自动控制原理全套ppt课件(完整版)

1、自动控制原理 自动控制理论第1章 绪论第2章 控制系统建模第3章 线性系统的时域分析法第4章 线性系统的根轨迹法第5章 线性系统的频率法第6章 控制系统的校正第7章 非线性控制系统分析第1章 绪论自动控制发展简介自动控制系统的主要任务与基本要求自动控制的基本原理与方式开环控制闭环控制复合控制自动控制系统的分类自动控制系统实例温度控制系统速度控制系统位置控制系统什么是自动控制？其研究内容有哪些？所谓自动控制，是指在没有人直接参与的情况下，通过外加的设备或装置（称为控制器），使机器、设备或生产过程（称为被控对象）的某个工作状态或参数（称为被控变量）自动地按照预定的控制目标运行。自动控制原理研究的是

2、自动控制系统中的普遍性问题，首先研究其组成和基本结构，然后建立控制系统的数学模型，在数学模型的基础上便可以计算各个信号之间的定量关系，进而分析出自动控制系统可否实现预定的控制目标，并研究怎样提高自动控制系统的控制效果。1.1 自动控制发展简介古代自动控制装置经典控制理论现代控制理论智能控制理论古代自动控制装置我国西汉时代（公元前200多年）发明的指南车东汉时期的张衡在公元132年发明的候风地动仪北宋时期（公元1068-1089年）苏颂和韩公廉制成了一座水运仪象台，它是一个根据被调节量偏差进行调节的闭环非线性自动调节系统古代罗马人依据反馈原理构建的水位控制装置，至今仍在抽水马桶的水位控制中使用1

3、788年英国人瓦特（Watt）发明的控制蒸汽机速度的离心式调速器，在自动控制装置中最具代表性，也对后世的自动控制技术产生了深远的影响1. 经典控制理论英国数学家劳斯（Routh）和德国数学家胡尔维茨（Hurwitz）分别在1877年和1899年独立地建立了直接根据代数方程的系数判别系统稳定性的准则1932年，美国物理学家奈奎斯特（Nyquist）根据控制系统的频域特性，提出了一种根据开环系统的稳态正弦输入响应来判别闭环系统稳定性的方法伯德（Bode）于1945年提出了用对数频率特性曲线分析反馈控制系统的方法以美国数学家维纳（Wiener）1948年出版的名著控制论-关于在动物和机器中控制和通讯

4、的科学为标志，作为一门独立的科学理论产生。同年，美国科学家伊万斯（Evans）创立了根轨迹分析方法2. 现代控制理论1956年，美国数学家贝尔曼（Bellman）提出了离散多阶段决策的最优性原理，创立了动态规划1956年,前苏联科学家庞特里亚金（Pontryagin）提出极大值原理最优控制1959年美国数学家卡尔曼（Kalman）等人提出了著名的卡尔曼滤波器20世纪70年代瑞典控制理论学者奥斯特隆姆（Astrom）和法国控制理论学者朗道（Landau）在自适应控制理论和应用方面作出了贡献。3. 智能控制理论60年代初期，史密斯（Smith）提出采用性能模式识别器来学习最优控制方法的新思想196

5、5年，美国的扎德（Zadeh）创立了模糊集合论，为解决复杂系统的控制问题提供了强有力的数学工具1966年门德尔（Mendel）首先提出了“人工智能控制”的概念1971年，傅京逊首次正式提出智能控制这个新兴的学科领域。1974年，英国工程师曼德尼（Mamdani）将模糊集合和模糊语言用于锅炉和蒸汽机的控制，取得良好的控制效果。80年代中后期，神经网络的研究获得了重要进展，神经网络理论和应用研究为智能控制的研究起到了重要的促进作用。1.2 自动控制系统的主要任务与基本要求自动控制系统的要求应由自动控制所需完成的主要任务决定1.2.1 自动控制的主要任务自动控制的主要任务就是在没有人直接参与的情况下

6、，应用控制器自动地、有目的地操纵被控对象，使得被控变量能够按期望的规律变化进而达到预期的目的。被控对象-要进行控制的受控客体。它可以是一种设备，也可以是某种过程被控变量-是一种被测量和被控制的量值或状态。系统-由一些相互联系、相互制约的环节或部件组成，并且具有一定功能的整体，每个系统都有输入量和输出量控制器-作用于被控对象的设备或装置控制系统-含有控制器和被控对象的系统1.2.2 自动控制系统的基本要求1. 稳定性如果被控变量的实际值与期望值的偏差能随时间增长逐渐减小并趋于恒定，则系统就是稳定的时间偏差2. 快速性和平稳性快速性是指要求控制系统尽可能快地完成控制任务，可以用过渡过程所需时间来衡

7、量；平稳性是指动态过程振荡的振幅和频率，即被控变量围绕给定值摆动的幅度和次数曲线所对应控制系统快速性优于所对应控制系统，但平稳性次之时间输出给定值3. 准确性准确性可用稳态误差衡量，它是在动态过程结束后，期望的稳态输出值与实际的稳态输出值之差。误差越小，系统的控制精度越高，准确性越好。稳态误差也是衡量控制性能优劣的一项重要指标，往往决定控制任务的实现，因此在设计时应尽可能地减小稳态误差。在研究和设计控制系统时，上述性能常常相互矛盾：如要求稳态精度很高时，往往导致动态性能的恶化，甚至不稳定；为保证控制系统的稳定性，可能会牺牲快速性。所以在设计控制系统时，一般需要在各性能之间进行折中考虑。1.3自

8、动控制的基本原理与方式-开环控制、闭环控制和复合控制1.3.1 开环控制开环控制方式是指控制装置与被控对象之间只有顺向作用而没有反向联系的控制过程，按照这种方式组成的系统称为开环控制系统1. 按给定值控制作用信号是单方向的，形成开环，这是所有开环系统的基本特征例如，电炉温度控制系统就属于按给定值控制的开环系统控制系统的任务：保持电炉温度恒定在给定值被控对象被控变量温度T工作原理：手柄给定 调压器电压 电阻丝电流 炉温 电炉电阻丝调压器220V手柄炉门2. 按扰动控制测量装置先对扰动进行测量，然后利用得到的扰动值，通过执行装置修正控制作用，补偿扰动对被控变量的不利影响扰动作为控制系统的输入量，从

9、输入端到输出端来看，也仅有顺向作用而没有反向联系，因此系统仍然是开环控制补偿前提：扰动是可测量的被控对象扰动被控变量执行装置测量装置例如，水位高度控制系统就属于按扰动控制的开环系统被控对象被控变量工作原理：Q2 阀2 杠杆阀1 Q1 无法补偿压力变化阀1阀2杠杆Q2Q1HP水槽水槽阀2水位高度H阀1杠杆1.3.2 闭环控制1. 反馈控制原理反馈-把输出量（被控变量的实际值）回送到输入端，并与参考输入进行比较的过程。如果是参考输入与回送的输出量相减，称为负反馈；如果是相加，则称为正反馈。反馈控制-就是采用负反馈并利用偏差信号进行控制的过程。实质就是利用偏去控制偏差人在日常生活中的许多活动都体现反

10、馈控制的原理。例如我们在开门时，控制手移动到门把位置的过程工作原理：门把的位置是手运动的参考输入，首先我们要用眼睛不断目测门把与手的位置，并将位置信息送给大脑（反馈），然后由大脑判断手与门把的距离（产生偏差信号），并根据偏差的大小发出控制手移动的命令（控制作用），手的移动逐渐使门把与手的距离（偏差）减少，直到偏差减小为零，手便可移动到门把的位置。形成闭合回路即闭环眼睛大脑手输出参考输入（门把位置）（手位置）眼睛工作原理：扰动转速 测速发电机TG输出电压 放大器输出电压 电机电枢电压 转速比较器负反馈闭环控制前向通路反馈通路2. 闭环控制系统的基本组成与主要信号1) 测量元件：检测被控制的物理量

11、并转换为所需的信号。如果这个物理量不是电量，一般需要传感器将其转换为相应的电信号，例如测速发电机等。2) 给定元件：给出与期望输出相对应的参考输入量，例如电位器等。3) 比较元件：把测量元件检测的被控变量实际值与给定元件给出的参考输入进行比较，得出两者的偏差。4) 放大元件：即放大器，其职能是对偏差信号进行放大，以驱动执行元件对被控对象产生控制作用。由于偏差信号一般较小，难以直接驱动较大功率的执行元件，因此许多控制系统都需要放大元件，常用的有电压放大、功率放大。5) 执行元件：用来直接控制被控对象，使被控变量产生变化。6) 校正元件：亦称补偿元件，是结构和参数便于调整的元件，以串联或反馈的方式

12、连接在系统中，以改善系统的性能。1) 输入信号：控制系统的参考输入量，常用r(t)表示，被控变量应该按照输入信号的规律变化。2) 输出信号：控制系统的被控变量随时间变化的信号，常用c(t)表示。3) 主反馈信号：是输出信号的某种函数关系（如正比），且量纲与输入信号相同的信号，常用b(t )表示。4) 偏差信号：输入信号与主反馈信号的差，常用e(t )表示。5) 误差信号：输出信号与期望输出信号的差。误差反映了控制系统的精度，常用e(t )表示。广义而言误差包含偏差的概念，偏差信号也被认为是从输入端定义的误差信号。6) 扰动信号：使被控变量产生不应有的变化的信号，常用n(t )表示。扰动信号往往

13、会导致被控变量出现误差（不利影响）。3. 闭环与开环控制系统的比较开环控制系统优点: 结构简单，易于设计与实现，成本低廉，工作稳定，当扰动信号能预先知道或可测量时，控制效果较好；缺点: 不能自动修正被控变量的偏差，系统的元件参数变化以及外来的未知扰动对控制精度影响较大。闭环控制系统优点: 具有自动修正被控变量出现偏差的能力，也可以修正元件参数变化及外界扰动引起的误差，控制精度较高；缺点: 被控变量可能会出现振荡，甚至发散以至于系统不能正常工作。分析和设计都较为复杂。1.3.3 复合控制反馈控制只有在输入信号和扰动信号作用在被控对象并产生影响后才能做出控制。前馈控制能在被控对象还没有产生影响前就

14、做出控制，即在偏差产生之前就先纠正偏差，它是对系统输出的影响进行预先补偿的一种措施，其信号流向为顺向不构成回路，因此前馈控制是开环控制。前馈通路一般由对输入信号的补偿装置或对扰动信号的补偿装置组成，分别称为按输入前馈补偿的复合控制和按扰动前馈补偿的复合控制。广义被控对象包含了执行元件、被控对象和测量元件1.4 自动控制系统的分类连续线性定常控制系统恒值控制系统、随动控制系统程序控制系统非线性控制系统按控制方式可分为开环控制系统、闭环控制系统、复合控制系统；按输入信号变化规律可分为恒值控制系统、随动控制系统、程序控制系统；按其数学模型可分为线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统、集中参数系统和

15、分布参数系统、确定性系统和不确定性系统等；按元件类型可分为机械系统、电气系统、机电系统、液压系统、气动系统、生物系统等；按系统内部的信号特征可分为连续系统和离散系统；按系统的功能可分为温度控制系统、压力控制系统、位置控制系统等。1.4.1 连续线性定常控制系统可以用线性定常微分方程描述为：式中，c(t )是被控变量；r (t )是参考输入；系数a0, a1, an, b0, b1, , bm 都是常数，故称定常系统。1. 恒值控制系统参考输入是一个常值，要求被控变量也等于常值，故又称为调节系统。分析和设计的重点在于系统的抗干扰性能。需要强调指出的是，恒值控制系统的参考输入并不是绝对不变的，它可

16、以随环境、生产条件的变化而重新给定，但是一经给定后，控制系统就应该使被控变量与给定的参考输入保持一致。例如房间内的空调、直流电动机负反馈控制系统等。在工业控制中，如果被控变量是温度、压力、流量、液位等生产过程参量时，这种控制系统则称为过程控制系统，它们大多都属于恒值控制系统。2. 随动控制系统参考输入是预先未知的随时间任意变化的函数，要求被控变量以尽可能小的误差跟随参考输入的变化，故又称为跟踪系统。如果被控变量是机械位置或其导数时，则称之为伺服系统。对随动控制系统而言，扰动的影响是次要的，控制系统分析、设计的重点在于被控变量跟随的快速性和准确性。如函数记录仪，电压跟随器、高射炮的自动瞄准系统、

17、雷达的自动跟踪系统等。3. 程序控制系统当参考输入是预先已知的随时间变化的函数时，要求被控变量迅速、准确地加以复现，控制作用将使得被控变量按预定的规律（程序）变化，这种系统称为程序控制系统。程序控制系统是预先已知的时间函数，而随动控制系统是未知的任意时间函数。例如，数字程序控制机床、有全自动洗衣机、电脑绣花机等。1.4.2 非线性控制系统在控制系统中，只要有一个元件的输入-输出特性是非线性的，则此系统就称为非线性控制系统。一般用非线性微分方程来描述特点是系数与变量有关，或者方程中含有变量及其导数的高次幂或乘积项严格说来实际的控制系统都含有程度不同的非线性元件，如放大器和电磁元件的饱和特性，运动

18、部件的死区、间隙、摩擦特性等。线性系统模型的建立只是在真实的系统中，某些非线性被人们用线性关系代替了，另外一些非线性则被忽略掉了。非线性控制系统由于在数学处理上较为困难，迄今为止，仍没有统一的方法。对非线性程度不太严重的元件，一般采用在一定范围内线性化的处理方法，可以将其近似为线性系统。早期的经典非线性控制方法主要包括相平面法和描述函数法。新的非线性系统控制方法，包括反馈线性化、反推设计法和滑模变结构控制等。1.5自动控制系统实例温度控制系统速度控制系统位置控制系统1.5.1 温度控制系统工作原理： 炉温 放大器1输出 放大器2输出 电机反转 调节阀开度 煤气进量 炉温恒值控制系统控制系统的任

19、务：保持煤气炉温度恒定在给定值。被控变量：炉温T。给定元件：给定电位器。扰动：环境温度、煤气压力等。被控对象：煤气炉。测量元件：热电偶。比较元件：放大器1和给定电位器的连接电路。执行元件：电动机、调节阀。1.5.2 速度控制系统工作原理：蒸汽机转速套筒下滑杠杆作用阀门开度 进汽量 蒸汽机转速 恒值控制系统控制系统的任务：保持蒸汽机的转速n 在期望值附近。被控变量：蒸汽机的转速n。给定元件：给定装置。执行元件：阀门。扰动：负载、蒸汽压力等。被控对象：蒸汽机。测量元件：圆锥齿轮、飞球装置。比较元件：套筒。1.5.3 位置控制系统工作原理：操纵杆i 桥路输出放大器电机反转 减速器 船舵o 随动控制系

20、统控制系统的任务：使船舶舵角位置o 跟踪操纵杆角位移i 的变化。被控变量：船舵角位置o。给定元件：操纵杆。执行元件：电动机、减速器被控对象：船舵。测量元件：电位器组。比较元件：电位器组、桥式电路。第2章 控制系统建模建模的一般方法拉氏变换与传递函数动态结构图及其等效变换信号流图及梅逊公式数学模型：描述被控对象输入和输出之间量化关系的数学表达式静态数学模型：系统中各变量随时间变化缓慢，以至于它们对时间的变化率可以忽略不计（变量的各阶次导数为零）动态数学模型：描述变量各阶次导数之间关系的微分方程，其中各变量随时间的变化率不可以忽略（变量的各阶次导数不为零）建模：获得数学模型的过程经典控制的数学模型

21、主要采用输入输出的描述方法（外部描述），现代控制则常用表示系统内部状态的变量描述（内部描述）不同的控制系统可能具有完全相同的数学模型，同一个物理系统也可以用不同的数学模型表示。建模一旦完成，对控制系统的量化分析主要针对数学模型，而不再涉及实际系统的具体性质、特点。常用数学模型：微分方程（时域）、传递函数（复域）、频率特性（频域）、动态结构图与信号流图2.1微分方程建模的一般方法-机理分析法2.1.1 线性元件的微分方程建立元件微分方程的一般步骤是： 确定元件的输入和输出变量。 根据元件遵循的物理（或化学等）定律，列写相应的微分方程。 消去中间变量。 标准化，将与输入有关的各项放在等号的右边，与

22、输出有关的各项放在左边，方程两边变量的导数按降幂次序排列。例2-1 建立如图所示的RLC无源电路的微分方程。其中ur(t)为输入，uc(t)为输出。解：设RLC电路的回路电流为i(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为 例2-2 图示为弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。建立质量m以外力F(t)为输入（重力不计），位移y(t)为输出的微分方程。解：根据牛顿第二定律有F1(t)为阻尼器的阻力；F2(t)为弹簧的弹力。 f为阻尼系数；k为弹性系数。比较两式可以看出，RLC无源电路和弹簧-质量-阻尼器机械位移系统的微分方程结构相同，称这种具有相同微分方程结构的元件或系统为相似系统。相似系统揭示了不同物理现

23、象间的相似关系，便于我们使用一个简单系统模型去研究与其相似的复杂系统。例2-3试列出图示电枢控制的他励直流电动机的微分方程，电枢电压 ua(t)为输入，电动机转速m(t)为输出。其中Ra，La分别为电枢电路的电阻和电感；励磁磁通为常值。解：设电枢回路电流为ia，电压平衡方程为电枢电阻Ra电感LaEa是电枢反电势 Ce是反电势系数电磁转矩方程为 Cm是电动机转矩系数，Mm(t)是电动机转矩。电动机轴上的转矩平衡方程为fm是电动机和负载折算到电动机轴上的粘性摩擦系数，Jm是电动机和负载折算到电动机轴上的转动惯量，Mc(t)是折合到电动机轴上的总负载转矩。消去中间变量ia (t)，Ea及Mm(t)，

24、可得微分方程若La很小，可以忽略不计，则上式可以简化为Tm= Ra Jm /( Ra fm + Ce Cm)是电动机机电时间常数，K1= Cm /( Ra fm + Ce Cm)，K2= Ra /( Ra fm + Ce Cm)是电动机传递系数。若Ra 和 Jm 也忽略不计，则可简化为此时，电动机的输出转速m(t)与输入电枢电压ua(t)成正比，电动机可作为测速发电机使用。2.1.2 控制系统的微分方程控制系统是由若干元件组成的，所以可以分两步来建模：第一步先将系统分解为各个元件（环节），并写出它们的输入输出数学表达式；第二步再对各式联立，消去中间变量就可获得描述整个系统的输入输出关系的微分方

25、程。例2-4建立图示速度控制系统的微分方程。参考输入为ui，输出是转速。解：控制系统由给定电位器、运算放大器1（比较作用）、运算放大器2（RC校正网络）、功率放大器、直流电动机、测速发电机、减速器等元件构成。分别列写各元件的微分方程：速度控制系统原理图运算放大器1：参考输入电压 ui 和反馈电压 ut 在此比较，产生偏差电压并进行放大，故有K1 = R2/ R1 是运算放大器1的比例系数。运算放大器2：RC校正网络有K2 = R2/ R1是运算放大器2的比例系数， = R1C是微分时间常数。功率放大器：对晶闸管整流装置，若忽略控制电路的时间滞后，有 K3为比例系数。直流电动机：根据上例可得Tm

26、，Km，Kc，Mc是考虑减速机和负载后，折算到电动机轴上的等效值。减速机：设减速比为i，则有测速发电机：因为输出电压与转速成正比，故有 Kt为测速发电机的比例系数。根据以上各式消去中间变量u1，u2，ua，ut，m，整理可得Tm=(i Tm +K1 K2 K3 Km Kt) / (i +K1 K2 K3 Km Kt)；Kg= K1 K2 K3 Km / (i +K1 K2 K3 Km Kt)；Kg= K1 K2 K3 Km / (i +K1 K2 K3 Km Kt)；Kc= Kc / (i +K1 K2 K3 Km Kt)。上式即为速度控制系统的微分方程，可用于研究给定电压为ui，或有负载扰动

27、转矩Mc时，控制系统的动态性能。2.1.3 线性系统的基本特征能用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。线性系统的重要特征就是满足叠加定理，即具有可叠加性和齐次行。 例如系统的线性微分方程为叠加性：设r(t)= r1(t)，输出解c(t)= c1(t)，当r(t)= r2(t)时，输出解为c(t)= c2(t)，易证上式满足叠加性，即当r(t)= r1(t)+ r2(t)时，输出c(t)= c1(t)+ c2(t)。这说明两个输入信号同时作用在控制系统所得到的输出，等于各个信号单独作用时得到的输出之和。齐次性：若 r(t)= k r1(t)，k 为常数，易证上式的输出必为c(t

28、)= k c1(t)。这说明参考输入增大若干倍时，系统输出将增大同样的倍数。叠加定理给线性系统的分析和设计带来了方便。如果有几个输入信号（如给定输入和扰动输入）同时作用于系统，可以将这些信号单独作用（其它输入可以认为是零），分别求出相应的输出，再将这些输出叠加即得这些信号共同作用的输出解。此外，输入信号可以只取单位值1，实际输出只要乘以相应的倍数即可，从而简化了分析过程。2.1.4 非线性系统的线性化常用的线性化方法为小偏差法。考虑非线性函数：设工作点为A(x0, y0)，若离A的增量x充分小，以至于可用直线AC代替曲线AB，此时x与y成线性关系，这种线性关系与原非线性关系f (x) 的误差取

29、决于x，x越小，误差越小。将 f (x) 在x0附近展开成泰勒级数忽略x2及以上的高次项令 y = y f (x0)，即可得在工程应用中，如果非线性微分方程中的变量只在某工作点的附近作微小变化，且非线性函数在工作点附近连续可导，一般可采用线性化的方法。需要指出的是，因 f(x0) 会随 x0 的不同而变化，因此线性化后的微分方程，会随工作点的不同而改变。例2-5 设铁芯线圈电路如图(a) 所示，铁芯线圈的磁通与线圈的电流i的关系如图(b) 所示，建立以 ur 为输入，i 为输出的微分方程模型。线性化方程解：线圈的感应电动势为电压回路方程为由图(b)知，d(i)/di是电流 i 的非线性函数，将

30、 (i) 在 i0 处展开为略去高阶导数项有令 ，并略去可得上式代入电压回路方程，得铁芯线圈在工作点i0的增量线性化微分方程为2.2 拉氏变换与传递函数拉氏变换的定义及相关性质、定理用拉氏变换求解微分方程传递函数定义、性质及典型环节的传递函数2.2.1 拉氏变换的定义对函数 f (t)，t 为实变量，如果线性积分（s = + j为复变量）存在，则称其为函数 f (t) 的拉氏变换。变换后的函数将是复变量 s 的函数，一般记为 F (s)，或L f (t)，即通常称 F (s) 为 f (t) 的象函数，而 f (t) 为 F (s) 的原函数。相应的定义拉氏逆变换为拉氏变换拉氏逆变换2.2.2

31、 拉氏变换的性质与定理1. 线性性质f 1(t) 和 f 2(t) 的拉氏变换分别为 F1(s) 和 F2(s)，a，b 为常数2. 微分定理f (0)，f (0)，f (n-1)(0)为函数 f (t) 及其各阶导数在 t = 0时的值。当f (0) = f (0) = = f (n-1)(0) = 0时，则有3. 积分定理f (-1) (0)，f (-2)(0)，f (-n)(0) 为函数 f (t) 及其各重积分在 t = 0 时的值。当 f (-1) (0) = f (-2)(0) = = f (-n)(0) = 0 时，则有4. 终值定理如果 L f (t) = F (s)，且 sF

32、 (s) 的所有极点全在 s 平面的左半部，即 sF (s) 在 s 的右半平面及虚轴上解析，则有5. 初值定理如果L f (t) = F (s)，并且 存在，则有6. 位移定理应用时要 注意条件2.2.3 用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程是工程中常用的方法，具体求解的步骤如下： 对微分方程中的各项做拉氏变换（要注意各变量的初值），将微分方程转化为以复数 s 为变量的代数方程。 根据上一步得到的代数方程解出系统输出的拉氏变换表达式。 对系统输出的拉氏变换表达式进行拉氏逆变换，即可得到微分方程的解。设系统输出的拉氏变换为C(s)，其表达式一般为a1，a2，an 和 b0，b1，b2，

33、bm 均为常实数，m，n为正整数，且有 m n对C(s)的分母多项式作因式分解A(s)=(s-s1)(s-s2)(s-sn)s1，s2，sn为方程A(s)=0的根，即C(s)的极点（1）A(s)=0 无重根。展开为部分分式之和di 是待定常数，称为C(s)在极点 si 处的留数取拉氏逆变换得输出的解为（2）A(s)=0有重根。设 s1 为 m 重根，sm+1，sm+2，sn 为单根，将C(s)展开为d1，dm 可根据下式确定：取拉氏逆变换得输出的解为例2-6 设定常微分方程为输入为单位阶跃函数，即 u(t)=1(t)，初始条件为y(0)=-1，y(0)=2，求微分方程的解。解：先对微分方程的各

34、项进行拉氏变换可得代入初始条件求得令s(s2+3s+2)=0，得方程的根为：s1=0，s2=-1，s3=-2，没有重根，故Y(s)用部分分式可展开为取拉氏逆变换可得微分方程的解为2.2.4 传递函数的定义与性质1. 传递函数的定义定义：控制系统的传递函数G(s)是线性定常系统在零初始条件下，输出c(t)的拉氏变换C(s)与输入r(t)的拉氏变换R(s)之比。传递函数可以有量纲和单位，即输出变量的单位与输入变量的单位之比。线性定常系统零初始条件下拉氏变换为故其传递函数为例2-8 求出RLC电路的传递函数G(s)= Uc(s)/Ur(s)，已知其微分方程为解：在零初始条件下对微分方程取拉氏变换可得

35、根据定义，传递函数为2. 传递函数的性质主要性质：（1）传递函数只适用于线性定常系统，是线性定常系统的复数域数学模型，它与时间域的数学模型线性定常微分方程一一对应，各个系数对应相等。（2）传递函数表示系统传递、变换输入信号的能力，反映系统本身的性能，由传递函数自身的结构和参数决定，与输入信号的形式无关。（3）传递函数通常是复变量 s 的有理分式，所有系数均为实数，其分子多项式的次数 m 小于等于分母多项式的次数 n，即 m n。这主要是因为实际可物理实现的系统或元件通常具有惯性及能源有限的缘故。（4）传递函数是系统的外部描述，不能反映系统内部物理结构的信息，故不同的物理系统是可以具有相同形式传

36、递函数的；另一方面，对同一系统，如果取不同的物理量作输入或输出时，其传递函数也不相同。（5）传递函数的拉氏逆变换是输入为单位脉冲函数 (t) 时的响应c(t)，即脉冲响应。因为此时有R(s)=1，而 c(t) =L -1C(s) = L -1G(s) R(s)=L -1G(s)。3. 传递函数的零极点表示形式传递函数的分母多项式等于零（A(s)=0）即是系统的特征方程式，它的最高次数 n 就是系统的阶数。特征方程 A(s)=0 的根 p1，p2，pn 称为传递函数的极点；分子多项式等于零（B(s)=0）得到的根 z1，z2，zm 称为传递函数的零点。因为分子、分母多项式的系数都是实数，故传递函

37、数若具有复数的极、零点，它们必然是共轭出现的。 Kr 称为根增益或根放大系数。零、极点对控制系统性能有极大的影响，常用零极点分布图表示，在复平面用符号“”标示零点的位置，用符号“”标示极点的位置。任一传递函数必有零极点分布图与之对应，故零极点分布图也可表征系统的动态特性。如传递函数 其零极点分布图2.2.5 典型环节的传递函数根据动态特性或传递函数的异同对系统分类，归纳出几种基本类型，称为典型环节。元件不论是机械式、电气式或液压式，只要数学模型形式相同就是同一种环节，其动态特性也基本相似，故掌握典型环节有利于分析和设计控制系统。1. 比例环节比例环节又称放大环节或无惯性环节，是指输出量与输入量

38、成比例的环节。其时域数学模型为传递函数为 K 称为比例系数、放大系数或增益系数。大多数控制系统中都有比例环节，如电阻电路、没有间隙的齿轮传动系、刚性杠杆、分压器、理想放大器及测速发电机的电压和转速关系都可视为比例环节。2. 惯性环节惯性环节又称非周期环节，其输出量与输入量之间的关系用微分方程可表示为由于惯性环节是用一阶微分方程描述的，故也称一阶系统，其传递函数为 T 称为惯性环节的时间常数，可以用来衡量惯性的大小。惯性环节有一个极点 p = -1/T。惯性环节一般至少含有一个储能元件。一阶 RC 低通滤波电路就是最典型的惯性环节，在一定条件下，许多高阶系统也可近似为惯性环节。3. 积分环节积分

39、环节的输出量与输入量的积分成正比。其时域数学模型为 T 为积分时间常数，当输入信号变为零后，积分环节的输出信号将保持输入信号变为零时刻的值不变，具有记忆功能。其传递函数为积分环节有一个 p=0 的极点。实际系统中的积分环节都是在近似条件下得到的，如忽略饱和特性及惯性因素，运算放大器构成的积分器就是一个积分环节。4. 微分环节 ( 理想微分环节、实际微分环节 ) 1）理想微分环节输出量与输入量的变化率成正比，用微分方程可表示为 为微分时间常数微分是积分的逆运算，其传递函数为微分环节有一个 z=0 的零点。2）实用微分环节理想微分环节往往因惯性的存在而难于实现，工程中常采用实用微分环节来代替为传递

40、函数为实用微分环节有一个 p = -1/ 的极点和一个 z = 0 的零点。特点：微分环节的输出量与输入信号的微分有关，所以它可以预示输入信号的变化趋势。5. 振荡环节 （二阶系统）可用二阶微分方程描述为传递函数为T 为时间常数； 为阻尼系数（也称阻尼比）。令 n = 1/T n为无阻尼自然振荡频率当 0 ts后，响应进入了稳态过程。6）振荡次数N振荡次数是指在0tts时间内，单位阶跃响应c(t)穿越其稳态值c()次数的一半，定义为振荡次数，用N 表示。 单调上升类型3.2 一阶系统分析一阶系统的单位阶跃单位斜坡响应单位加速度响应单位脉冲响应由一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统，它是工程中

41、最基本、最简单的系统。典型的一阶系统数学模型为一阶微分方程- 时间常数，表征系统惯性的大小（量纲为时间秒）。由图3-4可得系统的闭环传递函数为为便于分析，均假设系统初始状态为零。3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入信号 r(t)=1(t) 的拉氏变换为输出的拉氏变换整理可得上式取拉氏逆变换，得其单位阶跃响应为 响应是一条初始值为零、以指数规 律上升到终值c()=1的曲线与输出值c(t)的对应关系为t=T, c(T)=0.632 t=2T, c(2T)=0.865 t=3T, c(3T)=0.950t=4T, c(4T)=0.982 单调上升的指数曲线，无振荡;稳态误差ess=03.2

42、.2 一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡输入信号r(t)=t 的拉氏变换为输出的拉氏变换为 取拉氏逆变换可得稳态误差ess=T 响应曲线单调上升3.2.3 一阶系统的单位加速度响应单位加速度输入信号 r(t)= t2/2 的拉氏变换为输出的拉氏变换取拉氏逆变换，可得一阶系统的单位加速度响应为稳态误差 ess=，所以，一阶系统不能跟踪加速度信号3.2.4 一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲信号r(t)=(t)，其拉氏变换为R(s)=1，输出的拉氏变换为上式取拉氏逆变换，可得一阶系统的单位脉冲响应为特点：按指数规律单调下降，初值最大c(0)=1/T，终值最小c()=0。T 越大，响应曲线下降越慢。初始斜率

43、为-1/T2，T 越小，响应的初始下降速度越快。一阶系统对典型输入信号的响应由上表可得线性定常系统具有的一个重要特性，即系统对输入信号导数的响应，可以通过系统对输入信号响应的导数来确定，而系统对输入信号积分的响应，等于系统对输入信号相应的积分，积分常数由零输入时的初始条件确定。值得指出的是，线性时变系统和非线性系统则不具有这个特性。例3-1 已知系统结构图如图所示，求该系统单位阶跃响应的调节时间ts；如果要求ts 0.1s，试问系统的反馈系数应取何值？解：由结构图可得系统闭环传递函数为上式相当于典型一阶系统串接一个K=10的放大器，故也称为闭环系统的放大系数（或开环增益），它与调节时间无关，t

44、s的大小完全由一阶系统的时间常数决定。比较上式与式 (3-16)知T=0.1s，取误差范围5%，即=5，则有 ts = 3T = 0.3s求满足ts 0.1s的反馈系数：设反馈系数为Kb，闭环传递函数为由闭环传递函数可得一阶系统的时间常数T=0.01/Kb，当误差带=5时有: ts = 3T =0.03 / Kb 0.1s由上式可解出反馈系数的取值范围是 Kb 0.3例3-2 已知单位反馈系统如图所示，r(t)=1+t，c(t)= t计算系统的开环传递函数，并求性能指标 ts，%。解：由图可得系统闭环传递函数为对已知的输入信号及输出响应进行拉氏变换可得则闭环传递函数为由闭环传递函数知，系统是时

45、间常数为 T =1s 的一阶系统，故%=0，ts=3T=3s（=5）。3.3 二阶系统分析二阶系统的单位阶跃响应性能指标欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应增加零、极点对动态性能的影响二阶系统的微分方程:T -时间常数， -阻尼系数（阻尼比）传递函数：n-无阻尼自然振荡频率（一般是系统固有的）特征方程：特征根：时域模型复域模型3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的动态性能由系统参数 和 n决定，称之为二阶系统的特征参数。 不同，系统特征根的表现形式和在s平面的位置不同。 当 1 时，特征方程具有两个不相等的负实根 ，它们是位于 s 平面负实轴上的两个不等的实极点，称为过阻尼。 当 = 1 时，特

46、征方程具有两个相等的负实根 -n，它们是位于 s平面负实轴的相等实极点，称为临界阻尼。 当 0 1 时，两个特征根为一对共轭复根 ，它们是位于 s 面左半平面的共轭复数极点，称为欠阻尼。 当 = 0 时，特征方程的两个根为共轭纯虚根 jn，它们是位于 s 平面虚轴上一对共轭极点，称为无阻尼。 当 -1 0 时，特征方程的两个根为具有正实部的一对共轭复根 ，它们是位于s平面右半平面的共轭复数极点。 当 1）二阶系统的单位阶跃响应当 1 时，p1 和 p2均为实数，且有p2 p2，故p2对应的指数项衰减的速度远快于p1，所以二阶系统的动态响应主要由p1决定，这时过阻尼二阶系统可以由具有极点 p1的

47、一阶系统来近似表示。2. 临界阻尼（ =1）二阶系统的单位阶跃响应p2 = p1=-n，二阶系统的两个特征根是两个负的实重根临界阻尼的二阶系统其单位阶跃响应是一个无超调的单调上升过程，曲线的斜率为在t = 0 时曲线的变化率为零，随着时间的推移，响应过程的变化率为正，响应过程单调上升；当时间趋于无穷时，变化率趋于零，响应过程趋于常值1。拉氏逆变换3. 欠阻尼（0 1）二阶系统的单位阶跃响应 p1和p2为共轭复根令 称 d 为阻尼振荡频率取拉氏逆变换可得定义一个阻尼角 。其中 响应曲线是振荡且随时间推移而衰减的；其振荡频率为阻尼振荡频率 ,共轭复数极点p1和p2实部的绝对值n决定了欠阻尼响应的衰

48、减速度, n越大，即共轭复数极点离虚轴越远，欠阻尼响应衰减得越快。而其虚部决定了阶跃响应的振荡程度, 当 减小时，特征根接近虚轴，远离了实轴，系统阶跃响应振荡的幅值和频率都增大了，阶跃响应振荡得更激烈，平稳性变差。4. 无阻尼（ =0）二阶系统的单位阶跃响应当 =0时，系统有一对共轭纯虚根p1= jn，p2= -jn响应曲线以频率n做等幅振荡，这便是称n为无阻尼自然振荡频率这一名称的由来，有时也简称为自然频率。5. -1 0时二阶系统的单位阶跃响应系统有一对具有正实部的共轭复根单位阶跃响应为阻尼比 为负，因此指数因子 具有正的幂指数，从而使单位阶跃响应为发散正弦振荡的形式6. -1时二阶系统的

49、单位阶跃响应特征方程具有两个不相等的正实根单位阶跃响应式中指数因子为正的幂指数，从而使单位阶跃响应为单调发散的形式。二阶系统的极点分布与阶跃响应3.3.2 二阶系统单位阶跃响应的性能指标欠阻尼二阶系统的性能指标1）稳态指标输入单位阶跃信号和单位阶跃响应之间的误差为误差也是呈衰减正弦振荡形式。当稳态时，即当t 时，有e(t )0，这表示二阶系统的欠阻尼响应能够完全跟踪输入单位阶跃信号，没有稳态误差，即ess=02）动态性能指标（1）上升时间t r 当t =t r时，c (t r)=1由此可解得上升时间为增大自然频率n 或减小阻尼系数，均能减小上升时间t r，从而加快系统的初始响应速度。因为 （2

50、）延迟时间t d 当t =t d时，c (t d )=0.5利用曲线拟合法，在较大的 值范围内，近似求得 当0 1时，可近似为增大自然频率n 或减小阻尼系数 都可以减小延迟时间。（3）峰值时间tp式 对t 求导，令导数为零得根据峰值时间的定义，tp为第一个峰值所需的时间，故有峰值时间等于阻尼振荡周期的一半，峰值时间与闭环极点的虚部数值d成反比，当阻尼系数一定时，闭环极点离负实轴的距离越远，系统的峰值时间越短。（4）最大超调量（简称超调量） %最大超调量发生在峰值时间上，此时t =tp（5）调节时间ts进入误差带%的最小时间因为 ，包络线为设t=ts时 ，用ts近似ts，整理得0 0.8时，故左

51、式可近似为调节时间与闭环极点的实部数值即 n成反比。闭环极点离虚轴的距离越远，系统的调节时间越短。由于阻尼系数的值是根据对系统超调量的要求来确定的，所以调节时间主要由自然频率n 决定。（6）振荡次数N 0 t ts时，单位阶跃响应c (t ) 穿越其稳态值c ()次数的一半 t f 为阻尼振荡的周期时间有些动态性能指标之间是互相矛盾的。例如超调量和上升时间，两者难以同时获得比较小的数值。如果要提高系统的响应速度，减小上升时间，则需要使n很大， 较小，而这样最大超调量必然比较大。在工程应用中选择动态性能指标时，需要采取合理的折衷方案，使各项性能指标都能达到相对最佳，以获得较为满意的综合动态性能。

52、阻尼系数可以选择在0.4到0.8之间。较小的 值（ 0.8）将使系统的响应速度变得缓慢。工程上常取最佳阻尼系数= 0.707作为系统设计的依据2. 过阻尼（临界阻尼）二阶系统的性能指标1）稳态指标过阻尼单位阶跃响应与输入单位阶跃信号的误差为当 1时，0T2时可得当 远大于1时，二阶系统的动态响应主要由p1决定，这时过阻尼二阶系统可以由具有极点 p1的一阶系统来近似表示。则系统调节时间也可按一阶系统的公式求取，即通过以上分析，对二阶系统的阶跃响应可得出如下结论： 阻尼系数是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接判断一个二阶系统的动态品质。对过阻尼二阶系统，动态响应特性为单调变化曲线，没有超调振荡，

53、但调节时间较长，系统反应迟缓。当 0时，输出响应将出现等幅振荡或发散，系统不能稳定工作。 对于欠阻尼0 1二阶系统，若过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，动态控制品质差。注意到超调量只与有关，所以一般根据超调量要求来选择。 当阻尼系数一定时，n越大，调节时间ts越小。 为了限制系统的超调量，并使调节时间较小，系统的阻尼系数一般应择在0.4至0.8之间，这时二阶系统单位阶跃响应的超调量将在25.4%和1.5%之间。例3-3 设二阶系统的单位阶跃响应曲线如下图3-20所示，确定系统的闭环传递函数。解：系统响应的稳态值为3，故此系统的增益是3，故系统的闭环传递函数形式应为二阶系统的单位阶跃响应

54、最大超调量及峰值时间为对上式求解可得： = 0.33，n=33.2 rad/s，代入上面的闭环表达式有3.3.3 欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应输入信号r (t )=t 时，二阶系统输出响应的拉氏变换式为进行拉氏逆变换，可得欠阻尼（0 0 (0 i n)。劳斯稳定判据为表的形式。表中前两行是由系统的特征方程的系数直接构成的，第一行为第1,3,5项系数组成，第二行为第2,4,6项系数组成，其他各行的数值按下表所示的规则逐行计算。每行中的各个数乘以一个正实数，不会影响对系统稳定性的判断。劳斯判据： 若上述劳斯行列表中第一列所有元素均为正数，那么系统的所有特征根的实部均在s 平面的左边，此即为系统稳定

55、的充要条件。 若第一列中出现小于零的元素，系统就不稳定，且其符号变化的次数等于系统特征方程在s 右半平面根的数目。例3-5 系统的特征方程为s4+6s3+12s2+11s+6=0，试用劳斯判据判断该系统的稳定性。解: 由所列方程可知所有系数均为正数，且不缺项，满足稳定性的必要条件，故需作进一步的判别。列劳斯行列表如下因为左端的第一列各元素均为正实数，故该系统是稳定的。事实上，D(s) = s4+6s3 +12s2 +11s+6=(s+2)(s+3)(s2+s+1)=0可解出四个特征根分别为：-2, -3和 ，均位于s 左半平面。对于特征方程为a0s3+a1s2+a2s+a3=0的三阶系统，由其

56、劳斯表不难发现，只要其特征方程式的所有系数均大于零并且有：a1a2 a0a3，则其所表示系统的所有特征根均具有负实部。所以，判别三阶系统的稳定性不一定要计算劳斯行列表，只要检验特征方程的系数是否全部大于零且满足式a1a2 a0a3即可。此外，二阶系统只要特征方程的系数全部为正就一定是稳定的。例3-8 设一单位反馈系统的开环传递函数为试确定使闭环系统稳定的增益K 的范围。解：闭环系统的特征方程为s(0.1s+1)(0.25s+1)+K=0 亦即0.025s3+0.35s2+s+K=0由特征方程式的所有系数均大于零有K0，再由a1a2 a0a3可得0.350.025K解之可得 K14故使闭环系统稳

57、定的增益K的范围是：0K14为了保证系统的稳定性且具有良好的动态特性，不仅要求系统的全部特征根在s 左半平面且还希望能与虚轴有一定的距离，这个距离称为稳定度。为此，可用新的变量s1 = s+a 代入原系统的特征方程，从几何上看，就是将s 平面的虚轴左移一个常值a，此值就是要求的特征根与虚轴的距离（即稳定度）。此时，应用劳斯判据判别以s1为变量的系统稳定性，就相当于确定原系统的稳定度。如果这时能够满足稳定条件，就说明原系统不但稳定，而且所有特征根均位于-a 的左侧。例3-9 在例子3-8中，已求出增益K 的稳定域为0K0，即K 0.675，再由a1a2 a0a3可得111540K-27 解之可得

58、 K4.8故系统的全部特征根均位于s-1的左侧时，增益K 的允许调整范围：0.675K4.8。显然这要比原来的稳定域0K14要小。两种特殊情况：1）劳斯表中某行第一列元素为零，而该行其他元素不为零或不全为零用一个很小的正数 代替第一列的零元素，然后计算完劳斯表中其他项，表格计算完成后再令 0，进行判断，如果零（）上面的系数符号与零（）下面的系数符号相反，则说明有两次符号改变，系统有两个特征根在右半s平面，故系统是不稳定的；如果零（）上、下的系数符号相同，则说明系统存在纯虚数形式的特征根，对应响应为等幅振荡，故系统也是不稳定的。由此可见，当劳斯表的某行第一列出现零时，系统至多属于临界稳定，或者说

59、是不稳定的。例3-10系统的特征方程为s4+3s3+s2+3s+1=0，试用劳斯判据判断该系统的稳定性。解：特征方程对应的劳斯表为在表中第三行第一列元素出现零，用很小的正数 代替后继续计算，当 0时，显然第四行第一列3-3/ 0 (0 i n)。 胡尔维茨行列式的各主子行列式全部为正值，即例3-13 假设系统的特征方程为 s4+50s3+200s2+400s+1000=0，试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。解：系统特征方程的各项系数显然均大于零，根据特征方程各项系数构成的胡尔维茨行列式为各主子行列式为 1=50 02=50200-1400 =9600 03=40020050-14002-502

60、1000 =1.34106 04=31000 = 1.34109 0根据胡尔维茨稳定性判据可知系统稳定。3.6 控制系统的稳态误差误差的定义系统的类型给定稳态误差与扰动稳态误差改善稳态精度的方法3.6.1误差的定义误差的定义有两种方法：（1）从输入端可以定义为该误差是用系统的偏差定义的，又称作用误差，是可以测量的，但作用误差的理论含义不明显。（2）从输出端可以定义为即误差就是期望输出CR(s )与实际系统输出C (s )的差，该误差又称系统误差。系统误差的理论含义明显，但一般难以测量，因此更多地具备数学意义。CR(s)定义为E(s)=0时的系统输出，令E(s)=R(s)-H(s)CR(s)=0