初中二次函数知识点详解助记口诀

汇报人：XXX初中二次函数知识点详解助记口诀2024-01-28目录二次函数基本概念与性质二次函数解析式与求法二次函数图像变换规律二次函数与一元二次方程关系二次函数在实际问题中应用助记口诀及学习技巧分享01二次函数基本概念与性质Chapter形如$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函数称为二次函数。二次函数定义二次函数的图像是一条抛物线，当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。图像特征二次函数定义及图像特征由$a$的正负决定，$a>0$时开口向上，$a<0$时开口向下。开口方向对称轴顶点坐标二次函数的对称轴是$x=-frac{b}{2a}$。二次函数的顶点坐标是$left(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。030201开口方向、对称轴与顶点坐标当$Delta=0$时，抛物线与$x$轴有一个交点（即顶点在$x$轴上）。图像关系判别式定义：$Delta=b^2-4ac$。当$Delta>0$时，抛物线与$x$轴有两个交点。当$Delta<0$时，抛物线与$x$轴无交点。判别式Δ与函数图像关系010302040502二次函数解析式与求法Chapter已知三点坐标，可设一般式，通过解方程组求得a、b、c的值。已知x轴上的两点坐标，可设一般式y=a(x-x1)(x-x2)，再代入另一点坐标求a。已知顶点坐标和另一点坐标，可设顶点式y=a(x-h)²+k，通过代入点坐标求a。一般式y=ax²+bx+c求法已知抛物线上任意三点坐标，可设一般式，通过配方化为顶点式。若给出抛物线的对称轴方程和另一点坐标，可设顶点式，通过代入点坐标求a。已知顶点坐标和另一点坐标，直接设顶点式，通过代入点坐标求a。顶点式y=a(x-h)²+k求法已知抛物线与x轴的两个交点和另一点坐标，可设交点式，通过代入点坐标求a。若给出抛物线的对称轴方程和与x轴的一个交点坐标，可设交点式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2关于对称轴对称，再通过代入点坐标求a。若给出抛物线的顶点坐标和与x轴的一个交点坐标，可先设顶点式，再通过配方化为交点式。交点式y=a(x-x1)(x-x2)求法03二次函数图像变换规律Chapter左加右减常数项，上加下减常数项。横向平移左加右减，纵向平移上加下减。平移不改变形状和开口方向，只是位置发生变化。平移变换规律关于x轴对称，y变成-y，x不变。关于y轴对称，x变成-x，y不变。关于原点对称，x变成-x，y变成-y。对称变换规律自变量的系数变化。系数大于1是横向压缩；系数小于1是横向拉伸。函数值的系数变化。系数大于1是纵向拉伸；系数小于1是纵向压缩。横向伸缩纵向伸缩伸缩变换规律04二次函数与一元二次方程关系Chapter一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$）的根$x_1,x_2$与系数$a,b,c$的关系为：$x_1+x_2=-frac{b}{a},quadx_1timesx_2=frac{c}{a}$0102判别式$Delta=b^2-4ac$，当$Delta>0$时，方程有两个不相等的实根；当$Delta=0$时，方程有两个相等的实根；当$Delta<0$时，方程无实根。一元二次方程根与系数关系判别式$Delta$用于判断一元二次方程的根的情况，即方程是否有实根以及实根的个数。当$Delta=0$时，方程有两个相等的实根，说明二次函数图像与$x$轴有一个交点；当$Delta>0$时，方程有两个不相等的实根，说明二次函数图像与$x$轴有两个交点；当$Delta<0$时，方程无实根，说明二次函数图像与$x$轴无交点。判别式Δ在方程中意义利用二次函数的对称性，可以通过已知的一个解找到另一个解。若$(x_1,0)$是图像与$x$轴的一个交点，则由于对称性，$(2times(-frac{b}{2a})-x_1,0)$也是图像与$x$轴的一个交点，其中$-frac{b}{2a}$是二次函数的对称轴。通过观察二次函数的图像，可以直观地找到一元二次方程的解。当图像与$x$轴相交时，交点的横坐标即为方程的解。若图像与$x$轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若图像与$x$轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若图像与$x$轴无交点，则方程无实根。利用二次函数图像解一元二次方程05二次函数在实际问题中应用Chapter

利润最大化问题建模与求解确定变量与函数关系根据实际问题背景，确定自变量与因变量的关系，建立二次函数模型。利用顶点坐标求最值将二次函数化为顶点式，利用顶点坐标求取最大（或最小）利润。结合实际条件求解考虑实际问题的限制条件，如成本、售价等，求解符合实际的最大利润。根据几何图形的面积公式，建立与自变量有关的二次函数模型。建立面积函数模型通过配方将二次函数化为完全平方形式，利用平方项的非负性求取最大面积。利用配方法求最值考虑几何图形的实际意义，如边长、高等，求解符合实际的最大面积。结合几何意义求解面积最大化问题建模与求解将物体的运动轨迹抽象为二次函数图像，利用二次函数的性质求解相关问题。运动轨迹问题根据桥梁的力学原理和设计要求，建立与自变量有关的二次函数模型，求解最经济、最安全的桥梁设计方案。桥梁设计问题在管道流量控制等实际问题中，建立与自变量有关的二次函数模型，利用二次函数的单调性求解流量控制的最优方案。流量控制问题其他实际问题建模与求解06助记口诀及学习技巧分享Chapter01二次函数抛物线，平移伸缩变换全。020304对称轴和顶点找，开口方向和宽窄辨。顶点式与交点式，解析方法记心间。最大值和最小值，实际应用多体验。二次函数性质助记口诀一般式与顶点式，交点式可互转换。已知三点求解析，待定系数法最简。平移规律要记牢，左加右减常数项。伸缩变换