第八章 恒定电流(精编版 姜)

第一节电流与电阻1.电流:电荷的定向移动形成电流。电流形成条件

(导体内)：导体内有可以自由运动的电荷；导体内要维持一个电场(导体两端存在电势差)。一、电流第八章恒定电流电流强度：单位时间通过导体某一横截面的电量。方向：正电荷运动的方向，有方向的标量。单位：A(安培)恒定电流：电流的大小和方向不随时间而变化。几种典型的电流分布1.粗细均匀的金属导体2.粗细不均匀的金属导线3.半球形接地电极附近的电流4.电阻法勘探矿藏时的电流5.同轴电缆中的漏电流可见，导体中不同部分电流分布不同，电流强度I

不能细致反映导体中各点电流分布。2.电流密度

精确描述导体中电流分布情况。电流密度定义：方向与该点正电荷运动方向一致；大小等于垂直于电流方向的单位面积的电流。电流强度与电流密度的关系为单位：※电流密度的微观意义叫做漂移速度（自由电子定向运动速度的平均值）e电子电量的绝对值n自由电子数密度电流的传播速度就是电场的传播速度

铜导线3.电流连续性方程若电流的大小和方向不随时间变化，这种电流称恒定电流，通常也称直流

对恒定电流，导体内任何封闭曲面内的电量都不随时间变化电流的恒定条件二、欧姆定律的微分形式对于一般的金属导体，在恒定条件下欧姆定律表达形式为

其中R为导体的电阻，U为导体两端的电势差。为导体的电阻率

称为导体的电导率

均匀的导体：三、电阻

如果导体的横截面积不均匀，导体的电阻应通过下述积分来计算表示t℃时的电阻率，表示0℃时的电阻率，称电阻的温度系数

【例题8-1

】

高压输电线在一次事故中有电流I0沿铁塔流入大地，设铁塔的接地电极为一半球形导体，电流在半球面上均匀分布。大地土质看成均匀分布，电导率为σ。若这时有人在铁塔附近，他的两脚到电极中心的距离分别为r1和r2，如图8-5所示。计算这人两脚之间的电压（叫做跨步电压）。

解：由于电极是半球形，土质均匀。所以可以认为大地中电流分布是辐射状的。以电极中心O为球心，在大地中取一个半径为r的半球面，则半球面上各点的电流密度j大小相等，且沿半径方向。半球面上的电流为所以

图8-5跨步电压由欧姆定律的微分形式可得，距O点为r处的场强大小为图8-5跨步电压人两脚间的电压为上述结果说明人距铁塔越近（r1和r2越小）、迈得步子（r1-r2）越大，两脚之间的电压就越大。【例题8-2

】

在图8-6中，同轴金属圆筒的长为l，内、外筒的半径分别为R1和R2，两筒间充满电阻率为ρ的均匀材料。若给内、外两筒之间加上电压，电流将沿径向由内筒流向外筒（该电流常称漏电电流），此时内、外筒之间的材料对该电流的阻力称漏电电阻。试计算其漏电电阻。由于各个薄圆筒形材料是相互串联的，它们的总电阻R应为各薄圆筒形材料的电阻之和，故有图8-6漏电电阻的计算lR2R1drrI解：由电流的方向可知，通过电流的“横截面”是与圆筒共轴的圆柱面，而“长度”则为内、外筒的间隔。由于电流穿过的材料截面随长度变化，故不能直接用R=ρl/S计算漏电电阻。但是，若设想两圆筒间的材料是由许多个薄圆筒形材料层层套叠而成，以r表示其中任一个薄圆筒形材料的半径，其面积就为2πrl

。若用dr表示该薄圆筒形材料的厚度，则这一薄圆筒形材料的电阻dR可写为第二节电动势电源电源：电源内部，“非静电力”作功，把电荷从电势能低的一端移到电势能高的一端，把其他形式的能量转变成电能。电动势：电源把单位正电荷经内电路从负极移到正极的过程中，非静电力所作的功。

定义式：作用：通过内部电荷的移动，保持外电路电场E存在。单位：J·C-1，即V电动势反映电源做功能力，与外电路无关。是有方向的标量，规定其方向为电源内部负极指向正极。说明：从场的观点来看：非静电力对应非静电场Ek。非静电场把单位正电荷从负极B经电源内部移到正极A作功为第三节电路的基本定律一、含源电路的欧姆定律部分电路的欧姆定律：电阻R单位：

（欧姆，简称为欧）IU通过一段导体的电流与导体两端的电势差成正比，与导体电阻成反比。如图所示的简单闭合回路，是电源的内阻负载电阻上的电势降落（电压）电源内的电阻上的电势降代入闭合电路欧姆定律电路中若有多个电源和负载电阻组成，闭合电路欧姆定律的一般表示：总内电阻电路中的电流总负载电阻总电动势多个电源时，规定：先任意设定电路中电流方向，若电动势指向与电流方向一致，该电动势为正，否则为负。计算结果中电流若为正，则与设定方向一致，否则相反。写成一般形式，即为一段含源电路的欧姆定律：对于一段包含几个电源且各部分电流不相等的电路的端电压的计算（如图中A、B间的电势差）右边各项正负号规定：先任意设定电路顺序方向，电流方向与电路顺序方向一致的电阻上的电势降取“＋”号，否则取“－”号；电动势指向与电路顺序方向一致的该电动势取“＋”号，否则取“－”号。【例题8-3

】一段复杂含源电路如图8-15所示，求A、B两端的电势差。图

8-15一段复杂含源电路解：按含源电路的欧姆定律的符号规则可得A、B两端的电势差二、基尔霍夫定律（1）基尔霍夫第一定律

流入任一个节点的电流和流出该节点的电流的代数和等于零，即

也可表述为流入任一个节点的电流之和等于流出该节点的电流的之和。（2）基尔霍夫第二定律

沿任一个闭合回路的电动势的代数和等于回路中各电阻上电势降落的代数和，即

（1）如果电路中有n个节点，那么其中只有n-1个节点的电流方程是独立的，由此列出n-1个节点方程。应用基尔霍夫第一和第二方程组求解复杂电路问题时，要注意以下几点：（3）支路的电流方向可以任意假定，若解出的电流值为负值，说明电流的实际方向与假定方向相反。（2）选取闭合回路也须注意彼此的独立性，即每一新选的回路中，至少有一段电路是已选过的回路中未曾出现过的，这样所得的一组闭合回路方程将是独立的。（4）独立方程的个数（包括第一、第二方程组）应等于所求未知数的个数。【例题8-4

】

求图中各支路电流。解:（1）设定各未知电流及方向，如图8-16所示。

（2）图中只有A、D