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第1页(共1页)2019-2020学年江西省抚州市九年级(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共6个小题,每小题3分,共18分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(3分)一元二次方程的一根是1,则的值是A.3 B. C.2 D.2.(3分)把图1的正方体切下一个角,按图2放置,则切下的几何体的主视图是A. B. C. D.3.(3分)华为手机锁屏密码是6位数,若密码的前4位数字已经知道,则一次解锁该手机密码的概率是A. B. C. D.4.(3分)如图,舞台纵深为6米,要想获得最佳音响效果,主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点处,那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为A.1.1米 B.1.5米 C.1.9米 D.2.3米5.(3分)如图,矩形的边在轴的正半轴上,点的坐标为,反比例函数的图象经过矩形对角线的交点,则的值是A.8 B.4 C.2 D.16.(3分)如图,是抛物线的图象,根据图象信息分析下列结论:其中正确的结论是①;②;③;④.A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)7.(5分)二次函数的顶点坐标是.8.(5分)九年级8班第一小组名同学在庆祝2020年新年之际,互送新年贺卡,表达同学间的真诚祝福,全组共送出贺卡30张,则的值是.9.(5分)如图,在直角三角形中,是斜边上的高,,,则的值为.10.(5分)如图,在菱形中,,,分别是边,对角线与边上的动点,连接,,若,,则的最小值是.11.(5分)如图,矩形中,,,点是边上一点,交于点,则长的取值范围是.12.(5分)中,,,,过点的直线把分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是.三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分.)13.(6分)(1);(2)已知一个几何体的三视图如图所示,求该几何体的体积.14.(6分)已知关于的一元二次方程的两实数根分别为,.(1)求的取值范围;(2)若,求方程的两个根.15.(6分)如图,平行四边形中,点是的中点,用无刻度的直尺按下列要求作图.(1)在图1中,作边上的中点;(2)在图2中,作边上的中点.16.(6分)垃圾分类是必须要落实的国家政策,环卫部门要求垃圾要按:可回收物,:有害垃圾,:餐厨垃圾,:其它垃圾四类分别装袋,投放.甲投放了一袋垃圾,乙投放了两袋垃圾(两袋垃圾不同类).(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率;(2)用树状图求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.17.(6分)如图,在中,,,夹边的长为6.求的面积.四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18.(8分)如图,反比例函数的图象经过点,直线与双曲线交于另一点,作轴于点,轴于点,连接,.(1)求的值;(2)若,求直线的解析式;(3)若,其它条件不变,直接写出与的位置关系.19.(8分)2019年10月1日,是新中国70周年的生日,在首都北京天安门广场举行了盛大的建国70周年大阅兵,接受国家主席习近平的检阅,令国人振奋,令世界瞩目.在李克强总理庄严的指令下,56门礼炮,70响轰鸣,述说着56个民族,70载春华秋实的拼搏!下图1是礼炮图片,图2是礼炮抽象示意图.已知:是水平线,,,、的仰角分别是和,,,且.(1)求点的铅直高度;(2)求,两点的水平距离.(结果精确到,参考数据:,,20.(8分)某公司研发了一款成本为50元的新型玩具,投放市场进行试销售.其销售单价不低于成本,按照物价部门规定,销售利润率不高于,市场调研发现,在一段时间内,每天销售数量(个与销售单价(元符合一次函数关系,如图所示:(1)根据图象,直接写出与的函数关系式.(2)该公司要想每天获得3000元的销售利润,销售单价应定为多少元?(3)销售单价为多少元时,每天获得的利润最大,最大利润是多少元?五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.(9分)如图,在正方形中,为边的中点,点在边上,且,延长交的延长线于点.(1)求证:;(2)若,求的长.22.(9分)已知二次函数,是常数).(1)当,时,求二次函数的最小值;(2)当,函数值时,以之对应的自变量的值只有一个,求的值;(3)当,自变量时,函数有最小值为,求此时二次函数的表达式.六、(本大题共12分)23.如图1,在平行四边形和平行四边形中,顶点是它们的公共顶点,,,.【特例感悟】(1)当顶点与顶点重合时(如图,与相交于点,与相交于点,求证:四边形是菱形;【探索论证】(2)如图2,当时,四边形是什么特殊四边形?试证明你的结论;【拓展应用】(3)试探究:当等于多少度时,以点,,,为顶点的四边形是矩形?请给予证明.
2019-2020学年江西省抚州市九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共6个小题,每小题3分,共18分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(3分)一元二次方程的一根是1,则的值是A.3 B. C.2 D.【分析】把代入方程得,然后解关于的方程即可.【解答】解:把代入方程得,解得.故选:.【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.2.(3分)把图1的正方体切下一个角,按图2放置,则切下的几何体的主视图是A. B. C. D.【分析】根据三棱锥的主视图的形状进行判断即可.【解答】解:三棱锥的主视图为选项中的图形,故选:.【点评】考查简单几何体的三视图的画法,注意看到的轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线表示.3.(3分)华为手机锁屏密码是6位数,若密码的前4位数字已经知道,则一次解锁该手机密码的概率是A. B. C. D.【分析】用列表法列举出可能出现的所有情况,让1除以总情况数即为所求的概率.【解答】解:剩余两位数的可能组合如图,共100种情况,故他一次按对的概率是.故选:.【点评】本题考查概率的求法与运用,一般方法为:如果一个事件有种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件出现种可能,那么事件的概率(A).4.(3分)如图,舞台纵深为6米,要想获得最佳音响效果,主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点处,那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为A.1.1米 B.1.5米 C.1.9米 D.2.3米【分析】把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割.【解答】解:节目主持人应站在舞台的黄金分割处,距前沿较近的距离(米,故选:.【点评】本题主要考查了黄金分割点的概念,能够根据黄金比求解,注意:一条线段的黄金分割点有2个,难度适中.5.(3分)如图,矩形的边在轴的正半轴上,点的坐标为,反比例函数的图象经过矩形对角线的交点,则的值是A.8 B.4 C.2 D.1【分析】根据矩形的性质求得点的坐标,将点的坐标代入函数解析式求得的值即可.【解答】解:四边形是矩形,与的交点是、的中点.点坐标是,点的坐标是.反比例函数的图象经过点,.故选:.【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征,矩形的性质,根据矩形的对角线相等且互相平分求得点的坐标是解题的关键.6.(3分)如图,是抛物线的图象,根据图象信息分析下列结论:其中正确的结论是①;②;③;④.A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④【分析】根据函数图象得出,,的符号以及对称轴和,进而分别判断得出即可.【解答】解:①,,即,故此选项正确.②图象开口向下,则,对称轴经过轴正半轴,则,异号,,图象与轴交于负半轴,则,故②正确;③图象与轴有两个交点,,故此选项正确;④,可得图象与轴右侧的交点小于2,时,对应点的值小于零,即.故此选项正确;故选:.【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,利用数形结合得出是解题关键.二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)7.(5分)二次函数的顶点坐标是.【分析】运用完全平方式将二次函数表达式化为顶点式表达式求解即可.【解答】解:二次函数,此函数的顶点坐标是.故答案为:.【点评】本题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是运用完全平方式将二次函数表达式化为顶点式表达式.8.(5分)九年级8班第一小组名同学在庆祝2020年新年之际,互送新年贺卡,表达同学间的真诚祝福,全组共送出贺卡30张,则的值是6.【分析】由8班第一小组共送出贺卡30张,即可得出关于的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.【解答】解:依题意,得:,解得:,(不合题意,舍去).故答案为:6.【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.9.(5分)如图,在直角三角形中,是斜边上的高,,,则的值为.【分析】先利用与相似求出的长,再利用直角三角形的边角间关系求出的正切.【解答】解:在直角三角形中,是斜边上的高,又,,,....在中,.故答案为:【点评】本题考查了相似三角形的知识及锐角三角函数,求出边的长是解决本题的关键.另求的长亦可通过射影定理直接得到.10.(5分)如图,在菱形中,,,分别是边,对角线与边上的动点,连接,,若,,则的最小值是.【分析】作于.作点关于直线的对称点,连接.求出,根据垂线段最短解决问题即可.【解答】解:作于.作点关于直线的对称点,连接.四边形是菱形,,点在直线上,,根据垂线段最短可知,当,,共线且时,的值最小,在中,,,,的最小值,故答案为【点评】本题考查轴对称最短问题,解直角三角形,垂线段最短等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.11.(5分)如图,矩形中,,,点是边上一点,交于点,则长的取值范围是.【分析】由垂直定义得,平角,矩形的性质和角的和差证明,,从而证明,其性质得,由不等式和配方法求出长度的范围是.【解答】解:如图所示:,,又,,又四边形是矩形,,又,,,,又,,,,解得:,又,,故答案为.【点评】本题综合考查了垂直的定义,平角的定义,余角的性质,相似三角形的判定与性质,矩形的性质,配方法等相关知识,重点掌握相似三角形的判定与性质,难点是由配方法求线段长度的取值范围.12.(5分)中,,,,过点的直线把分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是3.6或4.32或4.8.【分析】在中,通过解直角三角形可得出、,找出所有可能的剪法,并求出剪出的等腰三角形的面积即可.【解答】解:在中,,,,,.沿过点的直线把分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况:①当时,如图①所示,;②当,且在上时,如图②所示,作的高,则,,,;③当时,如图③所示,.综上所述:等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8.故答案为3.6或4.32或4.8.【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积,找出所有可能的剪法,并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键.三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分.)13.(6分)(1);(2)已知一个几何体的三视图如图所示,求该几何体的体积.【分析】(1)根据特殊锐角的三角函数值进行计算即可;(2)根据三视图,得出这个几何体的性质,再利用体积计算方法进行计算即可.【解答】解:(1)原式,(2)由三视图知,原几何体是正方体截掉一个底面边长为1,高为4的长方体.,几何体的体积是60.【点评】考查特殊锐角三角函数值,几何体的三视图,掌握特殊锐角的三角函数值是正确计算的前提,根据视图得出几何体的形状是计算体积的关键.14.(6分)已知关于的一元二次方程的两实数根分别为,.(1)求的取值范围;(2)若,求方程的两个根.【分析】(1)根据判别式的意义得到△,然后解不等式即可;(2)根据根与系数的关系得到,,则,求出得到方程为,然后利用因式分解法解方程.【解答】解:(1)一元二次方程有两实数根,,△,;(2),,而,,解得,方程为,解得,,即方程的两根是和1.【点评】本题考查了根与系数的关系:若,是一元二次方程的两根时,,.也考查了根的判别式的意义.15.(6分)如图,平行四边形中,点是的中点,用无刻度的直尺按下列要求作图.(1)在图1中,作边上的中点;(2)在图2中,作边上的中点.【分析】(1)根据平行四边形的性质即可在图1中,作边上的中点;(2)根据平行四边形的性质在图2中,作两次平行四边形即可作边上的中点.【解答】解:如图,(1)在图1中,点即为边上的中点;(2)在图2中,点即为边上的中点.【点评】本题考查了作图复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质,解决本题的关键是准确画图.16.(6分)垃圾分类是必须要落实的国家政策,环卫部门要求垃圾要按:可回收物,:有害垃圾,:餐厨垃圾,:其它垃圾四类分别装袋,投放.甲投放了一袋垃圾,乙投放了两袋垃圾(两袋垃圾不同类).(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率;(2)用树状图求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.【分析】(1)直接利用概率公式计算可得;(2)先画树状图列出所有等可能结果,再从中找到符合条件的结果数,继而利用概率公式计算可得.【解答】解:(1)甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率为;(2)画树状图如下:由树状图知共有48种等可能结果,其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的有24种结果,所以乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率为.【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率,列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果,列表法是一种,但当一个事件涉及三个或更多元素时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树形图.17.(6分)如图,在中,,,夹边的长为6.求的面积.【分析】如图,作于点.解直角三角形求出,即可解决问题.【解答】解:如图,作于点.,,,,,在中,,,,,的面积是.【点评】本题考查解直角三角形,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造特殊三角形解决问题.四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18.(8分)如图,反比例函数的图象经过点,直线与双曲线交于另一点,作轴于点,轴于点,连接,.(1)求的值;(2)若,求直线的解析式;(3)若,其它条件不变,直接写出与的位置关系.【分析】(1)根据待定系数法求得即可;(2)作轴于,延长交的延长线于,则,根据三角形面积求得,即可求得,把代入解析式即可求得横坐标,然后根据待定系数法即可求得直线的解析式;(3)证明即可得到、点到的距离相等,从而证得结论.【解答】解:(1)反比例函数的图象经过点,;(2)如图,作轴于,延长交的延长线于,则,,,,点的纵坐标为,把代入得:点的坐标是;设:,则直线的解析式是:;(3)连接.设点的坐标为,点,在反比例函数的图象上,,,轴,轴,,,,,,,,、点到的距离相等,.【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,三角形的面积以及待定系数法求函数的解析式,(3)证得是解决本题的关键.19.(8分)2019年10月1日,是新中国70周年的生日,在首都北京天安门广场举行了盛大的建国70周年大阅兵,接受国家主席习近平的检阅,令国人振奋,令世界瞩目.在李克强总理庄严的指令下,56门礼炮,70响轰鸣,述说着56个民族,70载春华秋实的拼搏!下图1是礼炮图片,图2是礼炮抽象示意图.已知:是水平线,,,、的仰角分别是和,,,且.(1)求点的铅直高度;(2)求,两点的水平距离.(结果精确到,参考数据:,,【分析】(1)作,,,垂足分别为点,,.由且、可得,再由得,从而根据得出答案;(2)由知,由知,根据可以得出答案.【解答】解:(1)如图,作,,,垂足分别为点,,.在中,,,,,在中,,,,点的铅直高度是.(2)在中,,,在中,,,,,两点的水平距离约为.【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题,解题的关键是理解题意,结合图形构建合适的直角三角形,并熟练掌握三角函数的应用.20.(8分)某公司研发了一款成本为50元的新型玩具,投放市场进行试销售.其销售单价不低于成本,按照物价部门规定,销售利润率不高于,市场调研发现,在一段时间内,每天销售数量(个与销售单价(元符合一次函数关系,如图所示:(1)根据图象,直接写出与的函数关系式.(2)该公司要想每天获得3000元的销售利润,销售单价应定为多少元?(3)销售单价为多少元时,每天获得的利润最大,最大利润是多少元?【分析】(1)由待定系数法可得函数的解析式;(2)根据利润等于每件的利润乘以销售量,列方程可解;(3)设每天获得的利润为元,由题意得二次函数,写成顶点式,可求得答案.【解答】解:(1)设,为常数)将点,代入得解得与的函数关系式为:(2)由题意得:化简得:解得:,(不符合题意,舍去)答:销售单价为80元.(3)设每天获得的利润为元,由题意得,抛物线开口向下有最大值,当时,答:销售单价为90元时,每天获得的利润最大,最大利润是3200元.【点评】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点,难度中等略大.五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.(9分)如图,在正方形中,为边的中点,点在边上,且,延长交的延长线于点.(1)求证:;(2)若,求的长.【分析】(1)由正方形的性质与已知得出,证出,即可得出结论;(2)由,为的中点,得出,由勾股定理得出,由,得出,求得,即可得出结果.【解答】(1)证明:四边形为正方形,且,,,,,;(2),为的中点,,在中,,由(1)知,,,即:,,.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识,熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键.22.(9分)已知二次函数,是常数).(1)当,时,求二次函数的最小值;(2)当,函数值时,以之对应的自变量的值只有一个,求的值;(3)当,自变量时,函数有最小值为,求此时二次函数的表达式.【分析】(1)当,时,,即可求解;(2)当,函数值时,,对应的自变量的值只有一个,则△,即可求解;(3)分、、分别求解即可.【解答】解:(1)当,时,,当时,;(2)当,函数值时,,,对应的自变量的值只有一个,△,;(3)当时,抛物线对称轴为:直线①时,在自变量的值满足的情况下,随的增大而增大,当时,最小.,;②,当时,最小.,(舍去)③时,
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