2024届桂林中学数学高二第二学期期末预测试题含解析

2024届桂林中学数学高二第二学期期末预测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知实数，则的大小关系是()A． B． C． D．3．在椭圆内，通过点，且被这点平分的弦所在的直线方程为（）A． B．C． D．4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A．4 B．5 C．6 D．75．在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（）A． B． C． D．6．若双曲线的一条渐近线为，则实数（）A． B．2 C．4 D．7．已知a＝，b＝，c＝，则()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a8．已知，，那么等于（）A． B． C． D．9．运行下列程序，若输入的的值分别为，则输出的的值为A． B．C． D．10．若函数在（0，2）内单调递减，则实数的取值范围为（）A．≥3 B．=3 C．≤3 D．0<<311．设数列的前项和为，若，且，则（）A．2019 B． C．2020 D．12．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在正三棱柱中，分别是的中点.设是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______．14．已知复数（，为常数，）是复数的一个平方根，那么复数的两个平方根为______.15．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有________种16．已知函数fx=axlnx,x∈0,+∞，其中a为实数，f'x为fx的导函数，三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.（1）当时，求及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.18．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.19．（12分）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少？（2）现需要倒出不少于的溶液，当时，能实现要求吗？请说明理由．20．（12分）已知二次函数（均为实数），满足，对于任意实数都有，并且当时，有.（1）求的值；并证明：；（2）当且取得最小值时，函数（为实数）单调递增，求证：.21．（12分）已知命题：函数在上是减函数，命题，.(1)若为假命题，求实数的取值范围；(2)若“或”为假命题，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数.（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图像即可得出结论.【题目详解】因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得：导函数值先负后正的点只有一个，故函数在内极小值点的个数是1.故选：A【题目点拨】本题考查了极小值点的概念，需熟记极小值点的定义，属于基础题.2、B【解题分析】

根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．【题目详解】解：∵，∴，，．∴．故选：B．【题目点拨】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3、A【解题分析】试题分析：设以点为中点的弦的端点分别为，则，又，两式相减化简得，即以点为中点的弦所在的直线的斜率为，由直线的点斜式方程可得，即，故选A.考点：直线与椭圆的位置关系.4、A【解题分析】

根据框图，模拟计算即可得出结果.【题目详解】程序执行第一次，，，第二次，，第三次，，第四次，，跳出循环，输出，故选A.【题目点拨】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.5、B【解题分析】

根据展开式中二项式系数最大的项是，由此求出它的系数．【题目详解】的展开式中，二项式系数最大的项是其系数为-1．

故选B.．【题目点拨】本题考查了二项式展开式系数的应用问题，是基础题．6、C【解题分析】

根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，根据双曲线的一条渐近线求得m的值．【题目详解】双曲线中，，令，得，所以；又双曲线的一条渐近线为，则，解得，所以实数．故选：C．【题目点拨】本题考查了利用双曲线的标准方程求渐近线方程的应用问题，是基础题．7、D【解题分析】

分别考查指数函数在R上单调性和幂函数在（0，+∞）上单调性即可得出．【题目详解】∵y＝在R上为减函数，>，∴b<c.又∵y＝在(0，＋∞)上为增函数，>，∴a>c，∴b<c<a.故选：D【题目点拨】熟练掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键．8、B【解题分析】

根据条件概率公式得出可计算出结果.【题目详解】由条件概率公式得，故选B.【题目点拨】本题考查条件概率的计算，利用条件概率公式进行计算是解本题的关键，属于基础题.9、B【解题分析】分析：按照程序框图的流程逐一写出即可详解：第一步：第二步：第三步：第四步：最后：输出．，故选B．点睛：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式．10、A【解题分析】

由题可得：在恒成立.整理得：在恒成立.求得：，即可得：，问题得解．【题目详解】由题可得：在恒成立.即：在恒成立．又，所以.所以故选A【题目点拨】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，还考查了恒成立问题解决方法，考查转化能力，属于中档题．11、D【解题分析】

用，代入已知等式，得，可以变形为：，说明是等差数列，故可以求出等差数列的通项公式，最后求出的值.【题目详解】因为，所以，所以数列是以为公差的等差数列，，所以等差数列的通项公式为，故本题选D.【题目点拨】本题考查了公式的应用，考查了等差数列的判定义、以及等差数列的通项公式.12、C【解题分析】

先判断出函数为奇函数且在定义域内单调递增，然后把不等式变形为，再利用单调性求解即可．【题目详解】由题意得，函数的定义域为R．∵，∴函数为奇函数．又根据复合函数的单调性可得，函数在定义域上单调递增．由得，∴，解得，∴不等式的解集为．故选C．【题目点拨】解答本题的关键是挖掘题意、由条件得到函数的奇偶性和单调性，最后根据函数的单调性求解，这是解答抽象不等式（即不知表达式的不等式）问题的常用方法，考查理解和应用能力，具有一定的难度和灵活性．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

以E为原点，EA,EC为x,y轴建立空间直角坐标系，设，用空间向量法求得t，进一步求得BD.【题目详解】以E为原点，EA,EC为x,y轴建立空间直角坐标系，如下图．解得t=1，所以，填．【题目点拨】利用空间向量求解空间角与距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.14、,【解题分析】

由题可知,再对开根号求的两个平方根即可.【题目详解】由题,故,即,故复数的两个平方根为与故答案为：,【题目点拨】本题主要考查了复数的基本运算,运用即可联系与的关系,属于基础题型.15、72【解题分析】第一步甲乙抢到红包，有种，第二步其余三人抢剩下的两个红包，有种，所以甲乙两人都抢到红包的情况有种．16、3【解题分析】试题分析：f'(x)=alnx+a，所以考点：导数的运算．【名师点睛】(1)在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误．②不能正确运用求导公式和求导法则．(2)求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量．②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），l的极坐标方程为；（2）【解题分析】

（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【题目详解】（1）因为点在曲线上，所以；即，所以，因为直线l过点且与垂直，所以直线的直角坐标方程为，即；因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；（2）设，则，，由题意，，所以，故，整理得，因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.【题目点拨】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.18、（1）（2）【解题分析】

试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.19、（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°（2）不能实现要求，详见解析【解题分析】

（1）当倾斜至上液面经过点B时，容器内溶液恰好不会溢出，此时最大．（2）当时，设剩余的液面为，比较与60°的大小后发现在上，计算此时倒出的液体体积，比小，从而得出结论．【题目详解】（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B时，容器内溶液恰好不会溢出，此时最大．解法一：此时，梯形的面积等于，因为，所以，，即，解得，．所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°．③解法二：此时，的面积等于图①中没有液体部分的面积，即，因为，所以，即，解得，．所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°．（2）如图④，当时，设上液面为，因为，所以点F在线段上，④此时，，,剩余溶液的体积为，由题意，原来溶液的体积为，因为，所以倒出的溶液不满．所以，要倒出不少于的溶液，当时，不能实现要求．【题目点拨】本题考查三角函数的实际应用，解题关键是确定倾斜后容器内的溶液的液面位置，然后才能计算解决问题．20、(1)答案见解析；(2)证明见解析【解题分析】试题分析：(1)由函数的解析式可得，结合均值不等式的结论可得.(2)由题意讨论二次函数的对称轴和单调性即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意，即，又，∴，则恒成立∴，∴.（2）由（1）可得，当且仅当时取等号此时，要使其在区间内单调递增，必有对称轴与其关系为，即为所证.21、(1).（2）.【解题分析】分析：第一问利用命题的否定和命题本身是一真一假的，根据命题q是假命题，得到命题的否定是真命题，结合二次函数图像，得到相应的参数的取值范围；第二问利用“或”为假命题，则有两个命题都是假命题，所以先求命题p为真命题时参数的范围，之后求其补集，得到m的范围，之后将两个命题都假时参数的范围取交集，求得结果.详解：（1）因为命题，所以：，，当为假命题时，等价于为真命题，即在上恒成立，故，解得所以为假命题时，实数的取值范围为.（2）函数的对称轴方程为，当函数在上是减函数