2024届云南省澄江县第二中学数学高二下期末综合测试试题含解析

2024届云南省澄江县第二中学数学高二下期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．2．复数（）A． B． C． D．3．若集合，，若，则的值为（）A． B． C．或 D．或4．若复数满足，则复数的虚部为.A．-2 B．-1 C．1 D．2.5．若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为（）A． B． C． D．6．下列命题正确的是（）A．第一象限角是锐角 B．钝角是第二象限角C．终边相同的角一定相等 D．不相等的角，它们终边必不相同7．已知集合，若，则＝()A．或 B．或 C．或 D．或或8．曲线的图像（）A．关于轴对称B．关于原点对称,但不关于直线对称C．关于轴对称D．关于直线对称，关于直线对称9．现有小麦、大豆、玉米、高粱种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有（）A．36种 B．48种 C．24种 D．30种10．已知，，则等于（）A． B． C． D．111．已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是（）A． B．C． D．12．命题“”的否定是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线的一个法向量，则直线的倾斜角是_________（结果用反三角函数表示）；14．求函数的单调增区间是__________．15．已知为数列的前项和，若且，设，则的值是__________．16．在等比数列中，已知，且与的等差中项为，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得线段的长．18．（12分）甲、乙两种不同规格的产品，其质量按测试指标分数进行划分，其中分数不小于82分的为合格品，否则为次品.现随机抽取两种产品各100件进行检测，其结果如下：测试指标分数甲产品81240328乙产品71840296(1)根据以上数据，完成下面的列联表，并判断是否有的有把握认为两种产品的质量有明显差异？甲产品乙产品合计合格品次品合计(2)已知生产1件甲产品，若为合格品，则可盈利40元，若为次品，则亏损5元；生产1件乙产品，若为合格品，则可盈利50元，若为次品，则亏损10元.记为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望（将产品的合格率作为抽检一件这种产品为合格品的概率）.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.7022.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(2b﹣c)cosA＝acosC．（1）求角A；（2）若，b+c＝5，求△ABC的面积．20．（12分）已知数列的前项和为，且满足（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明；（2）令，求数列的前项和．21．（12分）已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）已知在定义域上为减函数，若对任意的，不等式为常数）恒成立,求的取值范围.22．（10分）设为实数，函数，（Ⅰ）若求的极小值.（Ⅱ）求证：当且时，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】令,则，设，令，，则，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即．应选答案D。点睛：解答本题时充分运用等价转化与化归的数学思想，先将函数解析式中的参数分离出来，得到，然后构造函数，分别研究函数，的单调性，从而确定函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点等价于，即．使得问题获解。2、C【解题分析】分析：直接利用复数的除法运算得解.详解：由题得，故答案为：C.点睛：本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本运算能力.3、A【解题分析】

先解出集合，由，得出，于此可得知实数的值.【题目详解】解方程，即，得，由于，，则，，，，故选：A.【题目点拨】本题考查集合间的包含关系，利用包含关系求参数的值，解本题的关键就是将集合表示出来，考查计算能力，属于基础题。4、D【解题分析】

根据复数除法的运算法则去计算即可.【题目详解】因为，所以，虚部是，故选D.【题目点拨】本题考查复数的除法运算以及复数实部、虚部判断，难度较易.复数除法运算时，注意利用平方差公式的形式将分母实数化去计算5、B【解题分析】∵，且与垂直，∴，即，∴，∴，∴与的夹角为．故选．6、B【解题分析】

由任意角和象限角的定义易知只有B选项是正确的.【题目详解】由任意角和象限角的定义易知锐角是第一象限角，但第一象限角不都是锐角，故A不对，∵终边相同的角相差2kπ，k∈Z，故C，D不对∴只有B选项是正确的．故选B7、C【解题分析】或．故选C．点睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素元素的限制条件，明确集合的类型，是数集，是点集还是其它集合．2、求集合的交、交、补时，一般先化简，再由交、并、补的定义求解．3、在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．8、D【解题分析】

构造二元函数，分别考虑与、、、、的关系，即可判断出相应的对称情况.【题目详解】A．，所以不关于轴对称；B．，，所以关于原点对称，也关于直线对称；C．，所以不关于轴对称；D．，所以关于直线对称，同时也关于直线对称.故选：D.【题目点拨】本题考查曲线与方程的综合应用，难度一般.若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于原点对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变.9、B【解题分析】

需要先给右边的一块地种植，有种结果，再给中间上面的一块地种植，有种结果，再给中间下面的一块地种植，有种结果，最后给左边的一块地种植，有种结果，相乘即可得到结果【题目详解】由题意可知，本题是一个分步计数的问题先给右边的一块地种植，有种结果再给中间上面的一块地种植，有种结果再给中间下面的一块地种植，有种结果最后给左边的一块地种植，有种结果根据分步计数原理可知共有种结果故选【题目点拨】本题主要考查的知识点是分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏。10、A【解题分析】

根据和角的范围可求出=—，再根据两角和与差的正弦求出的值，进而求出，代入求出结果即可.【题目详解】因为，，=—，所以==，所以，所以=.故选A.【题目点拨】本题考查三角函数给值求角，两角和与差的正弦，诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.11、D【解题分析】

根据函数的最值求得，根据函数的周期求得，根据函数图像上一点的坐标求得，由此求得函数的解析式.【题目详解】由题图可知，且即，所以，将点的坐标代入函数，得，即，因为，所以，所以函数的表达式为．故选D.【题目点拨】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.12、A【解题分析】

根据全称命题的否定形式书写.【题目详解】根据全称命题的否定形式可知“”的否定是“”.故选A.【题目点拨】本题考查全称命题的否定形式，属于简单题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由法向量与方向向量垂直，求出方向向量，得直线的斜率，从而得倾斜角。【题目详解】直线的一个法向量，则直线的一个方向向量为，其斜率为，∴倾斜角为。故答案为：。【题目点拨】本题考查求直线的倾斜角，由方向向量与法向量的垂直关系可求得直线斜率，从而求得倾斜角，注意倾斜角范围是，而反正切函数值域是。14、或【解题分析】

求的导函数，利用，可得函数的单调递增区间．【题目详解】解：由，得令，可得故函数的单调递增区间是故答案为或.【题目点拨】本题考查导数知识的运用，函数求导，考查函数的单调性，属于基础题．15、【解题分析】

根据是等比数列得出，利用数列项与和的关系，求得，从而得出，利用裂项相消法求出答案.【题目详解】由可知，数列是首项为，公比为2的等比数列，所以.时，..时,.【题目点拨】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列通项公式，数列项与和的关系，裂项相消法求和，属于简单题目.16、31【解题分析】

根据，求出，又与的等差中项为，得到，所以可以求出，，即可求出【题目详解】依题意，数列是等比数列，，即，所以，又与的等差中项为，所以，即，所以，所以，所以，故答案为：31【题目点拨】本题考查等比中项、等比数列的通项公式以及求和公式，需熟记公式。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；.(2).【解题分析】分析：（1）直线的参数方程为：（为参数），消去参数t即可；曲线的极坐标方程为：，利用互化公式即可；（2）几何法求弦长即可.详解：（1）直线的普通方程为，曲线的普通方程为;（2）曲线表示以为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离，故直线被曲线截得的线段长为．点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．18、（1）没有（2）的分布列见解析，【解题分析】试题分析：(1)由题意完成列联表，然后计算可得，则没有的有把握认为两种产品的质量有明显差异(2)X可能取值为90,45,30,-15,据此依据概率求得分布列，结合分布列可求得数学期望.试题解析：(1)列联表如下：甲产品乙产品合计合格品8075155次品202545合计100100200∴没有的有把握认为两种产品的质量有明显差异(2)依题意，生产一件甲，乙产品为合格品的概率分别为，随机变量可能取值为90,45,30,-15,904530-15的分布列为：∴19、(1)A．(2)．【解题分析】

（1）利用正弦定理完成边化角，再根据在三角形中有，完成化简并计算出的值；（2）利用的值以及余弦定理求解出的值，再由面积公式即可求解出△ABC的面积.【题目详解】（1）在三角形ABC中，∵(2b﹣c)cosA＝acosC，由正弦定理得：(2sinB﹣sinC)cosA＝sinAcosC，化为：2sinBcosA＝sinCcosA+sinAcosC＝sin(A+C)＝sinB，sinB≠0，解得cosA，，∴A．（2）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∵a，b+c＝5，∴13＝(b+c)2﹣3cb＝52﹣3bc，化为bc＝4，所以三角形ABC的面积SbcsinA4．【题目点拨】本题考查解三角形的综合运用，难度一般.（1）解三角形的问题中，求解角的大小时，要注意正、余弦定理的选择，同时注意使用正弦定理时要注意是否满足齐次的情况；（2）注意解三角形时的隐含条件的使用.20、（1），，，猜想，见解析；（2）【解题分析】

（1）分别计算，，，猜想得，然后依据数学归纳法的证明步骤，可得结果.（2）根据（1）得，然后利用裂项相消法，可得结果.【题目详解】（1）当时，，解得当时，，即，得当时，，即，得猜想，下面用数学归纳法证明：当时，，猜想成立假设当时，猜想成立，即，，则当时，，∴，，所以猜想成立综上所述，对于任意，均成立．（2）由（1）得所以则【题目点拨】本题考查数学归纳法证明方法以及裂项相消法求和，熟练掌握数学归纳法的步骤，同时对常用的求和方法要熟悉，属基础题.21、解：（1）因为是奇函数，所以=0，即………3（2）由（1）知，………5设，则.因为函数y=2在R上是增函数且，∴>0.又>0，∴>0，即，∴在上为减函数.另法：或证明f′(x)0………9（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，………3因为为减函数，由上式推得．即对一切有，从而判别式………13【解题分析】定义域为R的奇函数，得b=1，在代入1，-1，函数值相反得a;,通常用函数的单调性转化为自变量的大小关系．（1）是奇函数，，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分即┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分（2）由（1）知由上式易知在R上为减函数．┈┈┈┈┈┈┈┈┈