OD⊥PB，垂足为D，当三棱锥O-PCD的体积最大时，OB=______．14．已知角的终边与单位圆交点的横坐标是，则的值是．15．给出下列4个命题：①若函数f(x)在(2015,2019)上有零点，则一定有f(2015)⋅f(2019)<0；②函数y=x+|x-4|③若函数f(x)=lg(ax2+5x+4)的值域为R④若函数f(x)满足条件f(x)-4f(1x)=x,(x∈R,x≠0)，则|f(x)|其中正确命题的序号是：_____.（写出所有正确命题的序号）16．已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则取最大值时，点的坐标为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）设函数，当时，求的最小值；（3）设函数，若对任意，总存在，使得成立，求m的取值范围.18．（12分）已知函数.(1)当时,讨论的单调性；(2)设，当时,若对任意,存在使,求实数取值.19．（12分）已知函数（为自然对数的底数）．（1）求的单调区间；（2）是否存在正实数使得，若存在求出，否则说明理由；20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)．在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于，两点，若点的坐标为，求．21．（12分）若二面角的平面角是直角，我们称平面垂直于平面，记作.（1）如图，已知，，，且，求证：；（2）如图，在长方形中，，，将长方形沿对角线翻折，使平面平面，求此时直线与平面所成角的大小.22．（10分）如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱、和所在直线上的动点：（1）求的取值范围：（2）若为面内的一点，且，，求的余弦值：（3）若、分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点，使平面?若能，试确定点的位置，若不能，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

数据的个数为偶数个，则中位数为中间两个数的平均数.【题目详解】因为数据有个，所以中位数为：，所以解得：，故选：A.【题目点拨】本题考查中位数的计算问题，难度较易.当一组数据的个数为偶数时（从小到大排列），中位数等于中间两个数的平均数；当一组数据的个数为奇数时（从小到大排列），中位数等于中间位置的那个数.2、D【解题分析】可以是共4个，选D.3、C【解题分析】

利用抛物线的抛物线的定义写出弦长公式，利用中点横坐标来求得弦长.【题目详解】设，，则，而的中点的横坐标为，所以.故选C.【题目点拨】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线的定义和性质，考查运算求解能力和化归与转化的数学思想.4、A【解题分析】由z=1+i，得z+1z=1+i+5、D【解题分析】因为xf′(x)－f(x)＝xlnx，所以，所以，所以f(x)＝xln2x＋cx.因为f()＝ln2＋c×＝，所以c＝，所以f′(x)＝ln2x＋lnx＋＝(lnx＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值，故选D.点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等6、D【解题分析】

先根据二项式系数的性质求得n＝5，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得结果．【题目详解】由3x+xn展开式的二项式系数之和为2n＝32，求得可得3x+x5展开式的通项公式为Tr+1=C5r•3x5-r•xr令5-r2＝3，求得r＝4，则展开式中含x3故选：D．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．7、A【解题分析】

先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.【题目详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，∵，∴，∴，，．∵当时，单调递减，∴，故选A．【题目点拨】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小8、D【解题分析】

根据题意，分别讨论：甲、乙两节目只有一个参加，甲、乙两节目都参加，两种情况，分别计算，再求和，即可得出结果.【题目详解】若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：，若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：；因此不同的演出顺序的种数为.故选：D.【题目点拨】本题主要考查有限制的排列问题，以及计数原理的简单应用，熟记计数原理的概念，以及有限制的排列问题的计算方法即可，属于常考题型.9、B【解题分析】

求解不等式，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【题目详解】解：设是实数，若“”则：，即：，不能推出“”若：“”则：，即：，能推出“”由充要条件的定义可知：是实数，则“”是“”的必要不充分条件；故选：B．【题目点拨】本题考查了充分条件和必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10、B【解题分析】试题分析：因为，所以，故选择B.考点：二项式定理.11、A【解题分析】

根据题意，先求出直线PC的斜率，根据MN与PC垂直求出MN的斜率，由点斜式，即可求出结果.【题目详解】由题意知，圆心的坐标为，则，由于MN与PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直线方程为，即.故选A【题目点拨】本题主要考查求弦所在直线方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于常考题型.12、C【解题分析】

分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.【题目详解】大学生小红与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.小红恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数.故选：C【题目点拨】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】

根据图形，说明PC是三棱锥P-OCH的高，△OCH的面积在OD=DC=2时取得最大值，求出OB【题目详解】AB⊥OB，可得PB⊥AB，即AB⊥面POB，所以面PAB⊥面POB．OD⊥PB，则OD⊥面PAB，OD⊥DC，OD⊥PC，又，PC⊥OC，所以PC⊥面OCD.即PC是三棱锥P-OCD的高.PC=OC=2．而△OCD的面积在OD=DC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)当OD=2时，由PO=22，知∠OPB=故答案为：26【题目点拨】本题主要考查了圆锥的结构特征，棱锥的体积等知识，考查空间想象能力，属于中档题．14、【解题分析】试题分析：由题意得.考点：三角函数的定义；同角三角函数的基本关系式；诱导公式.15、④【解题分析】

举出特例，如fx=(x-2017)2-1，即可判断①为假；根据定义域先将原函数化简，再根据奇偶性的定义，即可判断②为假；根据函数f(x)=lgax2+5x+4的值域为【题目详解】①若fx=(x-2017)2-1，则fx在2015,2019上有零点，此时②由9-x2>0得-3<x<3，所以y=所以函数y=x+③若函数f(x)=lgax当a=0时，显然成立.当a≠0时，则二次函数y=ax2+5x+4即Δ=25-16a≥0a>0解得0<a≤所以实数a的取值范围是0≤a≤2516④因为f(x)-4f1x=x，所以有f可得f(x)=-115x+所以fx当x>0时，x+4当x<0时，x+4所以fx=115故答案为④【题目点拨】本题主要考查命题真假的判定，熟记零点存在性定理、函数奇偶性的概念、对数型函数的性质、以及解方程组法求函数解析式等即可，属于常考题型.16、【解题分析】试题分析：椭圆的左焦点为，右焦点为，根据椭圆的定义，，∴，由三角形的性质，知，当是延长线与椭圆的交点时，等号成立，故所求最大值为．考点：椭圆的定义，三角形的性质．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）【解题分析】

(1)根据二次函数,则可设,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的求得,再分析对称轴与区间的位置关系进行分类讨论求解的最小值即可.(3)根据题意可知需求与在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【题目详解】(1)设.①∵,∴,又∵,∴,可得,∴解得即.(2)由题意知,,,对称轴为.①当,即时,函数h(x)在上单调递增,即；②当,即时,函数h(x)在上单调递减,在上单调递增,即.综上,(3)由题意可知,∵函数在上单调递增,故最小值为,函数在上单调递减,故最小值为,∴,解得.【题目点拨】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.18、（1）当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增；当时,函数在上单调递减；当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增;函数在上单调递减；（2）．【解题分析】分析：（1）先求定义域，再对函数求导，，令，分，，，，四种情况考虑h(x)零点情况及正负情况，得函数f(x)的单调区间。（2）因为,由于(I)知,在上的最小值为，由题意可知“对任意,存在,使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函数的“三点一轴”分类讨论求得g(x)的最小值，再求得b范围。详解：(1)定义域因为所以令(i)当时,所以当时,,此时,函数单调递增;当时,,此时,函数单调递增(ii)当时,由,即,解得①当时,，恒成立,此时,函数在上单调递减;②当时,时,,此时,函数单调递减；时,,此时,函数单调递增；时,,此时,函数单调递减；③当时,由于时,,此时,函数单调递减；时,,此时,函数单调递增；综上所述:当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增；当时,函数在上单调递减；当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增;函数在上单调递减(2)因为,由于(I)知,,当时,,函数单调递减:当时,,函数单调递增,所以在上的最小值为由于“对任意,存在,使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”又,,所以①当时,因为,此时与矛盾②当时,因为,同样与矛盾③当时,因为，解不等式可得综上,的取值范围是．点睛：本题综合考查用导数结合分类讨论思想求含参函数的单调区间，及恒成立问题与存在性问题的理解，即转化为最值问题，同时也考查了一元二次函数“三点一轴”求最值问题，题目综合性较强，分类较多，对学生的能力要求较高。19、（1）单调递减区间是，单调递增区间为；（2）不存在，证明见解析．【解题分析】分析：（1）先求一阶导函数的根，求解或的解集，写出单调区间．（2）函数在上的单调性，和函数的对称性说明不存在详解：（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间为．（2）不存在正实数使得成立，事实上，由（1）知函数在上递增，而当，有，在上递减，有，因此，若存在正实数使得，必有．令，令，因为，所以，所以为上的增函数，所以，即，故不存在正实数使得成立．点睛：方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点三种思想的转化，为解题思路提供了灵活性，导数作为研究函数的一个基本工具在使用．20、（1）直线l的普通方程为；圆C的直角坐标方程为；（2）.【解题分析】

（1）由直线的参数方程消去参数可直接得到普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式，可直接得到圆的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，结合韦达定理，根据参数的方法，即可求出结果.【题目详解】(1)由直线的参数方程(为参数)得直线的普通方程为由,得,即圆的直角坐标方程为．(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即，由于>0,故可设，是上述方程的两个实根，所以又直线过点P(3,)，故．【题目点拨】本题主要考查参数