统考版2024届高考数学一轮复习第九章9.1直线的倾斜角与斜率直线的方程学案理含解析20230423117

统考版2024届高考数学一轮复习第九章9.1直线的倾斜角与斜率直线的方程学案理含解析20230423117第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程【知识重温】一、必记2个知识点1．直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴①________与直线l②________之间所成的③__________α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，直线倾斜角α的取值范围是④____________.(2)斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的⑤________叫做这条直线的斜率，常用k表示，即⑥________.倾斜角是90°的直线，斜率k不存在．(3)斜率公式当直线l经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)时，l的斜率k＝⑦____________.(4)直线的方向向量经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的方向向量的坐标可记为⑧____________，当直线的斜率k存在时，方向向量的坐标可记为⑨________.2．直线方程的几种基本形式名称方程适用范围斜截式⑩____________不能表示垂直于x轴的直线点斜式⑪____________不能表示垂直于x轴的直线两点式⑫____________不能表示垂直于坐标轴的直线截距式⑬____________不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线一般式⑭____________能表示平面上任何直线二、必明4个易误点1．利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－eq\f(A,B).【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.()(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()

二、教材改编2．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．4C．1或3D．1或43．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A．2x＋y－12＝0B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0D．2x－y＋8＝0三、易错易混4．直线eq\r(3)x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角是()A．30°B．60°C．120°D．150°5．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝06．经过两点M(1，－2)，N(－3,4)的直线方程为______________________．eq\x(考点一)直线的倾斜角与斜率[自主练透型]1．[2021·河北衡水模拟]过不重合的A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°，则m的值为()A．－1B．－2C．－1或2D．1或－22．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))3．若直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．悟·技法1.斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．(α≠90°)(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求斜率．2．斜率取值范围的三种求法(1)数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定．(2)构建不等式法：利用不等式所表示的平面区域的性质，转化为线线、线面的位置关系，构造不等式求范围．(3)利用斜率关于倾斜角的函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可.考点二直线的方程[互动讲练型][例1]根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为eq\f(\r(10),10)；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.悟·技法求直线方程的关注点在求直线方程时，应选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.[变式练]——(着眼于举一反三)1．求适合下列条件的直线方程．(1)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－eq\f(1,4)倍；(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等．考点三直线方程的综合应用[分层深化型]考向一：由直线方程求参数问题[例2]若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2,0)∪(0,2]D．(－∞，＋∞)考向二：与直线方程有关的最值问题[例3]直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．悟·技法直线方程的综合应用(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.[变式练]——(着眼于举一反三)2．在本例3条件下，若|PA|·|PB|最小，求l的方程．第九章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程【知识重温】①正向②向上方向③最小正角④0°≤α＜180°⑤正切值⑥k＝tanα⑦eq\f(y2－y1,x2－x1)(其中x1≠x2)⑧(x2－x1，y2－y1)⑨(1，k)⑩y＝kx＋b⑪y－y0＝k(x－x0)⑫eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)⑬eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1⑭Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．解析：由题意得eq\f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.故选A.答案：A3．解析：由中点坐标公式得M(2,4)，N(3,2)，则kMN＝eq\f(2－4,3－2)＝－2，∴MN所在直线的方程为：y－2＝－2(x－3)，即2x＋y－8＝0.故选C.答案：C4．解析：由直线方程得y＝eq\r(3)x＋a，所以斜率k＝eq\r(3)，设倾斜角为α.所以tanα＝eq\r(3)，又因为0°≤α<180°，所以α＝60°.故选B.答案：B5．解析：直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.故选D.答案：D6．解析：经过两点M(1，－2)，N(－3,4)的直线方程为eq\f(y＋2,4＋2)＝eq\f(x－1,－3－1)，即3x＋2y＋1＝0.答案：3x＋2y＋1＝0课堂考点突破考点一1．解析：过A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)两点的直线l的斜率k＝eq\f(m2－3－2m,m2＋2－3＋m＋m2).∵直线l的倾斜角为45°，∴k＝eq\f(m2－3－2m,m2＋2－3＋m＋m2)＝1，解得m＝－1或m＝－2.当m＝－1时，A、B重合，故舍去，∴m＝－2.故选B.答案：B2．解析：∵直线的斜率k＝－eq\f(1,a2＋1)，∴－1≤k<0，则倾斜角的范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).故选B.答案：B3．解析：设直线l的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－eq\f(2,k).令－3<1－eq\f(2,k)<3，解得k<－1或k>eq\f(1,2).答案：(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))考点二例1解析：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝eq\f(\r(10),10)(0<α<π)．k＝tanα＝±eq\f(1,3)，故所求直线方程为y＝±eq\f(1,3)(x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,12－a)＝1，又直线过点(－3,4)，从而eq\f(－3,a)＋eq\f(4,12－a)＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.变式练1．解析：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－eq\f(1,4)×3＝－eq\f(3,4).又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(2)由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－eq\f(2,k)，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－eq\f(2,k)＝2－3k，解得k＝－1或k＝eq\f(2,3)，∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝eq\f(2,3)(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.考点三例2解析：令x＝0，得y＝eq\f(b,2)，令y＝0，得x＝－b，所以所求的三角形面积为eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))|－b|＝eq\f(1,4)b2，且b≠0，因为eq\f(1,4)b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．故选C.答案：C例3解析：解法一依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．令y＝0，可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,k)，0))；令x＝0，可得B(0,4－k)．|OA|＋|OB|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,k)))＋(4－k)＝5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(4,k)))＝5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k＋\f(4,－k)))≥5＋4＝9.∴当且仅当－k＝eq\f(4,－k)且k<0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．这时l的方程为2x＋y－6＝0.解法二依题意，l的截距都存在，且不为0，设l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1∵过P(1,4)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝1，∴|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(4)＝9，当且仅当a＝3，b＝6时，取最小值．这时l的方程为2x＋y－6＝0.变式练2．解析：|PA|·|PB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)))2＋16)·eq\r(1＋k2)＝－eq\f(4,k)(1＋k2)＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,－k)))＋－k))≥8.(k<0)∴当且仅当eq\f(1,－k)＝－k且k<0，即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值．这时l的方程为x＋y－5＝0.第二节两条直线的位置关系与距离公式【知识重温】一、必记3个知识点1．平行与垂直若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：(1)直线l1∥l2的充要条件是①____________.(2)直线l1⊥l2的充要条件是②____________.若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合．若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1⊥l2.2．两直线相交(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应．(2)相交⇔方程组有③________，交点坐标就是方程组的解．(3)平行⇔方程组④________.(4)重合⇔方程组有⑤________.3．三种距离(1)两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝⑥____________.特别地，原点(0,0)与任意一点P(x，y)的距离|OP|＝⑦________.(2)点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝⑧______.(3)两条平行线的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝⑨____________.二、必明2个易误点1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).()(5)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.()二、教材改编2．若直线mx－3y－2＝0与直线(2－m)x－3y＋5＝0互相平行，则实数m的值为()A．2B．－1C．1D．03．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．三、易错易混4．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于()A．2B．－3C．2或－3D．－2或－35．已知点A(3,2)和B(－1,4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．eq\x(考点一)两条直线的平行与垂直[自主练透型]1．已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a的值为________．2．“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2021·山东平度一中月考]若直线l1：ax－y＋1＝0与直线l2：2x－2y－1＝0的倾斜角相等，则实数a＝()A．－1B．1C．－2D．24．[2021·安徽六安一中模拟]直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝()A．－2B．－4C．－6D．－8悟·技法由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)考点二距离公式及其应用[互动讲练型][例1](1)若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为eq\r(2)，则点P的坐标为()A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)(2)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为eq\r(5)，求直线l1的方程．悟·技法处理距离问题的3种方法(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求，注意直线方程为一般式．(2)动点到两定点的距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便．(3)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x，y的系数分别相等.[变式练]——(着眼于举一反三)1．若直线l经过点(－1，－2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为()A．3x－4y－5＝0B．x＝－1C．3x－4y－5＝0或y＝－1D．3x－4y－5＝0或x＝－12．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.eq\f(9,5)B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10)D.eq\f(29,5)考点三对称问题[分层深化型]考向一：点关于点对称[例2]过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．考向二：点关于线对称[例3]已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．考向三：线关于线对称[例4]直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是()A．x－2y＋3＝0B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0悟·技法1.中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，y＝2b－y1，))进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.[变式练]——(着眼于举一反三)3．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为________．4．已知点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2,1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________．第二节两条直线的位置关系与距离公式【知识重温】①k1＝k2且b1≠b2②k1·k2＝－1③唯一解④无解⑤无数个解⑥eq\r(x1－x22＋y1－y22)⑦eq\r(x2＋y2)⑧eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))⑨eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．解析：由题意知m＝2－m，解得m＝1.此时两直线不重合，∴m＝1.故选C.答案：C3．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.答案：－94．解析：直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2)，故m＝2或－3，故选C.答案：C5．解析：由点到直线的距离公式可知eq\f(|3a＋2＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|－a＋4＋1|,\r(a2＋1)).解得a＝－4或eq\f(1,2).答案：－4或eq\f(1,2)6．解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－eq\f(4,5)，故所求直线方程为x－3y＋4－eq\f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.答案：3x＋19y＝0课堂考点突破考点一1．解析：解法一∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．又∵l1∥l2，∴eq\f(a－1,－2)＝－eq\f(1,a)，∴a＝－1或a＝2，又∵两条直线在y轴上的截距不相等．∴a＝－1或a＝2满足两条直线平行．解法二由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，解得a＝－1或a＝2.满足A1C2－A2C1≠0，即(a－1)×3－1×1≠0.所以a＝－1或a＝2.答案：－1或22．解析：由l1⊥l2得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，解得m＝3或m＝－2.∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．故选A.答案：A3．解析：由题意可得两直线平行，∴－2×a－(－1)×2＝0，∴a＝1.故选B.答案：B4．解析：由题意可得，－eq\f(a,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,－5)))＝－1，a＋4c－2＝0，2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.∴a＋b＋c＝－4.故选B.答案：B考点二例1解析：(1)设P(x,5－3x)，则d＝eq\f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．故选C.(2)∵l1∥l2，∴eq\f(m,2)＝eq\f(8,m)≠eq\f(n,－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.))①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，∴eq\f(|n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－22或n＝18.故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，把l2的方程写成4x－8y－2＝0∴eq\f(|－n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－18或n＝22.故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.答案：(1)C(2)2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0或2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0变式练1．解析：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，满足原点到直线l的距离为1，∴x＝－1.当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，由原点到直线l的距离为1，∴eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).从而得直线l的方程为y＋2＝eq\f(3,4)(x＋1)，即3x－4y－5＝0.综上可得，直线l的方程为x＝－1或3x－4y－5＝0.答案：D2．解析：易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行线间的距离.6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋eq\f(5,2)＝0，则这两条平行线间的距离是eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－12－\f(5,2))),\r(32＋42))＝eq\f(29,10).答案：C考点三例2解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝0例3解析：设A′(x，y)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))故A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).答案：A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13)))例4解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y－2，,y0＝x＋2，))由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.故选A.答案：A变式练3．解析：设A(x，y)为所求直线上的任意一点，则A′(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，即3x－4(－y)＋5＝0，故所求直线方程为3x＋4y＋5＝0.答案：3x＋4y＋5＝04．解析：由题意得线段AB的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))在直线y＝kx＋b上，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·k＝－1，,－\f(1,2)k＋b＝2，))解得k＝－eq\f(3,2)，b＝eq\f(5,4)，所以直线方程为y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(5,4).令y＝0，即－eq\f(3,2)x＋eq\f(5,4)＝0，解得x＝eq\f(5,6)，故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)第三节圆的方程【知识重温】一、必记3个知识点1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圆心为①________，半径为②________的圆．2．圆的一般方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)当D2＋E2－4F＞0时，表示圆心为③____________，半径为④____________________的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点⑤____________；(3)当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形．3．点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝⑥________；若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑦________；若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑧________.二、必明1个易误点对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一成立条件．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()二、教材改编2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝43．△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则其外接圆的方程为________________．三、易错易混4．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)B．(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)C．(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)D．(－∞，－2eq\r(3))∪(2eq\r(3)，＋∞)5．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1<a<1B．0<a<1C．a>1或a<－1D．a＝±4四、走进高考6．[2016·全国卷Ⅰ]圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－eq\f(4,3)B．－eq\f(3,4)C.eq\r(3)D．2eq\x(考点一)求圆的方程[自主练透型]1．[2021·石家庄质检]若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为()A．x2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝1D．x2＋(y－3)2＝12．若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±eq\r(3))2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±eq\r(3))2＝43．[2021·广东珠海联考]已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2悟·技法1.求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.考点二与圆有关的最值问题[互动讲练型]考向一：借助圆的几何性质求最值[例1]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则eq\f(y,x)的最大值为________，最小值为________．悟·技法与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x，y)有关的代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.考向二：建立函数关系求最值[例2](1)若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，点A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)(2)[2021·山东潍坊模拟]设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则Peq\o(A,\s\up6(→))·Peq\o(B,\s\up6(→))的最大值为________．类题通法建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.[变式练]——(着眼于举一反三)1．已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为()A．6B.eq\f(11,2)C．8D.eq\f(21,2)2．已知实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝1，则z＝eq\f(y＋1,x)的最大值与最小值分别为________和________．考点三与圆有关的轨迹问题[互动讲练型][例3]已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．第三节圆的方程【知识重温】①(a，b)②r③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))④eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)⑤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))⑥r2⑦＞r2⑧＜r2【小题热身】1．答案：(1)√(2)×(3)×2．解析：显然A，B两点关于直线y＝x对称，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))所以圆心坐标是(1,1)，半径r＝eq\r(1－12＋－1－12)＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案：C3．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－D＋5E＋F＋26＝0，,－2D－2E＋F＋8＝0，,5D＋5E＋F＋50＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－2，,F＝－20，))故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.答案：x2＋y2－4x－2y－20＝04．解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋(y－1)2＝eq\f(m2,4)－2.由其表示圆可得eq\f(m2,4)－2>0，解得m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2).答案：B5．解析：因为点(1,1)在圆内，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，即－1<a<1，故选A.答案：A6．解析：由题意可知，圆心为(1,4)，所以圆心到直线的距离d＝eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋12))＝1，解得a＝－eq\f(4,3)，故选A.答案：A课堂考点突破考点一1．解析：因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.答案：A2．解析：因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±eq\r(3)，选D.答案：D3．解析：由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有eq\f(|a－－a|,\r(2))＝eq\f(|a－－a－4|,\r(2))，即|a|＝|a－2|，解得a＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B.答案：B考点二例1解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆.eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值和最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).答案：eq\r(3)－eq\r(3)例2解析：(1)由已知可得线