山西太原师范学院附中2024届高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

山西太原师范学院附中2024届高二数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在一个袋子中装有个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球个、白球个、黄球个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（）A． B． C． D．2．已知双曲线的一个焦点为,一条渐近线的斜率为,则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．3．空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标是A．(－10,2,8) B．(－10,2,－8) C．(5,2,－8) D．(－10,3,－8)4．若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15 B．16 C． D．5．独立性检验中，假设:运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下，计算得的观测值.下列结论正确的是A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关6．已知偶函数在单调递减，则不等式的解集为（）A． B． C． D．7．若是第四象限角，，则（）A． B． C． D．8．设S为复数集C的非空子集，若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题：①集合为整数，i为虚数单位）}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集.其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为A．－20 B．－15 C．15 D．2010．随机变量的分布列如右表，若，则（）012A． B． C． D．11．在的展开式中，含项的系数为（）A．45 B．55 C．120 D．16512．对任意复数，为虚数单位，则下列结论中正确的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．定积分的值为_____．14．已知，其中为实数，为虚数单位，则___________.15．已知满足约束条件则的最小值为______________.16．下列说法中错误的是__________（填序号）①命题“，有”的否定是“”，有”；②已知，，，则的最小值为；③设，命题“若，则”的否命题是真命题；④已知，，若命题为真命题，则的取值范围是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）甲乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关得分；若两人都过关或都未过关则两人均得0分.甲、乙过关的概率分别为和，在一轮闯关中，甲的得分记为.（1）求的分布列；（2）为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.表示“甲的累积得分为时，最终认为甲获胜”的概率，则，其中，，，令.证明：点的中点横坐标为；（3）在第（2）问的条件下求，并尝试解释游戏规则的公平性.18．（12分）已知四棱锥的底面为菱形，且，，，与相交于点.（1）求证：底面；（2）求直线与平面所成的角的值；（3）求平面与平面所成二面角的值.（用反三角函数表示）19．（12分）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，若，且，，，成等差数列．（1）求数列，的通项公式；（2）记，数列的前项和为，数列的前项和为，若对任意正整数，恒成立，求实数的取值范围．20．（12分）如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.（1）求该军舰艇的速度.（2）求的值.21．（12分）已知函数．（1）若，证明：；（2）若只有一个极值点，求的取值范围．22．（10分）已知函数.（1）时，求在点处的函数切线方程；（2）时，讨论函数的单调区间和极值点．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.详解：从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为，由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，下的颜色中有红有黄但没有白的概率为.故选：C.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用.2、C【解题分析】

根据双曲线一个焦点可以求出,再根据一条渐近线的斜率为,可求出的关系,最后联立,解方程求出,求出方程即可.【题目详解】因为双曲线一个焦点的坐标为,所以,一条渐近线的斜率为,所以有,而,所以,因此有.故选：C【题目点拨】本题考查了求双曲线方程,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.3、B【解题分析】

直接利用中点坐标公式求解即可.【题目详解】设点关于点的对称点的坐标是,根据中点坐标公式可得，解得，所以点关于点的对称点的坐标是(－10,2,－8)，故选B.【题目点拨】本题主要考查中点坐标公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.4、A【解题分析】

首先确定具有伙伴集合的元素有，“和”，“和”等四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【题目详解】根据伙伴关系集合的概念可知：－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和，2和这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.故选A.【题目点拨】本小题主要考查新定义概念的理解，考查集合子集的个数以及非空子集的个数，属于基础题.5、A【解题分析】

先找到的临界值，根据临界值表找到犯错误的概率，即对“运动员受伤与不做热身运动没有关系”可下结论。【题目详解】，因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关，故选：A。【题目点拨】本题考查独立性检验，根据临界值表找出犯错误的概率是解这类问题的关键，考查运算求解能力，属于基础题。6、B【解题分析】

因为函数是偶函数，所以，那么不等式转化为，利用单调性，解不等式.【题目详解】函数是偶函数，在单调递减，，即.故选B.【题目点拨】本题考查了偶函数利用单调性解抽象不等式，关键是利用公式转化不等式，利用的单调性解抽象不等式，考查了转化与化归的思想.7、C【解题分析】

确定角所处的象限，并求出的值，利用诱导公式求出的值．【题目详解】是第四象限角，则，，且，所以，是第四象限角，则，因此，，故选C．【题目点拨】本题考查三角求值，考查同角三角函数基本关系、诱导公式的应用，再利用同角三角函数基本关系求值时，要确定对象角的象限，于此确定所求角的三角函数值符号，结合相关公式求解，考查计算能力，属于中等题．8、B【解题分析】

由题意直接验证①的正误；令x＝y可推出②是正确的；举反例集合S＝{0}判断③错误；S＝{0}，T＝{0，1}，推出﹣1不属于T，判断④错误．【题目详解】解：由a，b，c，d为整数，可得（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i∈S；（a+bi）﹣（c+di）＝（a﹣c）+（b﹣d）i∈S；（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（bc+ad）i∈S；集合S＝{a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集，①正确；当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确；对于集合S＝{0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误；取S＝{0}，T＝{0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0﹣1＝﹣1不属于T，故T不是封闭集，④错误．故正确的命题是①②，故选B．【题目点拨】本题是新定义题，考查对封闭集概念的深刻理解，对逻辑思维能力的要求较高.9、C【解题分析】

利用二项式系数之和为64解得，再利用二项式定理得到常数项.【题目详解】二项式的展开式中二项式系数之和为64当时，系数为15故答案选C【题目点拨】本题考查了二项式定理，先计算出是解题的关键，意在考查学生的计算能力.10、B【解题分析】分析：根据题目条件中给出的分布列，可以知道和之间的关系，根据期望为，又可以得到一组关系，这样得到方程组，解方程组得到的值.进而求得.详解：根据题意，解得则故选B.点睛：本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，属基础题.11、D【解题分析】分析：由题意可得展开式中含项的系数为，再利用二项式系数的性质化为，从而得到答案．详解：的展开式中含项的系数为故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．12、B【解题分析】分析：由题可知，然后根据复数的运算性质及基本概念逐一核对四个选项得到正确答案.详解：已知则选项A，，错误.选项B，，正确.选项C，，错误.选项D，，不恒成立，错误.故选B.点睛：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】14、【解题分析】

将左边的复数利用乘法法则表示为一般形式，然后利用复数相等，得出虚部相等，求出的值．【题目详解】，所以，故答案为．【题目点拨】本题考查复数相等条件的应用，在处理复数相等时，将其转化为“实部与实部相等，虚部与虚部相等”这一条件，考查对复数概念的理解，属于基础题．15、8【解题分析】

由题意画出可行域，利用图像求出最优解，再将最优解的坐标代入目标函数即可求出的最小值.【题目详解】由题意画出约束条件的可行域如图所示，由图像知，当过点时，取得最小值，联立，解得，代入目标函数，.故答案为：8【题目点拨】本题主要考查简单的线性规划问题，考查学生数形结合的思想，属于基础题.16、①④【解题分析】①命题“，有”的否定是“∀x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤0”，故不正确；②已知a＞0，b＞0，a+b=1，则=（）（a+b）=5+≥5+2即的最小值为，正确；③设x，y∈R，命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题是“若xy≠0，则x2+y2≠0”，是真命题，正确；④已知p：x2+2x﹣3＞0，q：＞1，若命题（￢q）∧p为真命题，则￢q与p为真命题，即，则x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞），故不正确．故答案为①④．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）分布列见解析；（2）见解析；（3），试解释游戏规则的公平性见解析【解题分析】

（1）由题意得：，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列.（2）由题意得，，，推导出，根据中点公式能证明点的中点横坐标为；（3）由，求出，从而，，由此推导出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的.【题目详解】（1），，，的分布列为：01（2）由题意得：，，.于是，有，整理可得：，根据中点公式有：，命题得证.（3）由（2）可知，于是又，所以，，.表示最终认为甲获胜概率，由计算结果可以看出，在甲过关的概率为0.5，乙过关的概率为0.6时，认为甲获胜的概率为，此时得出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的.【题目点拨】本题考查了离散型随机变量的分布列，用概率说明游戏的公平性，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.18、（1）见解析；（2）；（3）【解题分析】

（1）由已知中四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，PB＝PD＝AB＝2，PA＝PC，AC与BD相交于点O，根据平行四边形两条对角线互相平分及等腰三角形三线合一，结合线面垂直的判定定理，我们易得到结论；

（2）以O为坐标原点，建立坐标系，分别求出各顶点坐标，进而求出直线

PB的方向向量与平面PCD的法向量，代入线面夹角的向量法公式，即可求出答案；（3）求出平面的法向量，代入面面夹角的向量法公式，即可求出答案.【题目详解】（1）证明：因为ABCD为菱形，

所以O为AC，BD的中点

因为PB＝PD，PA＝PC，

所以PO⊥BD，PO⊥AC

所以PO⊥底面ABCD；

（2）解：因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

建立如图所示空间直角坐标系

又∠ABC＝60°，PA＝AB＝2

得，

所以则，

设平面PCD的法向量

有，所以，令

得，

，

直线与平面所成的角的值为；（3）设平面的法向量,因为

有，所以，令

得，，

由图知，平面与平面所成二面角为钝角，.【题目点拨】本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中选择合适的点及坐标轴方向，建立空间坐标系，将问题转化为一个向量问题是解答此类问题的关键.19、（1），（2）【解题分析】

（1）分别根据，和成等差数列，分别表示为和的方程组，求出首项，即得通项公式；（2）根据（1）的结果可求得，并且求出,利用裂项相消法求和，转化为，恒成立，转化为求数列的最值.【题目详解】解：（1）因为，，成等差数列，所以①，又因为，，成等差数列，所以，得②，由①②得，．所以，.（2），...令，则，则，所以，当时，，当时，所以的最小值为.又恒成立，所以，．【题目点拨】本题考查了数列通项的求法，和求数列的前项和的方法，以及和函数结合考查数列的最值，尤其在考查数列最值时，需先判断函数的单调性，判断的正负，根据单调性求函数的最值.20、（1）14海里/小时；（2）.【解题分析】分析：（1）由题设可以得到的长，在中利用余弦定理可以得到的长，从而得到舰艇的速度；（2）在中利用正弦定理可得的值.详解：(1)依题意知，，，在中，由余弦定理得，解得，所以该军舰艇的速度为海里/小时．(2)在中，由正弦定理，得，即．点睛：与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.21、（1）详见解析；（2）.【解题分析】

（1）将代入，可得等价于，即，令，求出，可得的最小值，可得证；（2）分，三种情况讨论，分别对求导，其中又分①若②③三种情况，利用