2024届四川省甘孜市数学高二第二学期期末经典模拟试题含解析

2024届四川省甘孜市数学高二第二学期期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝sin(x＋φ)}，则A∩B中元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．62．抛物线和直线所围成的封闭图形的面积是（）A． B． C． D．3．函数的图象在处的切线方程为（）A． B． C． D．4．函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．5．设等差数列的前项和为，且，，则的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．46．设实数a=log23，b=A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a7．若直线：(为参数)经过坐标原点，则直线的斜率是A． B．C．1 D．28．已知函数，若关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．9．已知下列说法：①对于线性回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位；②甲、乙两个模型的分别为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好；③对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大；④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1．其中说法错误的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知点P是椭圆上的动点,当点P到直线x-2y+10=0的距离最小时,点P的坐标是（）A． B． C． D．11．若，，如果与为共线向量，则（）A．， B．，C．， D．，12．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若实数，满足约束条件，则的最大值是_____．14．若复数，，（为虚数单位）则实数__________．15．已知，，则___________．16．若两个正实数满足，则的最小值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，正方形的边长为2，点，分别为，的中点，将，分别沿，折起，使，两点重合于点，连接.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求与平面所成角的余弦值.18．（12分）已知函数（1）当为何值时，轴为曲线的切线;（2）若存在（是自然对数的底数），使不等式成立，求实数的取值范围.19．（12分）设复数，复数．（Ⅰ）若，求实数的值.（Ⅱ）若，求实数的值.20．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，21．（12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明：．22．（10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

利用定义域的的要求可以求出A集合，利用三角函数的性质求出B集合，再计算A与B的交集的元素个数即可.【题目详解】集合A满足－＋x＋6≥0，(x－3)(x＋2)≤0，－2≤x≤3，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3}，B＝[－，]，所以A∩B＝{－2，－1，0，1，2}，可知A∩B中元素个数为5.【题目点拨】本题考查集合间的交集关系的求解，本题难点在于无理数与有理数的比大小，属于简单题.2、C【解题分析】

先计算抛物线和直线的交点，再用定积分计算面积.【题目详解】所围成的封闭图形的面积是：故答案为C【题目点拨】本题考查了定积分的应用，意在考查学生应用能力和计算能力.3、A【解题分析】

先求出切点的坐标和切线的斜率，再写出切线的方程.【题目详解】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）,由题得，所以切线方程为y+2=-1·(x-1),即：故选：A【题目点拨】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4、B【解题分析】

由函数存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，画出与的大致图象，根据使得函数与函数只有唯一一个交点，得到，即可求解.【题目详解】由题意，函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，因为，所以函数与函数唯一交点为，又因为，且，所以，即函数在上单调递减函数，又因为是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，所以可得与函数的大致图象，如图所示，所以要使得函数与函数只有唯一一个焦点，则，因为，则，，所以，解得，又因为，所以实数的范围为，故选B.【题目点拨】本题主要考查了函数的零点问题，函数的单调性的应用，以及导数的应用，其中解答中把唯一零点转化为两个函数的交点问题，结合图象进行分析研究是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.5、B【解题分析】

根据题意，设等差数列的公差为，由条件得，由此可得的值，即可得答案．【题目详解】根据题意，设等差数列的公差为，由题意得，即，解得．故选B．【题目点拨】本题考查等差数列的前项和，关键是掌握等差数列的前项和公式的形式特点，属于基础题．6、A【解题分析】分析：利用指数函数、对数函数的单调性及中间量比较大小.详解：∵a=log23＞log22=1，0＜b=1312＜（1c=log132∴a＞b＞c．故选A．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．7、D【解题分析】

先由参数方程消去参数，再由直线过原点，即可得出结果.【题目详解】直线方程消去参数,得：，经过原点，代入直线方程，解得：，所以，直线方程为：，斜率为2.故选D【题目点拨】本题主要考查直线的参数方程，熟记参数方程与普通方程的互化即可，属于基础题型.8、B【解题分析】分析：将方程恰有两个不同的实根，转化为方程恰有两个不同的实根，在转化为一个函数的图象与一条折线的位置关系，即可得到答案.详解：方程恰有两个不同的实根，转化为方程恰有两个不同的实根，令，，其中表示过斜率为1或的平行折线，结合图象，可知其中折线与曲线恰有一个公共点时，，若关于的方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查了方程根的存在性及根的个数的判断问题，其中把方程的实根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，作出函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问题的能力.9、B【解题分析】

根据回归分析、独立性检验相关结论来对题中几个命题的真假进行判断。【题目详解】对于命题①，对于回归直线，变量增加一个单位时，平均减少个单位，命题①错误；对于命题②，相关指数越大，拟合效果越好，则模型甲的拟合效果更好，命题②正确；对于命题③，对分类变量与，随机变量的观测值越大，根据临界值表，则犯错误的概率就越小，则判断“与有关系”的把握程度越高，命题③正确；对于命题④，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系的绝对值越接近于，命题④错误.故选：B.【题目点拨】本题考查回归分析、独立性检验相关概念的理解，意在考查学生对这些基础知识的理解和掌握情况，属于基础题。10、C【解题分析】分析：设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为，与椭圆方程联立，利用，解得，即可得出结论.详解：设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为，联立，化为，，解得，取时，，解得，，.故选：C.点睛：本题考查了直线与椭圆的相切与一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11、B【解题分析】

利用向量共线的充要条件即可求出．【题目详解】解：与为共线向量，存在实数使得，，解得．故选：．【题目点拨】本题考查空间向量共线定理的应用，属于基础题.12、D【解题分析】分析：首先根据题意，求得函数在相应的区间上的解析式，之后在同一个坐标系内画出函数的图像，之后将函数的零点问题转化为对应曲线交点的个数问题，结合图形，得到结果.详解：当时，，，在同一坐标系内画出的图像，动直线过定点，当再过时，斜率，由图象可知当时，两图象有两个不同的交点，从而有两个不同的零点，故选D.点睛：该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定函数的解析式，之后在同一个坐标系内画出相应的曲线，将函数的零点个数转化为曲线的交点个数来解决，非常直观，在做题的时候，需要把握动直线中的定因素.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解题分析】

画出可行域，将基准直线向下平移到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.【题目详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【题目点拨】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最大值的方法，属于基础题.14、【解题分析】

由题得，解方程即得解.【题目详解】由题得,所以.故答案为【题目点拨】本题主要考查复数模的性质和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、【解题分析】

利用求的值.【题目详解】．故答案为：5【题目点拨】本题主要考查差角的正切公式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.16、8【解题分析】试题分析：由（当且仅当即时等号成立）.考点：基本不等式.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）由已知易证平面，可得，又由可得证；（Ⅱ）法一：在内过点作于点，可证为所求线面角；法二：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，用空间向量方法求解.【题目详解】解：（Ⅰ）∵，，∴平面，又平面，∴.由已知可得，∴平面.（Ⅱ）法一：在内过点作于点.由（Ⅰ）知平面平面，平面平面，则即为与平面所成角.设与交于点，连接，则，.又平面，平面，，在，，.∴，即与平面所成角的余弦值.法二：以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.则，，，，设，则，解得，于是.又平面的一个法向量为，故.因此，与平面所成角的余弦值.【题目点拨】本题考查了线面垂直的证明和线面角的求法，考查了直观想象能力和数学计算能力，属于中档题.18、（1）（2）【解题分析】

（1）设曲线与轴相切于点，利用导数的几何意义，列出方程组，即可求解；（2）把不等式成立，转化为，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【题目详解】（1）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得，即当时，轴为曲线的切线．（2）由题意知，即，设，则，当时，，此时单调递减;当时，，此时单调递增.存在，使成立，等价于，即，又，，故，所以.【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．19、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解题分析】

（Ⅰ）先由复数的加法法则得出，再利用复数的乘方得出，并表示为一般形式，由虚部为零求出实数的值；（Ⅱ）解法1：利用复数的除法法则求出，并表示为一般形式，利用复数相等列方程组，求出实数与的值；解法2：由变形为，利用复数的乘法将等式左边复数表示为一般形式，再利用复数相等列方程组求出实数与的值．【题目详解】（Ⅰ）===因为，所以，，；（Ⅱ）解法1：，所以，因此，；解法2：，则，所以．【题目点拨】本题考查复数相等求未知数，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部和虚部，再由复数列方程组求解即可，考查计算能力，属于基础题．20、（1）第二种生产方式的效率更高.理由见解析（2）80（3）能【解题分析】

分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果．详解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知.列联表如下：超过不超过第一种生产方式155第二种生产方式515（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．21、（1）见解析；（2）；（3）见解析【解题分析】分析：（1）求出的导函数，由得增区间，由得减区间，注意在解不等式时要按的值分类讨论；（2）由（1）的结论知当时，，题中不等式成立，而当时，题中不等式不恒成立；（3）时，由（2）知上有，从而，令，然后所有不等式相加可证．详解：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，y′＝－＝，当a≥1时，y′≥0，所以函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数；当0<a<1时，由y′>0得x>2，所以函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递增函数，函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递减函数；(2)当a≥1时，函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数．所以f(x