2024届四川省成都市温江区高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2024届四川省成都市温江区高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．直线l在平面上，直线m平行于平面，并与直线l异面.动点P在平面上，且到直线l、m的距离相等.则点P的轨迹为（）.A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线3．设随机变量服从正态分布，若，则实数等于（）A． B． C． D．4．已知高一（1）班有48名学生，班主任将学生随机编号为01，02，……，48，用系统抽样方法，从中抽8人，若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（）A．16B．22C．29D．335．已知随机变量服从二项分布，则（）．A． B． C． D．6．在正方体中，与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．7．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数和偶函数,使得函数是偶函数；命题2：存在函数、及区间，使得、在上均是增函数,但在上是减函数；命题3：存在函数、（定义域均为），使得、在处均取到最大值，但在处取到最小值.那么真命题的个数是()．A． B． C． D．8．设随机变量的分布列为，则（）A．3 B．4 C．5 D．69．直线与抛物线交于，两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（）A． B． C．4 D．210．若命题“存在，使”是假命题，则非零实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．设全集，，，则等于（）A． B． C． D．12．在中，为边上一点，且，向量与向量共线，若，，，则（）A．3 B． C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量与互相垂直，则________．14．4名学生被中大、华工、华师录取，若每所大学至少要录取1名，则共有不同的录取方法__________．15．抛物线C:上一点到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为_______.16．若，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）设点是轨迹上位于第一象限且在直线右侧的动点，若以为圆心，线段为半径的圆与有两个公共点．试求圆在右焦点处的切线与轴交点纵坐标的取值范围．18．（12分）已知数列满足，，数列的前项和为，且.（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．（12分）已知，.（1）若且的最小值为1，求的值；（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.20．（12分）已知复数，i为虚数单位．（1）求；（2）若复数z满足，求的最大值．21．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822．（10分）已知矩阵，向量.（1）求的特征值、和特征向量、；（2）求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行；不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交；平行于同一条直线的两个平面平行或相交；正确.2、D【解题分析】

设m在平面上的投影，与直线l交于点O.在平面上，以O为原点、直线l为y轴建立直角坐标系.则设的方程为.又设点P（x，y）.则点P到直线l的距离，点P到直线的距离为.从而，点P到直线m的距离平方等于，其中，a为直线m到平面的距离.因此，点P的轨迹方程为，即为双曲线.3、B【解题分析】分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=4对称，得到两个概率相等的区间关于x=4对称，得到关于a的方程，解方程即可．详解：∵随机变量ξ服从正态分布N（4，3），∵P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），∴x=a﹣5与x=a+1关于x=4对称，∴a﹣5+a+1=8，∴2a=12，∴a=6，故选：C．点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.4、C【解题分析】

根据系统抽样的定义求出样本间隔即可.【题目详解】样本间隔为48÷18=6，则抽到的号码为5+6（k﹣1）=6k﹣1，当k=2时，号码为11，当k=3时，号码为17，当k=4时，号码为23，当k=5时，号码为29，故选：C．【题目点拨】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题．5、D【解题分析】表示做了次独立实验，每次试验成功概率为，则．选．6、B【解题分析】

证明与平面所成角为，再利用边的关系得到正弦值.【题目详解】如图所示：连接与交于点，连接，过点作与平面所成角等于与平面所成角正方体平面平面与平面所成角为设正方体边长为1在中故答案选B【题目点拨】本题考查了线面夹角，判断与平面所成角为是解得的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7、D【解题分析】对于命题1，取，，满足题意；对于命题2，取，，满足题意；对于命题3，取，，满足题意；即题中所给的三个命题均为真命题，真命题的个数是.本题选择D选项.8、C【解题分析】分析：根据方差的定义计算即可.详解：随机变量的分布列为，则则、故选D点睛：本题考查随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．9、B【解题分析】直线4kx﹣4y﹣k=0可化为k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（，0）∵抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，∴直线AB为过焦点的直线∴AB的中点到准线的距离∴弦AB的中点到直线x+=0的距离等于2+=.故选B．点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．10、C【解题分析】

根据命题真假列出不等式,解得结果.【题目详解】因为命题“存在，使”是假命题,所以,解得:,因为.故选:.【题目点拨】本题考查命题真假求参数,注意已知条件非零实数是正确解答本题的关键,考查学生分析求解能力,难度较易.11、B【解题分析】

直接利用补集与交集的运算法则求解即可．【题目详解】解：∵集合，，，由全集，．故选：B．【题目点拨】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础知识的考查．12、B【解题分析】取BC的中点E，则与向量共线，所以A、D、E三点共线，即中边上的中线与高线重合，则.因为，所以G为的重心，则所以本题选择B选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

两向量垂直，其数量积的等于0.【题目详解】【题目点拨】本题考查两向量垂直的数量积表示，属于基础题．14、36种【解题分析】先从名学生中任意选个人作为一组，方法种；再把这一组和其它个人分配到所大学，方法有种，再根据分步计数原理可得不同的录取方法种，故答案为种.故答案为15、【解题分析】

利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；【题目详解】抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x，由抛物线的定义可知13，解得p＝4，∴C的方程为y2＝8x；故答案为【题目点拨】本题考查抛物线的定义与方程，熟记定义是关键，属于基础题．16、【解题分析】

利用二倍角公式直接计算得到答案.【题目详解】.【题目点拨】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）．【解题分析】分析：（1）由题知，原点到直线的距离，求得，再由，求得，即可得到椭圆的标准方程；（2）设，由圆的方程和性质，又由椭圆的方程得，代入可得，求得，又由切线方程为，令得，令，利用二次函数的性质，即可求解得的范围，即可得到结论．详解：（1）由题知，原点到直线的距离又，则∴椭圆方程为………………4分（2）设，点到轴的距离为，∵圆M与y轴有两个交点，∴，即，∴，又，即，∴，∴，∴，……7分又，∴……8分切线方程为，令得令，则……………10分，则，在上为增函数∴∴切线与轴交点纵坐标的取值范围为……12分(转化为求的斜率范围得到更为简便)解法2：上面步骤相同又，∴……8分切线方程为，令得又即∴切线与轴交点纵坐标的取值范围为……12分点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．18、(1)；(2).【解题分析】试题分析：（1）由等差数列的定义和通项公式可得an；运用数列的递推式：当n=1时，b1=S1，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1，即可得到{bn}的通项公式；

（2）由（1）知cn=，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．试题解析：（1）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列，所以又当时，，所以，当时，…①…②由①-②得，即，所以是首项为1，公比为的等比数列，故.（2）由（1）知，则①②①-②得所以点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19、（1）；（2）【解题分析】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式可得，解出方程即可；（2）易得，即，即且，再根据列出不等式即可得结果.试题解析：（1）(当时，等号成立）∵的最小值为1，∴，∴或，又，∴.（2）由得，，∵，∴，即且且.20、(1)(2).【解题分析】分析：（1）化简复数即可；（2）设，则则复数对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，复数对应点，所以即可先求点到圆心的距离再减去半径即可.详解：（1）（2）设，因为，所以在复平面中，复数对应点，复数对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；因为AO=,所以的最大值为．点睛：与复数几何意义、模有关的解题技巧(1)只要把复数z＝a＋bi(a，b∈R)与向量对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质．21、（1）；（2）能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【解题分析】

（1）从题中所给的列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【题目详解】（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，所以男顾客对商场服务满意率估计为,50名女顾客对商场满意的有30人，所以女顾客对商场服务满意率估计为,（2）由列联表可知，所以能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【题目点拨】该题考查的是有关概率与统计的知识