吉林省集安市第一中学2024届数学高二第二学期期末联考模拟试题含解析

吉林省集安市第一中学2024届数学高二第二学期期末联考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设定点，动圆过点且与直线相切.则动圆圆心的轨迹方程为（）A． B． C． D．2．如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．3．已知定义域为正整数集的函数满足，则数列的前项和为（）A． B． C． D．4．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀作文成绩一般总计课外阅读量较大221032课外阅读量一般82028总计303060由以上数据，计算得到的观测值，根据临界值表，以下说法正确的是()P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.050.0100.005k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879A．在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”B．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关5．已知，那么“”是“且”的A．充分而不必要条件 B．充要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为()A．1 B．2C．3 D．47．今年全国高考,某校有3000人参加考试，其数学考试成绩(，试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩高于130分的人数为100，则该校此次数学考试成绩高于100分且低于130分的学生人数约为（）A．1300 B．1350 C．1400 D．14508．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(2－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)B．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(2)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)D．函数f(x)有极大值f(－1)和极小值f(2)9．甲乙丙丁4名师范院校的大学生分配至3所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，且甲、乙两人不能分配在同一所学校，则不同分配方法数为（）A．30 B．42 C．50 D．5810．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（）A． B．C． D．11．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（）A． B． C． D．12．曲线的图像（）A．关于轴对称B．关于原点对称,但不关于直线对称C．关于轴对称D．关于直线对称，关于直线对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，则等于___________．14．中，，则的最大值为____________.15．如图，在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和，若第行中的三个连续的数之比是2∶3∶4，则的值是_________.16．已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数,其中为常数且.(Ⅰ)若是函数的极值点,求的值;(Ⅱ)若函数有3个零点,求的取值范围.18．（12分）在10件产品中,有3件一等品,7件二等品,.从这10件产品中任取3件,求：取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望.19．（12分）已知正四棱柱的底面边长为2，.（1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若为线段的中点，求与平面所成角的大小.20．（12分）已知函数（1）若在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围;（2）若在处有极值10，求的值;（3）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）在的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含的项．22．（10分）已知数列{}满足，且.（I）证明：数列{}是等差数列；（II）求数列{}的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由题意，动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，求得，即可得到答案．【题目详解】由题意知，动圆圆心到定点与到定直线的距离相等，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，则方程为故选A【题目点拨】本题考查抛物线的定义，属于简单题．2、A【解题分析】由三视图可知：该几何体分为上下两部分，下半部分是长、宽、高分别为的长方体，上半部分为底面半径为1，高为2的两个半圆柱，故其体积为，故选A.3、A【解题分析】分析：通过求出，再利用等差数列的求和公式即可求得答案.详解：当时，有；当时，有；当时，有；…...，.故答案为：A.点睛：本题主要考查了数列求和以及通项公式的求法，考查计算能力与分析能力，属于中档题.4、D【解题分析】分析：根据临界值表，确定犯错误的概率详解：因为根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关．选D.点睛：本题考查卡方含义，考查基本求解能力.5、C【解题分析】

先利用取特殊值法判断x•y＞0时，x＞0且y＞0不成立，再说明x＞0且y＞0时，x•y＞0成立，即可得到结论．【题目详解】若x＝﹣1，y＝﹣1，则x•y＞0，但x＞0且y＞0不成立，若x＞0且y＞0，则x•y＞0一定成立，故“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的必要不充分条件故选：C．【题目点拨】本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了不等式的性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6、D【解题分析】可以是共4个，选D.7、C【解题分析】

根据正态分布的对称性计算，即【题目详解】100分是数学期望，由题意成绩高于130分的有100人，则低于70分的也有100人，70到130的总人数为3000－200＝2800，因此成绩高于100分低于130分的人数为．故选C．【题目点拨】本题考查正态分布，解题关键是掌握正态分布曲线中的对称性，即若，则，．8、A【解题分析】由函数y＝(2－x)f′(x)的图像可知，方程f′(x)＝0有两个实根x＝－1，x＝1，且在(－∞，－1)上f′(x)<0，在(－1，1)上f′(x)>0，在(1，2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)<0.所以函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)．9、A【解题分析】

根据题意将4人分成3组，再进行排列，两步完成.【题目详解】第一步，将甲乙丙丁4名同学分成3组，甲、乙两人不在同一组，有5种分法第二步,将3组同学分配到3所学校，有种分法所以共有种分配方法故选：A【题目点拨】解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配.10、B【解题分析】试题分析：函数，的图象上所有点向左平移个单位长度得，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得，选B.考点：三角函数图像变换11、C【解题分析】分析：通过枚举法写出三个人站成一排的所有情况，再找出其中甲、丙相邻的情况，由此能求出甲、丙相邻的概率.详解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种，其中甲、丙相邻有4种，所以，甲、丙相邻的概率为.故选C.点睛：本题考查古典概型的概率的求法，解题时要注意枚举法的合理运用.12、D【解题分析】

构造二元函数，分别考虑与、、、、的关系，即可判断出相应的对称情况.【题目详解】A．，所以不关于轴对称；B．，，所以关于原点对称，也关于直线对称；C．，所以不关于轴对称；D．，所以关于直线对称，同时也关于直线对称.故选：D.【题目点拨】本题考查曲线与方程的综合应用，难度一般.若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于原点对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据微积分基本定理可得，再结合函数解析式，根据牛顿莱布尼茨定理计算可得；【题目详解】解：因为所以故答案为：【题目点拨】本题考查利用定积分求曲边形的面积，属于基础题.14、【解题分析】分析：先求出，再利用正弦定理求出，再利用三角变换和基本不等式求其最大值.详解：由题得,由正弦定理得所以的最大值为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查平面向量的数量积，考查正弦定理和三角变换，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键有两点，其一是求出，其二是化简得到，再利用基本不等式求最大值.15、【解题分析】

先根据题意，设第行中从第项开始，连续的三个连续的数之比是2∶3∶4，得到，求解，即可得出结果.【题目详解】根据题意，可得第行的数分别为：，设第行中从第项开始，连续的三个连续的数之比是2∶3∶4，则有，即，即，解得:.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查杨辉三角形的应用，以及组合数的性质及运算，熟记组合数的运算公式即可，属于常考题型.16、【解题分析】

构造函数：根据其导函数判断单调性，再通过特殊值解得不等式.【题目详解】函数的定义域为构造函数：已知：所以，递减.即故答案为【题目点拨】本题考查了函数的构造，根据函数单调性解不等式，技巧性较强，构造函数是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解题分析】

（I）由题意把代入导函数，导函数得0，即可求的值；（II）由题意等价转化为函数在区间上有三个零点问题，转化为求函数在定义域下求极值，列关于a的不等式求解．【题目详解】(Ⅰ)依题意得,所以，是函数的极值点，得f′(2)=0，解得或（舍去），故，(Ⅱ)函数有3个零点,即方程有三个不同实根，因为所以有三个不等实根，令，，，令，解得，在单调递增，单调递减，单调递增，所以为的极值点，根据函数有3个零点,需满足，解得，的取值范围为.【题目点拨】本题考查函数零点个数求参数的取值范围,通常利用转化思想将函数进行转化成等价函数或者方程根的问题，利用导数研究函数的性质,根据条件列出不等式求解，考查数学思想方法的灵活应用，属于较难题.18、见解析【解题分析】

由题意可知，可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布，由此能求出的分布列和数学期望.【题目详解】解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123PX的数学期望EX=【题目点拨】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，是近几年高考题中经常出现的题型.19、（1），（2）【解题分析】试题分析：⑴根据题意可得：在中，高∴⑵过作，垂足为，连结，则平面，∵平面，∴∴在中，就是与平面所成的角∵，∴，又是的中点，∴是的中位线，∴在中∴∴考点：线面角，棱柱的体积点评：解决的关键是对于几何体体积公式以及空间中线面角的求解的表示，属于基础题．20、（1）m≥－（1）（3）m∈[－1，1]【解题分析】分析：(1)由在区间上是单调递增函数得，当时，恒成立，由此可求实数的取值范围;（1），由题或，判断当时，，无极值，舍去，则可求；（3）对任意的，有恒成立，即在上最大值与最小值差的绝对值小于等于1．求出原函数的导函数，分类求出函数在的最值，则答案可求；详解：(1)由在区间上是单调递增函数得，当时，恒成立，即恒成立，解得（1），由题或当时，，无极值，舍去.所以（3）由对任意的x1，x1∈[－1，1]，有|f(x1)－f(x1)|≤1恒成立，得fmax(x)－fmin(x)≤1．且|f(1)－f(0)|≤1，|f(－1)－f(0)|≤1，解得m∈[－1，1]，①当m=0时，f＇(x)≥0，f(x)在[－1，1]上单调递增，fmax(x)－fmin(x)=|f(1)－f(－1)|≤1成立．②当m∈(0，1]时，令f＇(x)＜0，得x∈(－m，0)，则f(x)在(－m，0)上单调递减；同理f(x)在(－1，－m)，(0，1)上单调递增，f(－m)=m3+m1，f(1)=m1+m+1，下面比较这两者的大小，令h(m)=f(－m)－f(1)=m3－m－1，m∈[0，1]，h＇(m)=m1－1＜0，则h(m)在(0，1]上为减函数，h(m)≤h(0)=－1＜0，故f(－m)＜f(1)，又f(－1)=m－1+m1≤m1=f(0)，仅当m=1时取等号.所以fmax(x)－fmin(x)=f(1)－f(－1)=