新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修二练习：模块素养检测（一）

模块素养检测(一)

(120分钟150分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出

的四个选项中，只有一项符合题目要求的)

1.函数f(x)=3x2+Inx-2x的极值点的个数是()

A.0B.1C.2D.无数个

i6x2-2x+1

选A.函数f(x)的定义域为(0,+oo)且f(x)=6x+--2=---------------.

XX

因为x>0,g(x)=6x2_2x+1中A=(_2)2_4x6x1=-20<0,

所以g(x)>0恒成立，故f(x)>0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，

无极值点.

2.｛加｝是首项为1,公差为3的等差数列，若加=2020,则序号n

等于()

A.667B.668C.669D.674

选D.由题意可得，an=ai+(n-l)d

=1+3(n-l)=3n-2,

所以2020=3n-2,所以n=674.

3•已知f(x)=ax3+3x?+2，若广(-1)=4,则a的值为()

选B.因为f(x)=ax3*5+3x2+2,

所以f'(x)=3ax2+6x,

又「(-1)=3a-6=4,所以a=y.

4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五

人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何？”其意思为：“已

知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三

人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各

得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，甲所得为

()

54

A.a钱B.g钱

3s

C.1钱D.§钱

选B.依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a

+d,a+2d,

则由题意可知，a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,

BPa=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,

所以a=1,则a-2d=a-2x]-*=|a=1.

5.记递增等比数列⑶｝的公比为q,前n项和为Sm若S2=8,S4=80,

则()

A.ai=4B.ai=2

C.q=2D.q=4

a3+

选B.依题意，得ai+a2=8,as+a4=S4-S2=72,所以q2==

ai+a2

9,解得q=3或q=-3.

又因为数列｛an｝是递增数列，所以q=3,所以a.=2.

6.若x=1是函数f(x)=ax2+lnx的一个极值点，则当xG1,e时,

f(x)的最小值为()

e21

一

A.1-727B.-e+e

C・-2^2一1D.e2-1

选A.由题意得F(l)=0,因为f(x)=2ax+1,所以f⑴=2a+1=0,

1

以

所a2-

11-X2

所以f(x)=-x+-=——.

AA

所以当xe1,i时，f(x)>o,

当x£［l,e］时,f(x)<0,

所以f(x)min=min,f(e)|=Je?+1,故选A.

7.设f(x)=xInx,若？(xo)=2,贝！］xo等于()

In2

A.e2B.In2C.D.e

选D.因为f(x)=x(lnx)'+(x)z-lnx

=1+Inx,所以f(xo)=1+Inxo=2,

所以Inxo=1,所以x0=e.

xInx,x>l,

8.已知正项等比数列⑶｝满足a5-a6-a7=1,且f(x)=Iinx若

---,0<x<l.

Ix

f(ai)+f(az)+…+f(aio)=ai,则ai的值为()

A.y/eB.eC.2eD.1+e

选B.由题知正项等比数列｛an｝满足as-36-37=1,则a6=1,所以ai-aio

=a3-a9=皿包=a5-a7=1,当x>l时，f(x)+fQ]=xlnx+-p=0,

x

当x=1时，f(l)=0所以f(ai)+f(a2)+...+f(aio)=f(ai)+[f(a2)+f(aio)]

+[f(a3)+f(a9)]+[f(a4)+f(a8)]+[f(a5)+f(a7)]+f(a6)=f(ai)+f(a6)=a>

可化为f(ai)=ai.

当ai>l时，f(ai)=ailnai=ai,解得ai=e；

当ai<l时，f(ai)=中1=ai,无解.故选B.

«1

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出

的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不

全的得2分，有选错的得0分)

9.(2021・八省联考)已知函数f(x)=xln(l+x)/则()

A.f(x)在(0,+⑹上单调递增

B.f(x)有两个零点

C.曲线y=f(x)在点]-14-0处切线的斜率为T-皿2

D.f(x)是偶函数

选AC.A正确，在(0,+oo)±,x>0,In(1+x)>0且两个函数都是增

函数，所以积的函数是增函数.

B错误，由xIn(1+x)=。得x=0或In(1+x)=0解得x=0,所以有

且只有一个零点.

1

C正确，f(x)=ln(l+x)+—,k=+—=

x+1-2+l

-1-In2,D错误，函数的定义域不关于原点对称.

10.已知数列｛aj是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn/满足ai

+5a3=S8,下列选项正确的有()

A.aio—0B.S7—S12

C,S10最小D.S20=0

选AB.因为⑶｝是等差数列，设公差为d,

由ai+5a3=Ss,可得ai+9d=0,

即aio=O,即选项A正确,

又Si2-S7=as+a9+aio+an+ai2=5a10=0,即选项B正确,

当d>0时，贝”9或Sio最小,

当d<0时，则S9或Sio最大,即选项C错误,

又Si9=19aio=O,a2(#0,

所以S2#0,即选项D错误.

11.设f(x)=----,g(x)=ax+3-3a(a>0),若对于任意xi£[0,2],

ex'1

总存在xo£[02]使得g(xo)=f(x1)成立，下列a值符合要求的是()

A.0B.1C.2D,3

选BC.当xi£[0,2],函数小了一,

ex'1

1-x

则f(x)=~，令F(x)=O,解得x=1.

e-1

当x£[0,1)时,f(x)>0,

所以函数f(x)在[0,1)上单调递增；

当xG(l,2]时,f(x)<0,

所以函数f(x)在(1,2]上单调递减；

所以当X=1时,f(x)取得最大值1,

当X=0时，f(x)取得最小值为0,

故得函数f(xi)的值域M=[0,1].

当xoG[O,2]时,因为a>0,所以函数g(x)=ax+3-3a在其定义域内

是增函数，

当x=0时函数g(x)取得最小值为3-3a.

当x=2时函数g(x)取得最大值为3-a.

故得函数g(x)的值域为N=[3-3a,3-a].

因为MGN,

[3-3a<0

所以<.解得l<a<2.

[3-a>l

2

12.设函数f(x)=猾-In|ax|(a>0),若f(x)有4个零点，则a的可

以取的值有()

A.1B.2C.3D.4

选BCD.因为函数定义域为{x|x#)},

且f(-x)=f(x),所以函数为偶函数，故函数f(x)有4个零点等价于x

>0时,f(x)有2个零点/

,2

当x>0时，f(x)=^--Inax(a>0),

1axz-e

EIZ,、2axaax

则f(x)=^--=-

ZcdXC一x-ex，

当X—>+00,Rx)—+00,当x一0,4x)一+oo,

由F(x)=。得X=,

当X>yi时,F(x)>0

!

当0<x<时,f(x)<0,

如图：

\17

所以f(x)有极小值班■)，要使函数有4个零点，只需卜国<0

即可，

即与Tn卜=1-In=1-1Inae<0,解得

a>1,

所以a可取2,3,4.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题

中的横线上)

13.已知函数f(x)=ax4+bx2+c,若F(l)=2,则-1)=.

方法一：由f(x)=ax4+bx?+c,得f(x)=4ax3+2bx.

因为f(l)=2,所以4a+2b=2，即2a+b=l.

贝Uf(-1)=-4a-2b=-2(2a+b)=-2.

方法二：因为f(x)是偶函数，所以f(x)是奇函数，所以f(-1)=-P⑴

=-2.

答案：-2

14.已知Sn是等比数列｛an｝的前n项和，a5=-2,a8=16,则S6等

于.

因为｛加｝为等比数列，

3

所以a8=a5q,

所以q3=多=-8,所以q=-2.

-2

--(-2)6]

ai1-q6)

所以S6=-

i-q1+2一8

答案：等21

15.(2019•北京高考)设等差数列｛aQ的前n项和为Sn,若a2=-3,

Ss=_]0,贝!Ja5=,Sn的最小值为.

,5x4

设公差为d,a2=ai+d=-3,S5=5ai+d=-10,即ai+2d=-

n(n-1)

2,解彳导ai=-4,d=1,所以a5=ai+4d=0,Sn=nai+----8----d

n2-9n_

=―2—，当n=4或5时，Sn最小，为-10.

答案：0-10

16.已知f(x)为定义在(0,+8)上的可导函数，且f(x)>x?(x)恒成立,

则xZfQ-f(X)>0的解集为.

1上(X)]

当x£(0,+00)时，f(x)>xF(x)=x?(x)-f(x)<0=------f<0.

x

f(X)

令g(x)=---,则函数g(x)在(0,+00)上单调递减.

X

/n

又当xG(0,+co)时，不等式x2d-f(x)>0«-p>[)，则0<x

X

<X,解得xG(l,+00).

答案：(1,+00)

四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说

明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)(2020.全国HI卷)设数列｛期｝满足ai=3,an+i=3an-4n.

⑴计算a2,a3,猜想｛an｝的通项公式并加以证明；

(2)求数列｛254的前n项和Sn.

⑴由题意可得a2=3ai-4=9-4=5,

as=3a2-8=15-8=7,

由数列｛an｝的前三项可猜想数列｛an｝是以3为首项，2为公差的等

差数列，即an=2n+l,

证明如下：当n=1时，ai=3成立；

假设n=k(k>l,kWN*)时，ak=2k+1成立.

那么n=k+1时，ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1

也成立.

则对任意的n£N*,都有an=2n+1成立.

nn

(2)由⑴可知，an-2=(2n+l)-2,

23n1n

Sn=3x2+5x2+7x2+...+(2n-l)-2-+(2n+l)-2,①

234nn+1

2Sn=3X2+5x2+7x2+...+(2n-l)-2+(2n+l)-2,②

由①-②得：-Sn=6+2x02+23+…+2n)-(2n+l)-2n+l

22x(1-2'j)

=6+2x-----------------(2n+l)-2n+1

1-2

=(1-2n)-2n+1-2,

n+,

即Sn=(2n-l)-2+2.

18.(12分)已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间［0,1］上单调递增,

在区间［1,2)上单调递减.

⑴求a的值；

(2)若点A(xo,f(xo))在函数f(x)的图象上，求证：点A关于直线x=1

的对称点B也在函数f(x)的图象上.

(1)由函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0]]上单调递增，在区间[1,

2)上单调递减，

所以x=1时，取得极大值，

所以f(l)=0.又f(x)=4x3-12x2+2ax,

所以4-12+2a=Ona=4.

⑵点A(x0,f(xo))关于直线x=1的对称点B的坐标为(2-xo,f(xo)),

43222

f(2-x0)=(2-xo)-4(2-xo)+4(2-x0)-1=(2-x0)[(2-x0)-2]-

432

X0X0+4X0

所以A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上.

19.(12分)(2019.全国卷I)记Sn为等差数列⑶｝的前n项和，已知S9

=-as.

(1)若a3=4,求｛an｝的通项公式；

⑵若ai>0,求使得S2an的n的取值范围.

⑴设以｝的公差为d.

由S9=-as彳导ai+4d=0.

由a3=4得ai+2d=4.

于是ai=8,d=-2.

因此｛aj的通项公式为an=10-2n.

(2)由S9=-as得a1=-4d,

n(n-9)d

故an=(n-5)d,Sn=5.

由ai>0知d<0,故S仑an等价于n2-lln+10<0,解得l<n<10.

所以n的取值范围是｛叩二彩10,nGN｝.

20(12分)设x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.

⑴求常数a,b；

(2)试判断x=-2,x=4是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说

明理由.

f(x)=3x2+2ax+b.

(1)由极值点的必要条件可知：？(-2)=f(4)=0,

fl2-4a+b=0,

即

[48+8a+b=0,

解彳导a=-3,b=-24.或f(x)=3x2+2ax+b=3(x+2)(x-4)=3x2-

6x-24,也可得a=-3,b=-24.

(2)由f(x)=3(x+2)(x-4).

当x<-2时，f(x)>0,当-2<x<4时，f(x)<0.

所以x=-2是极大值点，而当x>4时，？(x)>0,

所以x=4是极小值点.

21.(12分)(2017.天津高考)已知｛aj为等差数列，前n项和为

Sn(nGN*),｛悦｝是首项为2的等比数列，且公比大于0,b2+b3=12/

b3=a4-2al,Su=llb4.

⑴求⑶｝和｛bn｝的通项公式；

(2)求数列｛a2nbn｝的前n项和(n£N*).

⑴设等差数列｛aj的公差为d,等比数列｛1｝的公比为q.由已知b2+

b3=12,得bi(q+q2)=12,而bi=2,所以q2+q-6=0.又因为q>0,

解得q=2.所以,bn=2n.

由b3=沏-2ai,可得3d-ai=8①.由Su=llb4,可得ai+5d=16②，

联立①②，解得a】=l,d=3,由此可得an=3n-2.

所以,｛an｝的通项公式为an=3n-2,｛bj的通项公式为bn=2n.

⑵设数列｛a2nbn｝的前n项和为Tn

由a2n=6n-2,

有Tn=4x2+10x22+16x23+...+(6n-2)x2n,

2Tn=4x22+10x23+16x24+...+(6n-8)x2n+(6n-2)x2n+1,

nn1