2019-2020学年江西省抚州市九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2019-2020学年江西省抚州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）一元二次方程的一根是1，则的值是A．3 B． C．2 D．2．（3分）把图1的正方体切下一个角，按图2放置，则切下的几何体的主视图是A． B． C． D．3．（3分）华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前4位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是A． B． C． D．4．（3分）如图，舞台纵深为6米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为A．1.1米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.3米5．（3分）如图，矩形的边在轴的正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，则的值是A．8 B．4 C．2 D．16．（3分）如图，是抛物线的图象，根据图象信息分析下列结论：其中正确的结论是①；②；③；④．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）7．（5分）二次函数的顶点坐标是．8．（5分）九年级8班第一小组名同学在庆祝2020年新年之际，互送新年贺卡，表达同学间的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则的值是．9．（5分）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，，则的值为．10．（5分）如图，在菱形中，，，分别是边，对角线与边上的动点，连接，，若，，则的最小值是．11．（5分）如图，矩形中，，，点是边上一点，交于点，则长的取值范围是．12．（5分）中，，，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分.）13．（6分）（1）；（2）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．14．（6分）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，．（1）求的取值范围；（2）若，求方程的两个根．15．（6分）如图，平行四边形中，点是的中点，用无刻度的直尺按下列要求作图．（1）在图1中，作边上的中点；（2）在图2中，作边上的中点．16．（6分）垃圾分类是必须要落实的国家政策，环卫部门要求垃圾要按：可回收物，：有害垃圾，：餐厨垃圾，：其它垃圾四类分别装袋，投放．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾（两袋垃圾不同类）．（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率；（2）用树状图求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．17．（6分）如图，在中，，，夹边的长为6．求的面积．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，反比例函数的图象经过点，直线与双曲线交于另一点，作轴于点，轴于点，连接，．（1）求的值；（2）若，求直线的解析式；（3）若，其它条件不变，直接写出与的位置关系．19．（8分）2019年10月1日，是新中国70周年的生日，在首都北京天安门广场举行了盛大的建国70周年大阅兵，接受国家主席习近平的检阅，令国人振奋，令世界瞩目．在李克强总理庄严的指令下，56门礼炮，70响轰鸣，述说着56个民族，70载春华秋实的拼搏！下图1是礼炮图片，图2是礼炮抽象示意图．已知：是水平线，，，、的仰角分别是和，，，且．（1）求点的铅直高度；（2）求，两点的水平距离．（结果精确到，参考数据：，，20．（8分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量（个与销售单价（元符合一次函数关系，如图所示：（1）根据图象，直接写出与的函数关系式．（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，求的长．22．（9分）已知二次函数，是常数）．（1）当，时，求二次函数的最小值；（2）当，函数值时，以之对应的自变量的值只有一个，求的值；（3）当，自变量时，函数有最小值为，求此时二次函数的表达式．六、（本大题共12分）23．如图1，在平行四边形和平行四边形中，顶点是它们的公共顶点，，，．【特例感悟】（1）当顶点与顶点重合时（如图，与相交于点，与相交于点，求证：四边形是菱形；【探索论证】（2）如图2，当时，四边形是什么特殊四边形？试证明你的结论；【拓展应用】（3）试探究：当等于多少度时，以点，，，为顶点的四边形是矩形？请给予证明．

2019-2020学年江西省抚州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）一元二次方程的一根是1，则的值是A．3 B． C．2 D．【分析】把代入方程得，然后解关于的方程即可．【解答】解：把代入方程得，解得．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（3分）把图1的正方体切下一个角，按图2放置，则切下的几何体的主视图是A． B． C． D．【分析】根据三棱锥的主视图的形状进行判断即可．【解答】解：三棱锥的主视图为选项中的图形，故选：．【点评】考查简单几何体的三视图的画法，注意看到的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线表示．3．（3分）华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前4位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是A． B． C． D．【分析】用列表法列举出可能出现的所有情况，让1除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：剩余两位数的可能组合如图，共100种情况，故他一次按对的概率是．故选：．【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）．4．（3分）如图，舞台纵深为6米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为A．1.1米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.3米【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．【解答】解：节目主持人应站在舞台的黄金分割处，距前沿较近的距离（米，故选：．【点评】本题主要考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比求解，注意：一条线段的黄金分割点有2个，难度适中．5．（3分）如图，矩形的边在轴的正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，则的值是A．8 B．4 C．2 D．1【分析】根据矩形的性质求得点的坐标，将点的坐标代入函数解析式求得的值即可．【解答】解：四边形是矩形，与的交点是、的中点．点坐标是，点的坐标是．反比例函数的图象经过点，．故选：．【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分求得点的坐标是解题的关键．6．（3分）如图，是抛物线的图象，根据图象信息分析下列结论：其中正确的结论是①；②；③；④．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【分析】根据函数图象得出，，的符号以及对称轴和，进而分别判断得出即可．【解答】解：①，，即，故此选项正确．②图象开口向下，则，对称轴经过轴正半轴，则，异号，，图象与轴交于负半轴，则，故②正确；③图象与轴有两个交点，，故此选项正确；④，可得图象与轴右侧的交点小于2，时，对应点的值小于零，即．故此选项正确；故选：．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合得出是解题关键．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）7．（5分）二次函数的顶点坐标是．【分析】运用完全平方式将二次函数表达式化为顶点式表达式求解即可．【解答】解：二次函数，此函数的顶点坐标是．故答案为：．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是运用完全平方式将二次函数表达式化为顶点式表达式．8．（5分）九年级8班第一小组名同学在庆祝2020年新年之际，互送新年贺卡，表达同学间的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则的值是6．【分析】由8班第一小组共送出贺卡30张，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（5分）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，，则的值为．【分析】先利用与相似求出的长，再利用直角三角形的边角间关系求出的正切．【解答】解：在直角三角形中，是斜边上的高，又，，，．．．．在中，．故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的知识及锐角三角函数，求出边的长是解决本题的关键．另求的长亦可通过射影定理直接得到．10．（5分）如图，在菱形中，，，分别是边，对角线与边上的动点，连接，，若，，则的最小值是．【分析】作于．作点关于直线的对称点，连接．求出，根据垂线段最短解决问题即可．【解答】解：作于．作点关于直线的对称点，连接．四边形是菱形，，点在直线上，，根据垂线段最短可知，当，，共线且时，的值最小，在中，，，，的最小值，故答案为【点评】本题考查轴对称最短问题，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．11．（5分）如图，矩形中，，，点是边上一点，交于点，则长的取值范围是．【分析】由垂直定义得，平角，矩形的性质和角的和差证明，，从而证明，其性质得，由不等式和配方法求出长度的范围是．【解答】解：如图所示：，，又，，又四边形是矩形，，又，，，，又，，，，解得：，又，，故答案为．【点评】本题综合考查了垂直的定义，平角的定义，余角的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，配方法等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是由配方法求线段长度的取值范围．12．（5分）中，，，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是3.6或4.32或4.8．【分析】在中，通过解直角三角形可得出、，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．【解答】解：在中，，，，，．沿过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当时，如图①所示，；②当，且在上时，如图②所示，作的高，则，，，；③当时，如图③所示，．综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．故答案为3.6或4.32或4.8．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分.）13．（6分）（1）；（2）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．【分析】（1）根据特殊锐角的三角函数值进行计算即可；（2）根据三视图，得出这个几何体的性质，再利用体积计算方法进行计算即可．【解答】解：（1）原式，（2）由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体．，几何体的体积是60．【点评】考查特殊锐角三角函数值，几何体的三视图，掌握特殊锐角的三角函数值是正确计算的前提，根据视图得出几何体的形状是计算体积的关键．14．（6分）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，．（1）求的取值范围；（2）若，求方程的两个根．【分析】（1）根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到，，则，求出得到方程为，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）一元二次方程有两实数根，，△，；（2），，而，，解得，方程为，解得，，即方程的两根是和1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式的意义．15．（6分）如图，平行四边形中，点是的中点，用无刻度的直尺按下列要求作图．（1）在图1中，作边上的中点；（2）在图2中，作边上的中点．【分析】（1）根据平行四边形的性质即可在图1中，作边上的中点；（2）根据平行四边形的性质在图2中，作两次平行四边形即可作边上的中点．【解答】解：如图，（1）在图1中，点即为边上的中点；（2）在图2中，点即为边上的中点．【点评】本题考查了作图复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是准确画图．16．（6分）垃圾分类是必须要落实的国家政策，环卫部门要求垃圾要按：可回收物，：有害垃圾，：餐厨垃圾，：其它垃圾四类分别装袋，投放．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾（两袋垃圾不同类）．（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率；（2）用树状图求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先画树状图列出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率为；（2）画树状图如下：由树状图知共有48种等可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的有24种结果，所以乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率为．【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．17．（6分）如图，在中，，，夹边的长为6．求的面积．【分析】如图，作于点．解直角三角形求出，即可解决问题．【解答】解：如图，作于点．，，，，，在中，，，，，的面积是．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，反比例函数的图象经过点，直线与双曲线交于另一点，作轴于点，轴于点，连接，．（1）求的值；（2）若，求直线的解析式；（3）若，其它条件不变，直接写出与的位置关系．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）作轴于，延长交的延长线于，则，根据三角形面积求得，即可求得，把代入解析式即可求得横坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；（3）证明即可得到、点到的距离相等，从而证得结论．【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，；（2）如图，作轴于，延长交的延长线于，则，，，，点的纵坐标为，把代入得：点的坐标是；设：，则直线的解析式是：；（3）连接．设点的坐标为，点，在反比例函数的图象上，，，轴，轴，，，，，，，，、点到的距离相等，．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及待定系数法求函数的解析式，（3）证得是解决本题的关键．19．（8分）2019年10月1日，是新中国70周年的生日，在首都北京天安门广场举行了盛大的建国70周年大阅兵，接受国家主席习近平的检阅，令国人振奋，令世界瞩目．在李克强总理庄严的指令下，56门礼炮，70响轰鸣，述说着56个民族，70载春华秋实的拼搏！下图1是礼炮图片，图2是礼炮抽象示意图．已知：是水平线，，，、的仰角分别是和，，，且．（1）求点的铅直高度；（2）求，两点的水平距离．（结果精确到，参考数据：，，【分析】（1）作，，，垂足分别为点，，．由且、可得，再由得，从而根据得出答案；（2）由知，由知，根据可以得出答案．【解答】解：（1）如图，作，，，垂足分别为点，，．在中，，，，，在中，，，，点的铅直高度是．（2）在中，，，在中，，，，，两点的水平距离约为．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是理解题意，结合图形构建合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．20．（8分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量（个与销售单价（元符合一次函数关系，如图所示：（1）根据图象，直接写出与的函数关系式．（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；（3）设每天获得的利润为元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．【解答】解：（1）设，为常数）将点，代入得解得与的函数关系式为：（2）由题意得：化简得：解得：，（不符合题意，舍去）答：销售单价为80元．（3）设每天获得的利润为元，由题意得，抛物线开口向下有最大值，当时，答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．【点评】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，求的长．【分析】（1）由正方形的性质与已知得出，证出，即可得出结论；（2）由，为的中点，得出，由勾股定理得出，由，得出，求得，即可得出结果．【解答】（1）证明：四边形为正方形，且，，，，，；（2），为的中点，，在中，，由（1）知，，，即：，，．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键．22．（9分）已知二次函数，是常数）．（1）当，时，求二次函数的最小值；（2）当，函数值时，以之对应的自变量的值只有一个，求的值；（3）当，自变量时，函数有最小值为，求此时二次函数的表达式．【分析】（1）当，时，，即可求解；（2）当，函数值时，，对应的自变量的值只有一个，则△，即可求解；（3）分、、分别求解即可．【解答】解：（1）当，时，，当时，；（2）当，函数值时，，，对应的自变量的值只有一个，△，；（3）当时，抛物线对称轴为：直线①时，在自变量的值满足的情况下，随的增大而增大，当时，最小．，；②，当时，最小．，（舍去）③时，