2024届广东省珠海市珠海二中、斗门一中数学高二下期末联考试题含解析

2024届广东省珠海市珠海二中、斗门一中数学高二下期末联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的值是（）A．B．C．D．2．将两颗骰子各掷一次，设事件A为“两颗骰子向上点数不同”，事件B为“至少有一颗骰上点数为3点”则（）A． B． C． D．3．演绎推理“因为时，是的极值点，而对于函数，，所以0是函数的极值点.”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．全不正确4．将曲线y=sin2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为（）A． B． C． D．5．函数在上的最小值和最大值分别是A． B． C． D．6．设随机变量服从分布，且，，则（）A．， B．，C．， D．，7．已知曲线，给出下列命题：①曲线关于轴对称；②曲线关于轴对称；③曲线关于原点对称；④曲线关于直线对称；⑤曲线关于直线对称，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知曲线的参数方程为：，且点在曲线上，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣4，﹣3，1}，则A∩B＝（）A．{1，﹣3} B．{1，﹣4} C．{3} D．{1}10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A． B． C．48 D．11．若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（）A． B． C． D．12．已知随机变量的分布列如下表所示：123450.10.20.20.1则的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，两点，若，则点的坐标为_________．14．一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望EX=15．已知，是单位向量.若，则向量，夹角的取值范围是_________.16．展开式中含有的系数为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在二项式的展开式中，二项式系数之和为256，求展开式中所有有理项.18．（12分）已知,且.证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.19．（12分）已知，，分别是内角，，的对边，，.（1）求的值；（2）若的面积为，求的值.20．（12分）已知函数在处取得极小值1．（1）求的解析式；（2）求在上的最值．21．（12分）如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P（点P不与A，B重合），并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P．当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝，公路MB，MN的总长为．（1）求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）当为何值时，投资费用最低？并求出的最小值．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，单位圆上存在两点，满足均与轴垂直，设与的面积之和记为．若，求的值；若对任意的，存在，使得成立，且实数使得数列为递增数列，其中求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】试题分析：设，结合定积分的几何意义可知定积分值为圆在第一象限的面积的值是考点：定积分的几何意义2、D【解题分析】

用组合数公式计算事件A和事件AB包含的基本事件个数，代入条件概率公式计算．【题目详解】解：两颗骰子各掷一次包含的基本事件的个数是1．事件A包含的基本事件个数有，则．事件AB包含的基本事件个数为10，则．所以在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为：，故选：D．【题目点拨】本题考查条件概率，属于基础题．3、A【解题分析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为时，是的极值点，而对于函数，，所以0是函数的极值点.”中，

大前提：时，在两侧的符号如果不相反，则不是的极值点，故错误，

故导致错误的原因是：大前提错误，

故选：A．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题4、B【解题分析】

根据反解,代入即可求得结果.【题目详解】由伸缩变换可得:代入曲线,可得:,即.故选:.【题目点拨】本题考查曲线的伸缩变换,属基础题,难度容易.5、A【解题分析】

求出f（x）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．【题目详解】函数，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）递减，在（，]递增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值分别是：．故选：A．【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题．6、A【解题分析】分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于的方程组，注意两个方程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出P的值，再求出n的值，得到结果.详解：随机变量服从分布，且，，①②即可求得，.故选：A点睛：本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二项分布的期望和方差公式，考查方差思想，是一个比较好的题目，技巧性比较强.7、C【解题分析】

根据定义或取特殊值对曲线的对称性进行验证，可得出题中正确命题的个数.【题目详解】在曲线上任取一点，该点关于轴的对称点的坐标为，且，则曲线关于轴对称，命题①正确；点关于轴的对称点的坐标为，且，则曲线关于轴对称，命题②正确；点关于原点的对称点的坐标为，且，则曲线关于原点对称，命题③正确；在曲线上取点，该点关于直线的对称点坐标为，由于，则曲线不关于直线对称，命题④错误；在曲线上取点，该点关于直线的对称点的坐标为，由于，则曲线不关于直线对称，命题⑤错误.综上所述，正确命题的个数为.故选：C.【题目点拨】本题考查曲线对称性的判定，一般利用对称性的定义以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.8、C【解题分析】分析：由题意得曲线C是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子，的形式可以联想成在单位圆上动点P与点C（0，1）构成的直线的斜率，进而求解．详解：∵即

其中由题意作出图形，，

令，则可看作圆上的动点到点的连线的斜率而相切时的斜率，

由于此时直线与圆相切，

在直角三角形中，，由图形知，的取值范围是则的取值范围是．

故选C．点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．9、D【解题分析】

利用集合的交集的运算，即可求解．【题目详解】由题意，集合，所以，故选D．【题目点拨】本题主要考查了集合交集的运算，其中解答中熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10、B【解题分析】

由三视图可得几何体是如图所示四棱锥，根据三视图数据计算表面积即可.【题目详解】由三视图可得几何体是如图所示四棱锥，则该几何体的表面积为：.故选：B【题目点拨】本题主要考查了三视图，空间几何体的表面积计算，考查了学生的直观想象能力.11、A【解题分析】

通过平移得到，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案.【题目详解】向左平移个单位长度后得到的图像，则其对称中心为,或将选项进行逐个验证,选A.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12、A【解题分析】分析：由分布列的性质可得，又由数学期望的计算公式求得数学期望，进而可求得．详解：由分布列的性质可得，解得，又由数学期望的计算公式可得，随机变量的期望为：，所以，故选A．点睛：本题主要考查了随机变量的分布列的性质即数学期望的计算问题，其中熟记随机变量的性质和数学期望的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解题分析】

如图所示，求得，由，可得，解得，可得直线的方程，与抛物线方程联立，即可求解.【题目详解】如图所示，可得，由，由抛物线的定义，可得，解得，代入抛物线的方程可得或，当时，，则直线的方程为，即，代入，解得；同理当时，解得，故答案为或.【题目点拨】本题主要考查了抛物线的定义，标准方程及其性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档试题.14、2【解题分析】试题分析：由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=C6P（X=1）=C12P（X=2）=C12P（X=3）=C12∴E（X）=0×20816+1×180816+2×396816考点：离散型随机变量的期望与方差15、【解题分析】

设向量、的夹角为，在不等式两边平方，利用数量积的运算律和定义求出的取值范围，于此可求出的取值范围．【题目详解】设向量、的夹角为，，两边平方得，、都是单位向量，则有，得，，，因此，向量、的夹角的取值范围是，故答案为．【题目点拨】本题考查平面数量积的运算，考查平面向量夹角的取值范围，在涉及平面向量模有关的计算时，常将等式或不等式进行平方，结合数量积的定义和运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题．16、135【解题分析】

根据二项式定理确定含有的项数，进而得系数【题目详解】令得含有的系数为故答案为：135【题目点拨】本题考查二项式定理及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、答案见解析【解题分析】

由题意首先求得n的值，然后结合展开式的通项公式即可确定展开式中所有有理项.【题目详解】由题意可得：，解得：，则展开式的通项公式为：，由于且，故当时展开式为有理项，分别为：，，.【题目点拨】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）根据均值不等式可以证明；（Ⅱ）根据均值不等式和已知条件的灵活应用可以证明.【题目详解】证明Ⅰ，b，，且，，，当且仅当时，等号成立

Ⅱ，，，，，【题目点拨】本题主要考查不等式的证明，均值不等式是常用工具，侧重考查逻辑推理的核心素养.19、(1);(2)4.【解题分析】分析：先根据，求得sinA的值，再结合正弦定理求解即可；（2）先由cosA的余弦定理可得c，b的关系，然后根据三角形面积公式即可求得c.详解：（1）由得，由及正弦定理可得.（2）根据余弦定理可得，代入得，整理得，即，解得，∴，解得.点睛：考查正余弦定理解三角形的应用，三角形面积公式，对定理公式的灵活运用是解题关键，属于基础题.20、（1）（2）最小值为1，最大值为2．【解题分析】

（1）利用导数，结合在处取得极小值1，求得的值，由此求得解析式.（2）根据在区间上的单调性，结合函数的极值以及区间端点的函数值，求得在区间上的最值.【题目详解】（1），由，得或．当时，，则在上单调递增，在上单调递减，符合题意，由，得；当时，，则在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，不符合题意．所以．（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，因为，所以的最小值为1，最大值为2．【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.21、(1);(2)当时，投资费用最低，此时的最小值为.【解题分析】

（1）由题意，设，利用平面几何的知识和三角函数的关系式及三角恒等变换的公式，即可得函数的关系式；（2）利用三角函数的基本关系式和恒等变换的公式，求得的解析式，再利用基本不等式，即可求得投资的最低费用，得到答案.【题目详解】（1）连接，在中，，故，据平面几何知识可知,在中，，故，所以，显然，所以函数的