2024届贵州省北师大贵阳附中数学高二下期末统考模拟试题含解析

2024届贵州省北师大贵阳附中数学高二下期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（）A． B． C． D．2．已知复数z满足1-z=2-i2，则A．4 B．4i C．-2 D．-2i3．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为A．18 B．24 C．28 D．364．已知函数，的图象过点，且在上单调，的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，若存在两个不相等的实数，满足，则（）A． B． C． D．5．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A． B． C． D．6．等比数列的前n项和为，已知，则A． B． C． D．7．曲线在处的切线与直线垂直，则（）A．-2 B．2 C．-1 D．18．已知为坐标原点，，是双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．9．在中，，若，则A． B． C． D．10．已知，则（）A． B． C． D．或11．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A．56 B．72 C．64 D．8412．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若变量，满足约束条件则的最大值为______．14．6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有________种（用数字表示）15．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个.（用数字作答）16．已知函数，则函数的值域为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知分别为内角的对边，且．（1）求角A；（2）若，求的面积．18．（12分）已知函数，．(Ⅰ)当时，证明：；(Ⅱ)的图象与的图象是否存在公切线（公切线：同时与两条曲线相切的直线）？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论．19．（12分）（1）求关于的不等式的解集；（2）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．20．（12分）在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.（1）若，求线段中点的坐标；（2）若，其中，求直线的斜率.21．（12分）将前12个正整数构成的集合中的元素分成四个三元子集，使得每个三元子集中的三数都满足：其中一数等于另外两数之和，试求不同的分法种数．22．（10分）在中，角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.【题目详解】构造函数，对任意实数，都有，则，所以，函数为偶函数，.当时，，则函数在上单调递减，由偶函数的性质得出函数在上单调递增，，即，即，则有，由于函数在上单调递增，，即，解得，因此，实数的最小值为，故选A.【题目点拨】本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.2、A【解题分析】分析：移项，化简整理即可.详解：z=1-2-i∴z的虚部为4.故选：A.点睛：复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．3、D【解题分析】分析：按甲乙两人所派地区的人数分类，再对其他人派遣。详解：类型1：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙两人则有，另外3人派往2个地区，共有18种。类型2：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙丙三人则有，另外2人派往2个地区，共有18种。综上一共有36种，故选D点睛：有限制条件的分派问题，从有限制条件的入手，一般采用分步计数原理和分类计数原理，先分类后分步。4、A【解题分析】

由图像过点可得，由的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，可知，结合在上单调，从而得到，由此得到的解析式，结合图像，即可得到答案。【题目详解】因为的图象过点，则，又，所以.一方面，的图象向左平移单位后得到的图象与原函数图象重合，则，即，化简可知．另一方面，因为在上单调，所以，即，化简可知.综合两方面可知．则函数的解析式为，结合函数图形，因为，当时，，结合图象可知则，故选A．【题目点拨】本题主要考查正弦函数解析式的求法，以及函数图像的应用，考查学生的转化能力，属于中档题。5、B【解题分析】

分析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．6、A【解题分析】设公比为q,则，选A.7、B【解题分析】分析：先求导，然后根据切线斜率的求法得出切线斜率表达式，再结合斜率垂直关系列等式求解即可.详解：由题可知：切线的斜率为：由切线与直线垂直，故，故选B.点睛：考查切线斜率的求法，直线垂直关系的应用，正确求导是解题关键，注意此题导数求解时是复合函数求导，属于中档题.8、D【解题分析】设P为双曲线右支上一点,=m,=n,|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得m−n=2a，点P满足,可得m2+n2=4c2，即有(m−n)2+2mn=4c2，又mn=2a2，可得4a2+4a2=4c2，即有c=a，则离心率e=故选：D.9、A【解题分析】

根据平面向量的线性运算法则，用、表示出即可.【题目详解】即：本题正确选项：【题目点拨】本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算，属于基础题.10、B【解题分析】分析：根据角的范围利用同角三角函数的基本关系求出cos（α）的值，再根据sinα=sin[（α）+]，利用两角差的正弦公式计算求得结果．详解：∵，，∴∈（，π），∴cos（）=﹣，或（舍）∴sinα=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin=-=，故选B．点睛：本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，解题关键根据角的取值范围对cos（）的值进行取舍，属于中档题．11、D【解题分析】分析：每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色和A、C同色两大类.详解：分两种情况：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有4×3×2×2=48种；（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色）：有4×3×1×3=36种．共有84种，故答案为：D.点睛：(1)本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.12、B【解题分析】令,,所以函数是减函数，又，所以不等式的解集为本题选择B选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、9.【解题分析】分析：画出可行域，然后结合目标函数求最值即可.详解：作出如图所示可行域：可知当目标函数经过点A（2,3）时取得最大值，故最大值为9.点睛：考查简单的线性规划的最值问题，准确画出图形，画出可行域确定最优解是解题关键，属于基础题.14、240【解题分析】

利用捆绑法可得排法总数.【题目详解】解：6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻，用捆绑法可得排法数有种.故答案为：240.【题目点拨】本题考查捆绑法解决排列问题，是基础题.15、1【解题分析】

题目要求得到能被5整除的数字，注意0和5的排列，分三种情况进行讨论，四位数中包含5和0的情况，四位数中包含5，不含0的情况，四位数中包含0，不含5的情况，根据分步计数原理得到结果．【题目详解】解：①四位数中包含5和0的情况：．②四位数中包含5，不含0的情况：．③四位数中包含0，不含5的情况：．四位数总数为．故答案为：1．【题目点拨】本题是一个典型的排列问题，数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏，属于中档题.16、【解题分析】

化为，时，，时，，从而可得结果.【题目详解】,当时，，当时，，函数，则函数的值域为,故答案为.【题目点拨】本题考查函数的值域，属于中档题.求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2).【解题分析】

由正弦定理可得，结合，可求，结合范围，可求．由已知利用余弦定理可得，解得c的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【题目详解】解：．由正弦定理可得：，，，即，，，，，由余弦定理，可得：，可得：，解得：，负值舍去，【题目点拨】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2条，证明见解析【解题分析】

（Ⅰ）当x＞0时，设h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，设l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，分别求得导数和单调性、最值，即可得证；（Ⅱ）先确定曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数，设出切点坐标并求出两个函数导数，根据导数的几何意义列出方程组，先化简方程得lnm﹣1．分别作出y＝lnx﹣1和y的函数图象，通过图象的交点个数来判断方程的解的个数，即可得到所求结论．【题目详解】（Ⅰ）当x＞0时，设h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，h′（x）1，当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）递减；0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增；可得h（x）在x＝1处取得最大值﹣1，可得h（x）≤﹣1＜0；设l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，l′（x）＝ex﹣1，当x＞0时，l′（x）＞0，l（x）递增；可得l（x）＞l（0）＝1＞0，综上可得当x＞0时，g（x）＜x＜f（x）；（Ⅱ）曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与g（x）＝lnx，f（x）＝ex的切点分别为（m，lnm），（n，en），m≠n，∵g′（x），f′（x）＝ex，可得，化简得（m﹣1）lnm＝m+1，当m＝1时，（m﹣1）lnm＝m+1不成立；当m≠1时，（m﹣1）lnm＝m+1化为lnm，由lnx1，即lnx﹣1．分别作出y＝lnx﹣1和y的函数图象，由图象可知：y＝lnx﹣1和y的函数图象有两个交点，可得方程lnm有两个实根，则曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2条．【题目点拨】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程与构造函数法和数形结合思想，考查化简运算能力，属于较难题．19、（1）；（2）【解题分析】分析：（1）分类讨论，转化为三个不等式组，即可求解不等式的解集；（2）由题意，令，则不等式恒成立，即为，分类讨论即可求解实数的取值范围．详解：（1）原不等式化为：①或②或③．解得或或．∴原不等式的解集为（2）令，则只须即可．①当时，（时取等）；②当时，（时取等）．∴．点睛：本题主要考查了绝对值不等式的求解及其应用，其中合理分类讨论，转化为等价不等式组