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课时作业3全称量词与存在量词一、选择题1.下列命题是特称命题的是(D)A.任何一个实数乘以0都等于0B.所有的质数都是奇数C.偶数不是质数D.有的偶数是质数解析:选项D中“有的”是存在量词,所以选项D中的命题是特称命题.2.命题“存在实数x,使x>1”的否定是(C)A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x,使x≤1C.对任意实数x,都有x≤1D.存在实数x,使x≤1解析:命题“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.3.命题“∀x∈R,ex≥x+1”的否定是(D)A.∀x∈R,ex<x+1 B.∃x0∈R,ex0≥x0+1C.∀x∉R,ex<x+1 D.∃x0∈R,ex0<x0+1解析:命题“∀x∈R,ex≥x+1”的否定是∃x0∈R,ex0<x0+1,故选D.4.命题p:存在常数列不是等比数列,则命题綈p为(C)A.任意常数列不是等比数列B.存在常数列是等比数列C.任意常数列都是等比数列D.不存在常数列是等比数列解析:因为特称命题的否定是全称命题,命题p:存在常数列不是等比数列的否定命题綈p:任意常数列都是等比数列,故选C.5.下列命题不是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的是(C)A.有一个x∈R,使得x2>3成立B.对有些x∈R,x2>3成立C.任选一个x∈R,都有x2>3成立D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立解析:C选项是全称命题,而题中的命题是特称命题,故选C.6.下列命题中为假命题的是(B)A.∀x∈R,ex>0 B.∀x∈N,x2>0C.∃x0∈R,lnx0<1 D.∃x0∈N*,sineq\f(πx0,2)=1解析:对于选项A,由函数y=ex的图象可知,∀x∈R,ex>0,故选项A为真命题;对于选项B,当x=0时,x2=0,故选项B为假命题;对于选项C,当x0=eq\f(1,e)时,lneq\f(1,e)=-1<1,故选项C为真命题;对于选项D,当x0=1时,sineq\f(π,2)=1,故选项D为真命题.综上知选B.7.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则(D)A.綈p:∀x∈A,2x∉B B.綈p:∀x∉A,2x∉BC.綈p:∃x∉A,2x∈B D.綈p:∃x∈A,2x∉B解析:“任意”的否定是“存在”,则綈p:∃x∈A,2x∉B.8.命题“∀1≤x≤2,x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(C)A.a≥4 B.a≤4C.a≥5 D.a≤5解析:命题“∀1≤x≤2,x2-a≤0”为真命题,即“∀1≤x≤2,a≥x2”恒成立,所以a≥(x2)max=4,故“∀1≤x≤2,x2-a≤0”为真命题的充要条件为a≥4,要找的是一个充分不必要条件,即a的取值范围为集合{a|a≥4}的真子集,由选项可知C符合题意.9.下列关于命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定说法正确的是(B)A.∀x∈R,均有x2+x+1<0,假命题B.∀x∈R,均有x2+x+1≥0,真命题C.∃x∈R,使得x2+x+1≥0,假命题D.∃x∈R,使得x2+x+1=0,真命题解析:命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”.因为x2+x+1=(x+eq\f(1,2))2+eq\f(3,4)≥0恒成立,所以原命题的否定是真命题.10.若∃x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),2)),使得2xeq\o\al(2,0)-λx0+1<0成立是假命题,则实数λ的取值范围是(A)A.(-∞,2eq\r(2)] B.(2eq\r(2),3]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2),\f(9,2))) D.{3}解析:因为∃x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),2)),使得2xeq\o\al(2,0)-λx0+1<0成立是假命题,所以∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),2)),使得2x2-λx+1≥0恒成立是真命题,即∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),2)),λ≤2x+eq\f(1,x)恒成立是真命题,令f(x)=2x+eq\f(1,x),则f′(x)=2-eq\f(1,x2),当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(\r(2),2)))时,f′(x)<0,当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2),2))时,f′(x)>0,所以f(x)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))=2eq\r(2),则λ≤2eq\r(2).二、填空题11.命题p:∃x0∈(0,+∞),xeq\o\al(2,0)≤x0+2,则綈p是∀x∈(0,+∞),x2>x+2.解析:特称命题的否定方法是先将存在量词改为全称量词,再否定结论,因此綈p:∀x∈(0,+∞),x2>x+2.12.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是∃x0∈R,|x0|+xeq\o\al(2,0)<0.13.若命题“对∀x∈R,kx2-kx-1<0”是真命题,则k的取值范围是(-4,0].解析:“对∀x∈R,kx2-kx-1<0”是真命题,当k=0时,则有-1<0;当k≠0时,则有k<0且Δ=(-k)2-4×k×(-1)=k2+4k<0,解得-4<k<0,综上所述,实数k的取值范围是(-4,0].14.若命题“∃x∈R,|x+1|+|x-a|<4”是真命题,则实数a的取值范围是(-5,3).解析:由“∃x∈R,|x+1|+|x-a|<4”是真命题,可得|x+1|+|x-a|<4有解,即(|x+1|+|x-a|)min<4,即|1+a|<4,解得-5<a<3,故实数a的取值范围是(-5,3).15.(多选题)下列命题中正确的是(ABD)A.若命题p:∃x0∈R,使得xeq\o\al(2,0)≤0,则綈p:∀x∈R,都有x2>0B.若随机变量X~N(2,σ2),则P(X>2)=0.5C.设函数f(x)=x2-2x(x∈R),则函数f(x)有两个不同的零点D.“a>b”是“a+c>b+c”的充分必要条件解析:由特称命题的否定是全称命题得A正确;由正态分布的概率分布特点知B正确;因为函数y=x2,y=2x的图象在(-∞,0)上有1个交点,在(0,+∞)上有2个交点,即(2,4),(4,16),所以函数f(x)=x2-2x有3个不同的零点,C错误;由不等式的基本性质可知D正确,故选ABD.16.(多选题)下列说法正确的是(BD)A.若m>0,n<0,则m-n<0B.“x=eq\f(π,4)”是“tanx=1”的充分不必要条件C.命题“∃x0∈R,x0+eq\f(1,x0)≥2”的否定形式是“∀x∈R,x+eq\f(1,x)>2”D.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为30种解析:对于A,若m>0,n<0,则m-n>0,所以A错误;对于B,当x=eq\f(π,4)时,tanx=1,反之,tanx=1时,x=kπ+eq\f(π,4)(k∈Z),所以“x=eq\f(π,4)”是“tanx=1”的充分不必要条件,所以B
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