湖北省荆州市2024届高二数学第二学期期末预测试题含解析

湖北省荆州市2024届高二数学第二学期期末预测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是①若则;②若则;③若,则;④若则A．①②④ B．②③ C．①④ D．②④2．已知数列为单调递增的等差数列，为前项和，且满足，、、成等比数列，则()A．55 B．65 C．70 D．753．设，则的展开式中的常数项为（）A． B． C． D．4．如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据：34562.53m4.5若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得对的回归直线方程是，则表中的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.55．若不等式|ax+2|＜6的解集为（﹣1，2），则实数a等于（）A．8 B．2 C．﹣4 D．﹣86．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形的斜边，直角边，.若，，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）（）A． B．C． D．7．学生会为了调查学生对年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查人，得到如下数据：不关注关注总计男生301545女生451055总计7525100根据表中数据，通过计算统计量，并参考以下临界数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.828若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过（）A． B． C． D．8．设，，则A． B．， C． D．，9．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是()A．B．C．D．10．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员()A．3人 B．4人 C．7人 D．12人11．设，，，则()A． B． C． D．12．如图，在正方形内任取一点，则点恰好取自阴影部分内的概率为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知变量，满足约束条件，设的最大值和最小值分别是和，则__________.14．已知为数列的前项和，若且，设，则的值是__________．15．设为虚数单位，若，则________．16．设，，，则的最小值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求的面积.18．（12分）函数令，．（1）求并猜想的表达式（不需要证明）；（2）与相切，求的值．19．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）如果，求的取值范围.20．（12分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C的方程变为.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为.（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）过点作l的垂线l0交C于A，B两点，点A在x轴上方，求的值.21．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）甲部门678乙部门5.566.577.58丙部门55.566.578.5（1）求该单位乙部门的员工人数？（2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙部门选出的员工记为B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率；（3）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．22．（10分）已知函数的定义域为；（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据选项利用判定定理、性质定理以及定义、举例逐项分析.【题目详解】①当都在平面内时，显然不成立，故错误；②因为，则过的平面与平面的交线必然与平行；又因为，所以垂直于平面内的所有直线，所以交线，又因为交线，则，故正确；③正方体上底面的两条对角线平行于下底面，但是两条对角线不平行，故错误；④因为垂直于同一平面的两条直线互相平行，故正确；故选：D.【题目点拨】本题考查判断立体几何中的符号语言表述的命题的真假，难度一般.处理立体几何中符号语言问题，一般可采用以下方法：（1）根据判定、性质定理分析；（2）根据定义分析；（3）举例说明或者作图说明.2、A【解题分析】

设公差为d，，，解出公差，利用等差数列求和公式即可得解.【题目详解】由题：数列为单调递增的等差数列，为前项和，且满足，、、成等比数列，设公差为d，，，解得，所以.故选：A【题目点拨】此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系求解公差，利用求和公式求前十项之和.3、B【解题分析】

利用定积分的知识求解出，从而可列出展开式的通项，由求得，代入通项公式求得常数项.【题目详解】展开式通项公式为：令，解得：，即常数项为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查二项式定理中的指定项系数的求解问题，涉及到简单的定积分的求解，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式的形式.4、A【解题分析】由题意可得，故样本中心为。因为回归直线过样本中心，所以，解得。选A。5、C【解题分析】

利用不等式的解集和对应方程的根的关系来求解.【题目详解】因为的解集为，所以和是方程的根，所以解得.故选：C.【题目点拨】本题主要考查绝对值不等式的解法，明确不等式的解集和对应方程的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.6、D【解题分析】

首先计算出图形的总面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式计算可得.【题目详解】解：因为直角三角形的斜边为，，，所以，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为.所以图形总面积，，所以.故选：【题目点拨】本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.7、A【解题分析】因为,所以若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过，故选A.【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）8、A【解题分析】

利用一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性，求出集合，，然后进行交集的运算即可。【题目详解】，；，故选．【题目点拨】本题主要考查区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域及单调性，以及交集的运算．9、D【解题分析】

根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，根据图像即可判断函数的单调性，然后结合图像判断出函数的极值点位置，从而求出答案。【题目详解】根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，由导函数的图象可知，图像先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，故排除A,C且第二个拐点（即函数的极大值点）在轴的右侧，排除B故选D【题目点拨】本题考查函数的单调性与导函数正负的关系，属于一般题。10、B【解题分析】

根据分层抽样原理求出应抽取的管理人数．【题目详解】根据分层抽样原理知，应抽取管理人员的人数为：故选：B【题目点拨】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．11、C【解题分析】

分别求出，，的范围，从而得到答案．【题目详解】根据指数函数图像可得，，；由于，则，则；所以；故答案选C【题目点拨】本题考查指数、对数值的大小比较，解题的关键利用指数对数的运算法则求出值的范围，属于中档题．12、B【解题分析】

由定积分的运算得：S阴（1）dx＝（x），由几何概型中的面积型得：P（A），得解．【题目详解】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S阴（1）dx＝（x），设“点M恰好取自阴影部分内”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A），故选B．【题目点拨】本题考查了定积分的运算及几何概型中的面积型，考查基本初等函数的导数，属基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域，可以发现变量，都是正数，故令，这样根据的几何意义，可以求出的取值范围，利用表示出，利用函数的性质，可以求出的最值，最后计算出的值.【题目详解】在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域，如下图所示：从图中可知：变量，都是正数，令，它表示不等式组所表示的平面区域内的点与原点的连线的斜率，解方程组：，可得点，解方程组：，可得点，所以有，因此，，，故.【题目点拨】本题考查了不等式所表示的平面区域，考查了斜率模型，考查了数形结合思想.14、【解题分析】

根据是等比数列得出，利用数列项与和的关系，求得，从而得出，利用裂项相消法求出答案.【题目详解】由可知，数列是首项为，公比为2的等比数列，所以.时，..时,.【题目点拨】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列通项公式，数列项与和的关系，裂项相消法求和，属于简单题目.15、【解题分析】由，得，则，故答案为.16、.【解题分析】

把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．【题目详解】由，得，得，等号当且仅当，即时成立．故所求的最小值为．【题目点拨】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）由正弦定理把已知角的关系转化为边的关系，再由余弦定理求得，从而求得；（2）由(1)及代入可解得，再由求得面积．【题目详解】解：（1）由及正弦定理得：，∴，由余弦定理得：，∵，∴（2）由，及，得，∴∴∴的面积为.【题目点拨】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式，解题关键是由正弦定理把已知角的关系转化为边的关系．18、（1）见解析；（2）4【解题分析】

（1）分别求出和的解析式，结合函数的解析式归纳出函数的解析式；（2）设切点，由函数在点处的切线斜率等于直线，以及点为直线与函数图象的公共点，利用这两个条件列方程组求出的值。【题目详解】（1），.猜想.（2）设切点为，，,切线斜率，解得.所以.所以，解得.【题目点拨】本题考查归纳推理、导数的几何意义，在处理直线与函数相切的问题时，抓住以下两个基本点：（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；（2）切点为切线与函数图象的公共点。另外，在处理直线与二次曲线或反比例型函数图象相切的问题，也可以将直线与曲线方程联立，利用判别式为零处理。19、（1）答案见解析；上是增函数；（2）.【解题分析】分析：（1）求导得：,分类讨论可知当时，在上是增函数，当时，在上是减函数；在上是增函数.（2）由（1）可知，时，函数有最小值，据此可得关于实数a的不等式，且满足题意，据此可知.详解：（1）求导得：,当时，恒成立，所以在上是增函数，当时，令，则.①当时，，所以在上是减函数；②时，，所以在上是增函数.（2）由（1）可知，时，，，，解得，又由于，综上所述：.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．20、（1），（2）【解题分析】

（1）将变换公式代入得，即可曲线C的方程，利用极坐标与直角的互化公式，即可求解直线的直角坐标方程；（2）将直线l0的参数方程代入曲线C的方程整理得，利用根与系数的关系和直线的参数方程中参数的几何意义，即可求解的值.【题目详解】（1）将代入得，曲线C的方程为，由，得，把，代入上式得直线l的直角坐标方程为.（2）因为直线l的倾斜角为，所以其垂线l0的倾斜角为，则直线l0的参数方程为（t为参数），即（t为参数）代入曲线C的方程整理得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，由题意知，，则，且，所以.【题目点拨】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用韦达定理和直线的参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21、(1)24人；(2)；(3)X的分布列见解析；数学期望为1【解题分析】

（1）分层抽样共抽取：3+6+6＝15名员工，其中该单位乙部门抽取6名员工，由此能求出该单位乙部门的员工人数．（2）基本事件总数n18，利用列举法求出A的睡眠时间不少于B的睡眠时间包含的基本事件个数，由此能求出A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率．（3）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．【题目详解】（1）由题意，得到分层抽样共抽取：3+6+6＝15名员工，其中该单位乙部门抽取6名员工，∴该单位乙部门的员工人数为：624人．（2）由题意甲部门抽取3名员工，乙部门抽取6名员工，从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，基本事件总数n18，A的睡眠时间不少于B的睡眠时间包含的基本事件（a，b）有12个：（6，5.5）