数学（理）：第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ) 教案

第二章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)全国卷eq\a\vs4\al(5)年考情图解高考命题规律把握1.高考对本章的考查一般为1～3道小题．2.从考查内容上看主要涉及函数的图象，多为给出具体函数解析式判断函数的图象；函数的性质及函数性质的综合问题；指数、对数、幂函数的图象与性质；分段函数，既有求函数值，也有解不等式，常与指数、对数函数，零点相结合．3.本章一般不单独涉及解答题，在解答题中多与导数、不等式结合命题，试题难度较大.第一节函数及其表示1．函数与映射函数映射两集合A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域❶；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域❷.显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．3．分段函数❸若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交.[熟记常用结论](1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(3)函数是一种特殊的映射．()(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、选填题1．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是()解析：选CA选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C.2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()A．y＝(eq\r(x＋1))2 B．y＝eq\r(3,x3)＋1C．y＝eq\f(x2,x)＋1 D．y＝eq\r(x2)＋1解析：选B对于A，函数y＝(eq\r(x＋1))2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝eq\f(x2,x)＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.3．函数f(x)＝eq\r(2x－1)＋eq\f(1,x－2)的定义域为________．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,x－2≠0，))解得x≥0且x≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)4．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－1，x≤1，,5－x2，x>1，))则f(f(2))＝________.解析：由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1，所以f(f(2))＝1.答案：15．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则f(2)＝________.解析：∵函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)∴4＝－a＋2，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3－2x，∴f(2)＝－2×23－2×2＝－20.答案：－20eq\a\vs4\al(考点一求函数的解析式)eq\a\vs4\al([师生共研过关])[典例精析](1)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)[解](1)(换元法)令eq\f(2,x)＋1＝t，得x＝eq\f(2,t－1)，代入得f(t)＝lgeq\f(2,t－1)，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lgeq\f(2,x－1)，x∈(1，＋∞)．(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq\f(1,2).所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x，x∈R.(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，得f(x)＋2f(－x)＝2－x，①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x即f(x)＝eq\f(2x＋1－2－x,3).故f(x)的解析式是f(x)＝eq\f(2x＋1－2－x,3)，x∈R.[解题技法]求函数解析式的3种方法及口诀记忆待定系数法当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式解方程组法如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式口诀记忆解析式，如何定，待定换元解方程；已知函数有特征，待定系数来确定；复合函数问根源，内函数，先换元；两个函数有关系，方程组中破玄机.[过关训练]1．[口诀第3句]已知函数f(x－1)＝eq\f(x,x＋1)，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝eq\f(x＋1,x＋2) B．f(x)＝eq\f(x,x＋1)C．f(x)＝eq\f(x－1,x) D．f(x)＝eq\f(1,x＋2)解析：选A令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝eq\f(t＋1,t＋2)，即f(x)＝eq\f(x＋1,x＋2).故选A.2．[口诀第2句]若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)＝________.解析：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,a－b＋c＝5，,c＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－2，,c＝0，))∴g(x)＝3x2－2x.答案：3x2－2x3．[口诀第4句]已知f(x)满足2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，则f(x)＝________.解析：∵2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，①把①中的x换成eq\f(1,x)，得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq\f(3,x).②联立①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2fx＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，,2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋fx＝\f(3,x)，))解此方程组可得f(x)＝2x－eq\f(1,x)(x≠0)．答案：2x－eq\f(1,x)(x≠0)eq\a\vs4\al(考点二函数的定义域)eq\a\vs4\al([全析考法过关])[考法全析]考法(一)已知函数解析式求定义域[例1]求下列函数的定义域：(1)f(x)＝eq\f(\r(|x－2|－1),log2x－1)；(2)f(x)＝eq\f(lnx＋1,\r(－x2－3x＋4)).[解](1)要使函数f(x)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－2|－1≥0，,x－1>0，,x－1≠1，))解不等式组得x≥3.因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．(2)要使函数f(x)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,－x2－3x＋4>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－1，,x＋4x－1＜0，))解不等式组得－1＜x＜1.因此函数f(x)的定义域为(－1,1)．考法(二)求抽象函数的定义域[例2]已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定义域为()A．(－2,0) B．(－2,2)C．(0,2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))[解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜\f(x,2)＜1，,－1＜x－1＜1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＜x＜2，,0＜x＜2，))∴0＜x＜2，∴函数g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定义域为(0,2)，故选C.[答案]C考法(三)已知函数的定义域求参数的值(范围)[例3](1)若函数y＝eq\f(mx－1,mx2＋4mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))(2)若函数f(x)＝eq\r(ax2＋abx＋b)的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．[解析](1)∵函数y＝eq\f(mx－1,mx2＋4mx＋3)的定义域为R，∴mx2＋4mx＋3≠0，∴m＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝16m2－12m＜0，))即m＝0或0＜m＜eq\f(3,4)，∴实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))).(2)∵函数f(x)＝eq\r(ax2＋abx＋b)的定义域为{x|1≤x≤2}，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,f1＝0，,f2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,2)，,b＝－3，))∴a＋b＝－eq\f(9,2).[答案](1)D(2)－eq\f(9,2)[规律探求]看个性考法(一)是根据具体的函数解析式求定义域，已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．考法(二)是求抽象函数的定义域，有如下解法：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．考法(三)是考法(一)的逆运用，通常是转化为含参数的不等式求解找共性1.谨记函数定义域的有关口诀定义域，是何意，自变量，有意义；分式分母不为零，对数真数只取正；偶次根式要非负，三者结合生万物；和差积商定义域，不等式组求交集.2.函数定义域问题注意事项(1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围；(2)求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简；(3)求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式；(4)函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)的定义域的交集[过关训练]1．[口诀第1、2、3、4句]y＝eq\r(\f(x－1,2x))－log2(4－x2)的定义域是()A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2)C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]解析：选C要使函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2x)≥0，,x≠0，,4－x2>0，))解得x∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．[口诀第1句]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－eq\r(3)，eq\r(3)]，则函数y＝f(x)的定义域为________．解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－eq\r(3)，eq\r(3)]，所以x∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]3．[口诀第1、3句]若函数f(x)＝eq\r(x2＋ax＋1)的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________________．解析：若函数f(x)＝eq\r(x2＋ax＋1)的定义域为实数集R，则x2＋ax＋1≥0恒成立，即Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，即实数a的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]eq\a\vs4\al(考点三分段函数)[全析考法过关][考法全析]考法(一)分段函数求值[例1](1)(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，x≤0，,log3x，x>0，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))))＝________.(2)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥9，,ffx＋4，x＜9，))则f(7)＝__________________________________.[解析](1)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))＝log3eq\f(1,9)＝－2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))))＝f(－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2＝9.(2)∵7＜9，∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．又∵8＜9，∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.[答案](1)9(2)6考法(二)求参数或自变量的值(范围)[例2](1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，0)(2)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.[解析](1)∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))∴函数f(x)的图象如图所示．结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，则需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＜0，,2x＜0，,2x＜x＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2x＜0，))∴x＜0，故选D.(2)当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件[答案](1)D(2)－3[规律探求]看个性考法(一)是求分段函数的函数值．在求分段函数的函数值时，一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式．若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论．考法(二)是在考法(一)的基础上迁移考查分段函数中，已知函数值或不等关系求参数或自变量的值或范围．解与分段函数有关的方程或不等式，从而求得自变量或参数的取值(范围)时，应根据每一段的解析式分别求解．解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围找共性(1)无论考法(一)还是考法(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；(2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题[过关训练]1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≥4，,fx＋1，x＜4，))则f(1＋log25)＝________.解析：因为2＜log25＜3，所以3＜1＋log25＜4，则4＜2＋log25＜5，则f(1＋log25)＝f(1＋1＋log25)＝f(2＋log25)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,20).答案：eq\f(1,20)2．(2018·衡阳模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·2x，x≥0，,2－x，x＜0))(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝________.解析：∵f(－1)＝2－(－1)＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝4a＝1，解得a＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、题点全面练1．(2019·重庆调研)函数y＝log2(2x－4)＋eq\f(1,x－3)的定义域是()A．(2,3) B．(2，＋∞)C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4>0，,x－3≠0，))解得x>2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋eq\f(1,x－3)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D.2．(2018·合肥质量检测)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－2)，x>2，,x2＋2，x≤2，))则f(f(1))＝()A．－eq\f(1,2) B．2C．4 D．11解析：选C∵f(1)＝12＋2＝3，∴f(f(1))＝f(3)＝3＋eq\f(1,3－2)＝4.故选C.3．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f(g(1))＝1，则a＝()A．1 B．2C．3 D．－1解析：选A由已知条件可知f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，得a＝1.故选A.4．(2018·荆州联考)若函数f(x)的定义域是[1,2019]，则函数g(x)＝eq\f(fx＋1,x－1)的定义域是()A．[0,2018] B．[0,1)∪(1,2018]C．(1,2019] D．[－1,1)∪(1,2018]解析：选B由题知，1≤x＋1≤2019，解得0≤x≤2018，又x≠1，所以函数g(x)＝eq\f(fx＋1,x－1)的定义域是[0,1)∪(1，2018]．5．已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1))＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于()A.eq\f(7,4) B．－eq\f(7,4)C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)解析：选A令t＝eq\f(1,2)x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，故f(x)＝4x－1，则f(a)＝4a－1＝6，解得a＝eq\f(7,4).6．(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,ax＋b，x≤0))(0＜a＜1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()A．－2 B．2C．3 D．－3解析：选B由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①f(－1)＝a－1＋b＝3，②联立①②，结合0＜a＜1，得a＝eq\f(1,2)，b＝1，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1，x≤0，))则f(－3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.7．(2018·福州二模)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋a，x>0，,4x－2－1，x≤0.))若f(a)＝3，则f(a－2)＝()A．－eq\f(15,16) B．3C．－eq\f(63,64)或3 D．－eq\f(15,16)或3解析：选A当a>0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a>0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－eq\f(15,16).故选A.8．(2019·合肥质检)已知函数f(x)满足f(2x)＝2f(x)，且当1≤x＜2时，f(x)＝x2，则f(3)＝(A.eq\f(9,8) B.eq\f(9,4)C.eq\f(9,2) D．9解析：选C∵f(2x)＝2f(x)，且当1≤x＜2时，f(x)＝x2，∴f(3)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝eq\f(9,2).9．(2019·合肥模拟)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，且3f(x)＋5feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(3,x)＋1，则函数f(x)的解析式为________________________．解析：用eq\f(1,x)代替3f(x)＋5feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(3,x)＋1中的x，得3feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋5f(x)＝3x＋1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3fx＋5f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝\f(3,x)＋1，①,3f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋5fx＝3x＋1，②))①×3－②×5得f(x)＝eq\f(15,16)x－eq\f(9,16x)＋eq\f(1,8)(x≠0)．答案：f(x)＝eq\f(15,16)x－eq\f(9,16x)＋eq\f(1,8)(x≠0)10．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ln－x，x＜0，,－lnx，x>0，))若f(m)>f(－m)，则实数m的取值范围是________．解析：函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ln－x，x＜0，,－lnx，x>0，))当m>0时，f(m)>f(－m)，即－lnm>lnm，即lnm＜0，解得0＜m＜1；当m＜0时，f(m)>f(－m)，即ln(－m)>－ln(－m)，即ln(－m)>0，解得m＜－1.综上可得，m＜－1或0＜m＜1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若函数y＝f(x＋1)的值域为[－1,1]，则函数y＝f(3x＋2)的值域为()A．[－1,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[2,8]解析：选A函数y＝f(x＋1)的值域为[－1,1]，由于函数中的自变量取定义域内的任意数时，函数的值域都为[－1,1]，故函数y＝f(3x＋2)的值域为[－1,1]．故选A.2．(2018·山西名校联考)设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为()A．(－9，＋∞) B．(－9,1)C．[－9，＋∞) D．[－9,1)解析：选Bf[f(x)]＝f[lg(1－x)]＝lg[1－lg(1－x)]，其定义域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,1－lg1－x>0))的解集，解得－9＜x＜1，所以f[f(x)]的定义域为(－9,1)．故选B.3．(2018·安阳三校联考)若函数f(x)＝eq\r(mx2＋mx＋1)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是()A．[0,4) B．(0,4)C．[4，＋∞) D．[0,4]解析：选D由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,m2－4m≤0，))解得0＜m≤4.综上可得，0≤m≤4.4．(2019·珠海质检)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2ax＋3a，x＜1，,lnx，x≥1))的值域为R，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1] B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：选C由题意知y＝lnx(x≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f(x)的值域为R，则必有y＝(1－2a)x＋3a为增函数，且1－2a＋3a≥0，所以1－2a>0，且a≥－1，解得－1≤a＜eq\f(1,5．(2018·合肥质检)已知函数f(x)＝eq\r(mx2＋m－3x＋1)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________．解析：当m＝0时，函数f(x)＝eq\r(－3x＋1)的值域是[0，＋∞)，显然成立；当m>0时，Δ＝(m－3)2－4m≥0，解得0＜m≤1或m≥9.显然m＜0时不合题意．综上可知，实数m的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞)．答案：[0,1]∪[9，＋∞)(二)技法专练——活用快得分6．[排除法]设x∈R，定义符号函数sgnx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))则()A．|x|＝x|sgnx| B．|x|＝xsgn|x|C．|x|＝|x|sgnx D．|x|＝xsgnx解析：选D当x＜0时，|x|＝－x，x|sgnx|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgnx＝(－x)·(－1)＝x，排除A、B、C，故选D.7．[特殊值法]函数y＝eq\r(a－ax)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则logaeq\f(5,6)＋logaeq\f(48,5)＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C当x＝1时，y＝0，则函数y＝eq\r(a－ax)在[0,1]上为减函数，故a>1.∴当x＝0时，y＝1，则eq\r(a－1)＝1，∴a＝2.∴log2eq\f(5,6)＋log2eq\f(48,5)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)×\f(48,5)))＝log28＝3.8．[数形结合法]设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))则满足f(x)＋f(x－1)>1的x的取值范围是________．解析：画出函数f(x)的大致图象如图，易知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．又因为x>x－1，且x－(x－1)＝1，f(0)＝1，所以要使f(x)＋f(x－1)>1成立，则结合函数f(x)的图象知只需x－1>－1，解得x>0.故所求x的取值范围是(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)(三)素养专练——学会更学通9．[逻辑推理]具有性质feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f(x)＝x－eq\f(1,x)；②f(x)＝x＋eq\f(1,x)；③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0＜x＜1，,0，x＝1，,－\f(1,x)，x>1.))其中满足“倒负”变换的函数是()A．①③ B．②③C．①②③ D．①②解析：选A对于①，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)－x＝－f(x)，满足题意；对于②，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)＋x＝f(x)，不满足题意；对于③，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0＜\f(1,x)＜1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)>1，))即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x>1，,0，x＝1，,－x，0＜x＜1，))故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.10．[数学运算]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1，x≤0，,x－1，x>0，))g(x)＝2x－1，则f(g(2))＝__________，f(g(x))的值域为________．解析：g(2)＝22－1＝3，∴f(g(2))＝f(3)＝2.易得g(x)的值域为(－1，＋∞)，∴若－1＜g(x)≤0，f(g(x))＝[g(x)]2－1∈[－1,0)；若g(x)>0，f(g(x))＝g(x)－1∈(－1，＋∞)，∴f(g(x))的值域是[－1，＋∞)．答案：2[－1，＋∞)11．[数学抽象]设函数f：R→R，满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2018)＝________.解析：令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)·f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2.令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2018)＝2019.答案：2019

第二节函数的单调性与最值❶函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.❸对于∀x1，x2∈D，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0或eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0.eq\a\vs4\al(❻若函数fx的值域是开区间，则函数无最值；,若函数fx的值域是闭区间，则闭区间上的端点值就是最值.)1．函数的单调性❶(1)增函数、减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，xeq\o\al(❷,2)当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)❸，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)❹，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间❺.2．函数的最值❻前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为函数y＝f(x)的最大值M为函数y＝f(x)的最小值x1，x2的特征：(1)任意性；(2)有大小，即x1＜x2(x1>x2)；(3)属于同一个单调区间.对于∀x1，x2∈D，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0或eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＜0.(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域．(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.[熟记常用结论]1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性，在a＜0时具有相反的单调性．(2)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．2．复合函数的单调性对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．()(4)所有的单调函数都有最值．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、选填题1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝|x| B．y＝3－xC．y＝eq\f(1,x) D．y＝－x2＋4解析：选Ay＝3－x在R上递减，y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上递减，y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.2．函数f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上的最大值是()A.eq\f(3,2) B．－eq\f(8,3)C．－2 D．2解析：选A∵函数y＝－x与y＝eq\f(1,x)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上都是减函数，∴函数f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上是减函数，故f(x)的最大值为f(－2)＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).3．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]．答案：[－1,1]和[5,7]4．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))5．若函数f(x)满足“对任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)”，则满足f(2x－1)＜f(1)的实数x的取值范围为________．解析：由题意知，函数f(x)在定义域内为减函数，∵f(2x－1)＜f(1)，∴2x－1>1，即x>1，∴x的取值范围为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)eq\a\vs4\al(考点一确定函数的单调性区间)eq\a\vs4\al([全析考法过关])[考法全析]考法(一)确定不含参函数的单调性(区间)[例1](1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))和[2，＋∞)C．(－∞，1]和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))和[2，＋∞)(2)函数y＝eq\r(x2＋x－6)的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．[解析](1)y＝|x2－3x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x＋2，x≤1或x≥2，,－x2－3x＋2，1＜x＜2.))如图所示，函数的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))和[2，＋∞)．(2)令u＝x2＋x－6，则y＝eq\r(x2＋x－6)可以看作是由y＝eq\r(u)与u＝x2＋x－6复合而成的函数．令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝eq\r(u)在[0，＋∞)上是增函数，∴y＝eq\r(x2＋x－6)的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．[答案](1)B(2)[2，＋∞)(－∞，－3]考法(二)确定含参函数的单调性(区间)[例2]试讨论函数f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．[解]法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))，则f(x1)－f(x2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))＝eq\f(ax2－x1,x1－1x2－1).由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1>0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．法二：(导数法)f′(x)＝eq\f(ax′x－1－axx－1′,x－12)＝eq\f(ax－1－ax,x－12)＝－eq\f(a,x－12).当a>0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a＜0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．[规律探求]看个性考法(一)中的函数不含有参数．解决此类问题时，首先确定定义域，然后利用单调性的定义或借助图象求解即可．考法(二)是在考法(一)的基础上增加了参数，解决此类问题除利用定义外，导数法是一种非常有效的方法．注意分类讨论思想的应用找共性无论考法(一)还是考法(二)，判断函数单调性常用以下几种方法：(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断[过关训练]1．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\r(x－x2)的单调递增区间为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：选D令t＝eq\r(x－x2)，由x－x2≥0，得0≤x≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为g(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t是减函数，所以f(x)的单调递增区间即t＝eq\r(x－x2)的单调递减区间．利用二次函数的性质，得t＝eq\r(x－x2)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，即原函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).故选D.2．判断函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x1，x2是任意两个正数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(a,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(a,x2)))＝eq\f(x1－x2,x1x2)(x1x2－a)．当0＜x1＜x2≤eq\r(a)时，0＜x1x2＜a，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，eq\r(a)]上是减函数；当eq\r(a)≤x1＜x2时，x1x2>a，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在[eq\r(a)，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)在(0，eq\r(a)]上是减函数，在[eq\r(a)，＋∞)上是增函数．eq\a\vs4\al(考点二函数单调性的应用)eq\a\vs4\al([全析考法过关])[考法全析]考法(一)比较函数值的大小[例1]已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c[解析]由f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))).由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．∵1＜2＜eq\f(5,2)＜e，∴f(2)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))>f(e)，∴b>a>c.[答案]D考法(二)解函数不等式[例2](1)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))))＜f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(2)定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________[解析](1)由f(x)为R上的减函数且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))))＜f(1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))>1，,x≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|＜1，,x≠0.))所以－1＜x＜0或0＜x＜1.故选C.(2)因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a－2＜a2－a≤2解得0≤a＜1.[答案](1)C(2)[0,1)考法(三)利用函数的单调性求参数[例3]若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x＜1，,－ax，x≥1))是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________．[解析]由题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1＜0，,3a－1×1＋4a≥－a，,a>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜\f(1,3)，,a≥\f(1,8)，,a>0，))所以a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,3))).[答案]eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,3)))[规律探求]看个性考法(一)是比较函数值的大小．解决此类问题时，应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较大小．考法(二)是求解与函数单调性有关的抽象函数不等式．求解此类问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用．考法(三)是在考法(一)和考法(二)基础上的更深一步的拓展，根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较找共性对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是：[过关训练]1．已知函数f(x)＝log2x＋eq\f(1,1－x)，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则()A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)＜0 D．f(x1)>0，f(x2)>0解析：选B因为函数f(x)＝log2x＋eq\f(1,1－x)在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1,2)时，f(x1)＜f(2)＝0，当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，即f(x1)＜0，f(x2)>0.故选B.2．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤4，,log2x，x>4.))若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1] B．[1,4]C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：选D作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D.3．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，则不等式f(logeq\f(1,9)x)>0的解集为________．解析：∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0.故原不等式f(logeq\f(1,9)x)>0可化为f(logeq\f(1,9)x)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))或feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＜f(logeq\f(1,9)x)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))，∴logeq\f(1,9)x>eq\f(1,2)或－eq\f(1,2)＜logeq\f(1,9)x＜0，解得0＜x＜eq\f(1,3)或1＜x＜3.所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x0＜x＜\f(1,3)或1＜x＜3)).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x0＜x＜\f(1,3)或1＜x＜3))eq\a\vs4\al(考点三函数的最值)eq\a\vs4\al([师生共研过关])[典例精析](1)已知函数y＝eq\r(1－x)＋eq\r(x＋3)的最大值为M，最小值为m，则eq\f(m,M)的值为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)(2)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x＜1))的最大值为________．[解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,x＋3≥0))得函数的定义域是{x|－3≤x≤1}，y2＝4＋2eq\r(1－x)·eq\r(x＋3)＝4＋2eq\r(－x＋12＋4)，当x＝－1时，y取得最大值M＝2eq\r(2)；当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，所以eq\f(m,M)＝eq\f(\r(2),2).(2)当x≥1时，函数f(x)＝eq\f(1,x)为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.[答案](1)C(2)2[解题技法]求函数最值(值域)的常用方法单调性法易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值(值域)图象法能作出图象的函数，用图象法，观察其图象最高点、最低点，求出最值(值域)基本不等式法分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量(如x，y)的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值(值域)[过关训练]1．函数f(x)＝eq\f(1,x－1)在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是eq\f(1,3)，则a＋b＝________.解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fa＝1，,fb＝\f(1,3)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)＝1，,\f(1,b－1)＝\f(1,3)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4.))所以a＋b＝6.答案：62．函数y＝eq\r(x)－x(x≥0)的最大值为________．解析：令t＝eq\r(x)，则t≥0，所以y＝t－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，当t＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(1,4)时，ymax＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)3．设0＜x＜eq\f(3,2)，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq\f(9,2)，当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq\f(3,4)时，等号成立．∵eq\f(3,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，∴函数y＝4x(3－2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2)))的最大值为eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、题点全面练1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是()A．y＝eq\f(1,1－x) B．y＝cosxC．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x解析：选D函数y＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在(－1,1)上为减函数．2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)解析：选D由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．3．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为()A．－3 B．－2C．－1 D．1解析：选B因为f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上为增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.故选B.4．函数f(x)＝eq\f(x,1－x)的单调递增区间是()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1)，(1，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：选C因为f(x)＝eq\f(－1－x＋1,1－x)＝－1＋eq\f(1,1－x)，所以f(x)的图象是由y＝－eq\f(1,x)的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到，而y＝－eq\f(1,x)的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故选C.5．(2019·赣州模拟)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是()A．(－∞，0] B．[0,1)C．[1，＋∞) D．[－1,0]解析：选B由题知，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x＜1，))可得函数g(x)的单调递减区间为[0,1)．6．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,3)，－3)) B．[－6，－4]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，－2\r(2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，－3))解析：选B由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－eq\f(a,2)∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．7．函数y＝eq\f(2－x,x＋1)，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是()A．(1,2) B．(－1,2)C．[1,2) D．[－1,2)解析：选D函数y＝eq\f(2－x,x＋1)＝eq\f(3－x－1,x＋1)＝eq\f(3,x＋1)－1，且在x∈(－1，＋∞)时单调递减，在x＝2时，y＝0；根据题意x∈(m，n]时y的最小值为0，所以－1≤m＜2.8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝eq\f(fx,x)在区间(1，＋∞)上一定()A．有最小值 B．有最大值C．是减函数 D．是增函数解析：选D由题意知a＜1，又函数g(x)＝x＋eq\f(a,x)－2a在[eq\r(|a|)，＋∞)上为增函数，故选D.9．(2019·湖南四校联考)若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x2＋a|x－2|，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋ax－2a，x≥2，,x2－ax＋2a，x＜2.))又∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)≤2，,\f(a,2)≤0，))∴－4≤a≤0，∴实数a的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]10．已知函数f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(4,9)))，则函数g(x)＝f(x)＋eq\r(1－2fx)的值域为________．解析：∵eq\f(3,8)≤f(x)≤eq\f(4,9)，∴eq\f(1,3)≤eq\r(1－2fx)≤eq\f(1,2).令t＝eq\r(1－2fx)，则f(x)＝eq\f(1,2)(1－t2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤t≤\f(1,2)))，令y＝g(x)，则y＝eq\f(1,2)(1－t2)＋t，即y＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤t≤\f(1,2))).∴当t＝eq\f(1,3)时，y有最小值eq\f(7,9)；当t＝eq\f(1,2)时，y有最大值eq\f(7,8).∴g(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,8))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,8)))二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．函数y＝log(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是()A．(－1,1] B．(－∞，1)C．[1,3) D．(1，＋∞)解析：选C令t＝－x2＋2x＋3，由－x2＋2x＋3>0，得－1＜x＜3.函数t＝－x2＋2x＋3的对称轴方程为x＝1，则函数t＝－x2＋2x＋3在[1,3)上为减函数，而函数y＝logt为定义域内的减函数，所以函数y＝log(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是[1,3)．2．(2019·西安模拟)已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(0,1] B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)解析：选C要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则a>0且a－1≥0，∴a≥1.故选C.3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax2－x－\f(1,4)，x≤1，,logax－1，x>1))是R上的单调函数，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：选B由对数函数的定义可得a>0，且a≠1.又函数f(x)在R上单调，则二次函数y＝ax2－x－eq\f(1,4)的图象开口向上，所以函数f(x)在R上单调递减，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,\f(1,2a)≥1，,a×12－1－\f(1,4)≥loga1－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,0＜a≤\f(1,2)，,a≥\f(1,4).))所以a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))).4．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．解析：由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a>0，,a＋3>0，,a2－a>a＋3，))解得－3＜a＜－1或a>3，所以实数a的取值范围为