河南省信阳市第一高级中学2021届高三数学入学考试试题 文

2021届高三入学调研考试卷

文科数学

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合”={1,2,5},N={x|x<2},故"N等于（）

A.{1}B.{5}C.{1,2}1）.{2,5}

2.若复数z=（i+l）（i—2）,则复数z的虚部是（）

A.1B.-1C.3D.-3

3.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，

则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

26123

4.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证

明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为30。，

若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取6=1.732）,则落在小正方形（阴

影）内的米粒数大约为（）

A.134B.67C.182D.108

5.已知XG(0,%),则/。)=852了+411%的值域为()

99

A.(0,-]B.10,1)C.(0,1)D.[0,-]

88

6.已知正项等比数列{《,}满足：024t=16%,生+%=2。，则二（)

A.16B.-16C.15D.-15

x-y+2<0

7.设x、y满约束条件xNl,贝ljz=2x-4y的最小值是（）

x+y-7<0

A.一2B.-13c.I）.-20

8.函数y=x+cosx的大致图象是（

n

n

T2

9.执行如图所示的程序框图，若输入〃=10,则输出的S的值是（）

9n10D，

A.B.—c>（

W11H

,222

io.已知椭圆G：*"+步yy侬叫＞0）和双曲线G：*X-/yV收＞。也＞。）,

若椭圆的离心率勺=手，椭圆和双曲线渐近线的交点与椭圆其中一个焦点的连线垂直于x

轴.则双曲线其中一条渐近线的斜率为（）

A.2百B.上u.—D

3-T

11.己知函数f（x）=lnx-or（aeR）的图象与直线x-y+l=O相切，则实数。的值为（）

c.-4-1

A.--1B.eD.2-l

ee

12.已知定义域为R的函数/（x）是偶函数，且对任意内，%€（0,+8）,"*）7a2）＞0.设

不一9

3

«=/(|),^=/(log37),c=/(-0.8),贝M)

A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知。=(1,1),b=(2,m),a±(a-6),则|6|=.

14.已知数列｛〃"｝的前”项和公式为S“=2〃2-〃+1,则数列｛%｝的通项公式为.

15.已知抛物线V=8x的焦点F，过F的直线与抛物线交于A,B两点,贝/必1+4|aI的

最小值是.

16.《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四

尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1

尺(如图，刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几

何体”若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为.

4

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤.

17.(12分)某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形

式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等).现统计了某班50名学生

一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),

[8,10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中机的值；

(2)求该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间.

0246810时间(h)

分)如图，在四边形中，NB=

18.(12ABCZ)AB=6，SMBC=工―•

(1)求NACE的大小；

TT

(2)若8CJ.C0,NADC=—,求4)的长.

19.（12分）如图，在四棱锥尸-"8中，平面平面R4。，AD//BC,

AB^BC^AP=-AD,ZAPD=ZBAD=90°.

2

(1)证明：PD1.PB；

(2)设点V在线段PC上，且PM=：FC,若AMBC的面积为毡，求四棱锥P-A88

的体积.

20.(12分)已知函数/。)="半士+1.

e

(1)求f(x)的单调区间；

(2)当xNO时，04/(x)41,求。的取值范围.

r22

21.(12分)已知椭圆C:=+\v=l(a>6>0)的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以

a，b~

椭圆c的长轴长为直径的圆与直线x+y-2=0相切.

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)设过椭圆右焦点且不平行于X轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在X轴上

是否存在定点E,使得E4-E8为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请

说明理由.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

fx=2+2cos6Z

在直角坐标系X。），中，曲线的参数方程为/为参数），以坐标原点为极点,

[y=4+Q2sina

X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为夕=4sind.

（1）把G的参数方程化为极坐标方程；

（2）求G与02交点的极坐标（夕40，0〈。＜2万）.

23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数/(x)=|x-a|+|x+b|(a>0,b>0).

(1)当。=〃=1时，解不等式/(x)>x+2；

(2)若/(x)的值域为⑵E),求」一+」一21.

a+1/?+1

2021届高三入学调研考试卷

文科数学答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.【答案】C

【解析】集合/={1,2,5},N={x|x42},则MN={1,2}.

2.【答案】B

【解析】z=(z+l)(z-2)=-3-z,则复数z的虚部是T.

3.【答案】D

【解析】现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本

事件总数"=6,

乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m=2,

，乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率p=-=-=-.

n63

4.【答案】B

【解析】设大正方形的边长为1,则小直角三角形的边长为,

22

则小正方形的边长为且-,，小正方形的面积S=(^-1)2=1--,

22222

则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为

1----行

-y^-x500=(1-^-)x500»(1-0.866)x500=0.134x500=67.

5.【答案】D

【解析】由/(x)=cos2x+sinx=1-2sin2x+sinx,

设sinx=，，

x£(0,O,/.re(0,1],

199

*'-g(/)=-2(z——)~9g(t)€[0,—],

9

即/■。）=8$2*+$也》的值域为[0,-].

8

6.【答案】C

【解析】由等比数列的性质得《=%%=16区.所以火=16,

4（1引）一心

又因为%+。5=20,所以%=4,所以4=1,q=2,S4=一1D.

7.【答案】A

x-y+2<0

【解析】由x、y满约束条件x>l作出可行域如图,

x+y-l<0

X=11z

联立x+y_7=。,解得/6），化目标函数z=2Iy为

由图可得，当直线y=过点41,6）时,

直线在'轴上的截距最大，z有最小值为—22.

8.【答案】A

【解析】由于F（x）=x+cosx,.-.f（-x）=-x+cosx,

f{-X）H/（X）,且/（-X）*-/（X）,

故此函数是非奇非偶函数，排除B,C；

TTTT7T7t71

又当x时，吟=—+COS—=—

222

即小）的图象与直线kX的交点中有一个点的横坐标盯，排除D.

9.【答案】B

【解析】模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量

111

S=—+~++的值,

1x22x3…10x11

11

可得s=----1-----1-H---------------

1x22x3…10x11•+之»•♦•+*'=1一

10.【答案】D

【解析】设椭圆的半焦距为双曲线的半焦距为。2,双曲线的一条渐近线与椭圆的交点

4

所以双曲线的渐近线的斜率为女=二=里二£=.

平］q6

11.【答案】C

【解析】由/(x)=lnx-or,(aeR)得r(x)='—a,

X

设切点横坐标为修，依题意得并且lnx0+1,

解得4=W-1，则实数。的值为下-1.

ee

12.【答案】B

［解析】根据题意，满足对任意X,,W€(0，+8)，“*)二"〜)>0,

苦一工2

则函数/(x)在(0,”)上为增函数，

又由/(X)是偶函数，则c=/(-0.83)=/(0.83),

又由0.83<l<|=|log33=log3旧〈logs7，则cva<Z?.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.【答案】2

【解析】a-b=ni),

a-L(a-b),a•(a-&)=-1+1-m=0,.•.m=0；

/.&=(2,0);A1*1=2.

2n=1

14.【答案】册=

4〃一3n>2S.neN+

【解析】由S“=2〃2—"+1可知，当〃=1时，a,=S,=2-l+l=2.

当且〃eN,时，a“=S“-S,i=2〃2-〃+1-[2(〃-1)2-(〃-1)+1]=4W-3,

(2n=1

则数列｛〃“｝的通项公式为%=

〔4〃-3n>GN+

15.【答案】18

【解析】抛物线>=8%的焦点尸(2,0),

设4(%),%),B(x2,y2),则|E4|+4|汽8|=玉+2+45+2)=玉+4%+10,

当直线43斜率不存在时，1^1+41/^1=2+4x2+10=20,

当直线4?斜率存在时，设直线43的方程为y=^(x-2)(左*0),

2222

代入y=8x得kx-(4&2+8)x+4k=0,/.x(x2=4,

4

FA\+4\FB\=—+4X2+W>2+10=18,当且仅当毛=1时取等号.

x2

.••I必|M|F例的最小值是18.

16.【答案】41乃

【解析】由已知得球心在几何体的外部，

设球心天几何体下底面的距离为x,

则/?2=9+（3）2=5+1）2+（好）2,解得x=2,

22

•41

R2=—，，该球体的表面积S=41万.

4

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤.

17.【答案】(1)/n=O.l；(2)5.08.

【解析】(1)由频率分布直方图得:0.06x2+0.08x2+0.2x2+2m+0.06x2=l,解得加=0.1.

(2)学生的平均学习时间为：1x0.12+3x0.16+5x0.4+7x0.2+9x0.12=5.08.

18.【答案】(1)£；(2)班.

62

【解析】(1)在A4BC中，SMBC=；|A即忸C|sin8,

••・由题意可得：-xV3xBCxsin—=^,

234

BC=y/3>AB=BC,

2乃7T

又/B=一,:,ZACB=~.

36

(2)BC±CD,：.ZACD=-,

3

由余弦定理可得：

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-COS—=(^)2+(>^)2-2X^X^X(-1)=9,

32

AC=3，

3xsinf3正

ACsinZACO

.•.在AACD中，由正弦定理可得:AD=

.乃一2

sinZ.ADCsin—

4

19.【答案】（1）见解析；（2）2G.

【解析】证明：（1）ZS4D=90°,;.BAVAD,

平面ABC。_L平面交线为4）,

.•.84，平面Q4D,从而54_LP3，

ZAPD=90°,:,AP^PD,

BAoAP=A,平面

P3u平面R4B,：.PDLPB.

(2)设加=2”，则AB=3C="=m,PD=6m，

由(1)知84_L平面Q4T),:.BA±AP，BP=而=及机，

取A。中点F,连结CF,PF,则C尸〃84,CF=m,

且由(1)知54_L平面R4O,，C尸•！平面R4。，:.CF±PF,

PF=gAD=m,pc=JCF，+PF?=五tn，

PM=-PC,:.CM^-CP,

33

2

Lw8c=TSMBC=%乂7BCxJPB-(—BC)'=m",

3J2V2o

由且〃合=2"，解得机=2,

63

在八^4£＞中，P到AD的距离/?=丝丝=画=6,

AD2

：.P到平面ABCD的距离〃=〃=6，

・•・四棱锥月―的体积匕-88=9诋葭"=99(2+4*2乂6=2右.

20.【答案】（1）见解析；（2）[—―^―,-

【解析】解：（1）r（x）="+Dd）

G*d〃(x+—)(x-2)

①当a>0时，/，*)=______0.______

ex

令/'(x)=0,解得：x,,刍=2,且为<&,

a

当》€(-00,-4)。(2,+8)时，f'(x)<0,

a

当xe(-±2)时，/(*)>0,

a

故/(X)在(-1,2)单调递增，在(-00,-3，(2,^0)单调递减,

aa

x—2

②当a=0时，/'(%)=...—,

e

故/(X)在(TO⑵单调递增，在(2,+oo)单调递减，

③当一！<。<0时，令r(X)=O,解得：石=2,工2=-,且百〈工2，

2a

故/(X)在(v,2),(-L+00)单调递增，在(2,_!)单调递减，

aa

④当“=—g时，/口)=与空..0,故/(X)在R单调递增，

⑤当。<--时，X—...，工2=2且改<入2，

2]a

故/(X)在(7,-3，(2,”)单调递增，在(-2,2)单调递减.

aa

(2)由/(0)=0及(1)知:

①a2O时，〃2)=丝1+不合题意；

e

②-g<a<0时，。需满足条件：

极大值/(2)=*?+1<1,解得

11

极小值/(--)=l-e">l-e-2>0恒成立，

a

当x>―-时/(x)恒成立得ax2+x-l<0,(―~^)2»即a-~~^，

.11

故——<a<——；

24

③a=一时，/(X)在[0,+«>)递增，/(x)>/(0)=0,/(幻=一生1学1+1<1,

22e

故"=一!；

2

111

④。时，极大值/(一—)=1一*<1恒成立，

2a

12*4

极小值/(2)=4'。+V1+1ZO,解得〃之一e£_+111

e4

当x>2时/(x)41恒成立得依2+x-iwo，即aV-；,

.Le?+1,1

故------<a<——，

42

综上，。的范围是［-《FT.

21•【答案】(1)—+/=1；(2)见解析.

2

b=ca=42

|0+0-2|

【解析】(1)由题意知,解得小=1

a二V尸2

c=\

b2+c2=a2

则椭圆C的方程为]+y2=l.

(2)当直线的斜率存在时，设直线y=%(x-i),

工+2_]

联立<W+.V=，得(1+2公)d-4〃x+2炉-2=0,/=8公+8>0，

y=k{x-\)

4k22k2-2

,,XA+/=77F'*=币*

假设X轴上存在定点上(天),0)，使得E4.a?为定值，

・•・EAEB=(XA-x0,yA)-(xB-xQ,yB)=xAxB-x0(xA+4)+*+丫4%

2

=xAxB-"人+/)+x0+k\xA-1)(4-1)

2

=(l+k")xAxB-(x04-k)(xA+xB)+x0~4-k~

22

_