中考数学全面突破：题型1　规律探索型问题

题型1规律探索型问题eq\x(题型解读)对于规律探索题型常常会有一定的通式或循环规律，解题时一般先列出前几项，找出规律或通式求解.1.常考类型：①数字规律探索；②数式规律探索；③图形规律探索；④坐标系中图形规律探索；⑤与函数图象相关的规律探索.2.考查形式与题型：一般都是给出一列数字或者图形，求其第n个数字、第n个式子或第n个图形或求末位数值；题型为选择、填空.类型一数字规律探索1.观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是()A.9B.7C.6D.02.按一定规律排列的一列数：eq\f(1,2)，1，1，eq\x()，eq\f(9,11)，eq\f(11,13)，eq\f(13,17)，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．3.观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想，32016的个位数字是________．类型二数式规律探索4.“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如在化学中，甲烷的化学式是CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n(n为正整数)，则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示()A.CnH2n＋2B.CnH2nC.CnH2n－2D.CnHn＋35.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…，第n个三角形数记为xn，则xn＋xn＋1＝________．6.观察下列等式：1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)；1＋3＋6＋10＋…＋eq\f(1,2)n(n＋1)＝eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)1＋4＋10＋20＋…＋eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)＝eq\f(1,24)n(n＋1)(n＋2)(n＋3);则有：1＋5＋15＋35＋…＋eq\f(1,24)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________．类型三图形规律探索7.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为()A.(eq\f(1,2))6B.(eq\f(1,2))7C.(eq\f(\r(2),2))6D.(eq\f(\r(2),2))7第7题图第8题图第9题图8.如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是()A.2015πB.3019.5πC.3018πD.3024π9.将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n＝________．10.如图，△ABC的面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过________次操作．第10题图第11题图第12题图11.如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是________．类型四坐标中的图形规律探索12.如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A.(1，－1)B.(－1，－1)C.(eq\r(2)，0)D.(0，－eq\r(2))13.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，依次类推…，则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是________．第13题图第14题图第15题图14.如图，点A1的坐标为(1，0)，A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6，…，按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为____________．15.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1.在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的eq\f(3,2)倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大eq\f(3,2)倍，得到矩形A2OC2B2…，依此规律，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为________．16.如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依据图形所反映的规律，则A100的坐标为________．类型五与函数图象相关的规律探索17.如图，在坐标轴上取点A1(2，0)，作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An(n为正整数)点时，则An的坐标是________．第16题图第17题图第18题图18.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝eq\f(\r(3),3)x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝eq\f(\r(3),3)x上，依次进行下去….若点A的坐标是(0，1)，点B的坐标是(eq\r(3)，1)，则点A8的横坐标是________．答案与解析：类型一数字规律探索1.D【解析】根据题意，7的幂次方最终结果的末位数字是7，9，3，1这样的循环，其和的末位数字是0，因为2016＝504×4，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是0.2.1【解析】将原来的一列数变形为eq\f(1,2)，eq\f(3,3)，eq\f(5,5)，□，eq\f(9,11)，eq\f(11,13)，eq\f(13,17)，…通过观察可以得出分子依次为从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填eq\f(7,7)，故答案为1.3.1【解析】从前几个3的幂次方结果来看，它的个位数字依次是3，9，7，1，第5个数跟第一个数的个位数字相同，于是3的整数次幂是每四个数一个循环，2016÷4＝504，于是32016的个位数字与34的个位数字相同，即为1.类型二数式规律探索4.A【解析】由H的下标可得第1个是4，第二个为6，第三个为8，所以第n个为2n＋2，由C的下标可得第1个是1，第二个是2，…，所以碳原子的数目为n时，化学式为CnH2n＋2.5.(n＋1)2或n2＋2n＋1【解析】∵x1＋x2＝1＋3＝4＝22，x2＋x3＝3＋6＝9＝32，x3＋x4＝6＋10＝16＝42，x4＋x5＝10＋15＝25＝52，x5＋x6＝15＋21＝36＝62，∴xn＋xn＋1＝(n＋1)2＝n2＋2n＋1.6.eq\f(1,120)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)【解析】观察所给等式可以发现，第一个等式的右边系数为eq\f(1,2)＝1×eq\f(1,2)，因式为n(n＋1)；第二个等式的右边系数为eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)，因式为n(n＋1)(n＋2)；第三个等式的右边系数为eq\f(1,24)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,4)，因式为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，所以第四个等式的右边系数为eq\f(1,24)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,120)，因式为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)，结果为eq\f(1,120)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．类型三图形规律探索7.A【解析】由题意得：S1＝22＝(eq\f(1,2))－2，S2＝(eq\r(2))2＝(eq\f(1,2))－1，S3＝(1)2＝(eq\f(1,2))0，S4＝(eq\f(1,\r(2)))2＝(eq\f(1,2))1，…，S9＝(eq\f(1,2))9－3＝(eq\f(1,2))6.故选A.8.D【解析】本题考查旋转规律探索和弧长公式．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，由勾股定理得：AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5，画出经过旋转六次后点A经过的路线，由题图可知经过第①次旋转，点A运动过的路程是以B为圆心，AB长为半径，圆心角为90°的eq\o(AA1,\s\up8(︵))；经过第②次旋转，点A运动过的路程是以AC长为半径，圆心角为90°的eq\o(A1A2,\s\up8(︵))；经过第③次旋转，点A运动过的路程是以AD长为半径，圆心角为90°的eq\o(A2A3,\s\up8(︵))；第④次旋转，点A在直线上不变化；经过第⑤次旋转，点A运动过的路程与第①次旋转运动过的路程一致.故点A每经过四次旋转后，重复前四次旋转的路程．∵2015÷4＝503……3，∴点A经过的路程正好是503个前四次运动的路程和再加上一个前三次运动的路程和，即一共是504个前三次运动的路程和．由弧长公式得eq\o(AA1,\s\up8(︵))的长为eq\f(1,2)πAB＝2π，eq\o(A1A2,\s\up8(︵))的长为eq\f(1,2)πAC＝eq\f(5,2)π；eq\o(A2A3,\s\up8(︵))的长为eq\f(1,2)πAD＝eq\f(3,2)π，∴经过2015次旋转后，点A经过的路程为504×(2π＋eq\f(5,2)π＋eq\f(3,2)π)＝3024π.9.16【解析】根据题意得：第1个图形中小圆的个数为5，第2个图形中小圆的个数为7，第3个图形中小圆的个数为11，得出第n个图形中小圆的个数为n(n－1)＋5.据此可以求出“龟图”中有245个“○”时n的值．方法①：第1个图形有：5个○，第2个图形有：2×(2－1)＋5＝7个○，第3个图形有：3×(3－1)＋5＝11个○，第4个图形有：4×(4－1)＋5＝17个○，…，据此得出：第n个图形有：n(n－1)＋5个○，则可得方程n(n－1)＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15(不合题意，舍去)．故答案为：16.方法②：设y＝an2＋bn＋c，根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝5,4a＋2b＋c＝7,9a＋3b＋c＝11))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－1,c＝5))，∴y＝n2－n＋5.当y＝245时，可得：n2－n＋5＝245.10.四【解析】△ABC与△A1BB1的底相等(AB＝A1B)，高为1∶2(BB1＝2BC)，故面积比为1∶2，∵S△ABC＝1，∴S△A1BB1＝2.同理可得，S△C1B1C＝2，S△AA1C1＝2，∴S△A1B1C1＝S△C1B1C＋S△AA1C1＋S△A1B1B＋S△ABC＝2＋2＋2＋1＝7，同理可证：S△A2B2C2＝7S△A1B1C1＝49，第三次操作后的面积为7×49＝343，第四次操作后的面积为7×343＝2401.故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过四次操作．11.3n－1eq\r(3)【解析】由题可知，∠MON＝60°，不妨设Bn到ON的距离为hn，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，则A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，同理可求：OB3＝18，则h3＝18×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3)，…，依此可求：OBn＝2×3n－1，则hn＝2×3n－1×eq\f(\r(3),2)＝3n－1eq\r(3)，∴Bn到ON的距离hn＝3n－1eq\r(3).类型四坐标中的图形规律探索12.B【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．13.(21008，0)【解析】点B的位置依次落在第一象限、y轴正半轴、第二象限、x轴负半轴、第三象限、y轴负半轴、第四象限、x轴正半轴，…，每8次一循环.2016÷8＝252，所以点B2016落在x轴正半轴，故B2016的纵坐标是0；OBn是正方形的对角线，OB1＝eq\r(2)，OB2＝2＝(eq\r(2))2，OB3＝2eq\r(2)＝(eq\r(2))3，…，所以OB2016＝(eq\r(2))2016＝21008，所以点B2016的坐标为(21008，0)．14.－31007eq\r(3)【解析】∵A1(1，0)，∠A1A2O＝30°，∴A2(0，eq\r(3))，∵A3A2⊥A1A2，∴∠A3A2O＝60°，∴∠A2A3O＝30°，∴A3(－3，0)，同理：A4(0，－3eq\r(3))，A5(9，0)，A6(0，9eq\r(3))，A7(－27，0)，A8(0，－27eq\r(3))，…，即：A2(0，eq\r(3))，A4(0，－3eq\r(3))，A6(0，9eq\r(3))，A8(0，－27eq\r(3))，列表如下：A2eq\r(3)×(－3)0…(2－2)÷2＝0A4eq\r(3)×(－3)1…(4－2)÷2＝1A6eq\r(3)×(－3)2…(6－2)÷2＝2A8eq\r(3)×(－3)3…(8－2)÷2＝3A2016eq\r(3)×(－3)n…(2016－2)÷2＝n∴n＝1007，∴A2016的纵坐标是－31007eq\r(3).15.(－eq\f(3n,2n)，eq\f(3n,2n＋1))【解析】在矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，∴A(－2，0)，C(0，1)，∴对角线的交点为(－1，eq\f(1,2))，将矩形OABC以原点O为位似中心，放大为原来的eq\f(3,2)倍，∴矩形A1OC1B1对角线的交点为(－eq\f(3,2)，eq\f(3,4))，即(－eq\f(3,2)，eq\f(1,2)×eq\f(3,2))，继续放大为原来的eq\f(3,2)倍，∴矩形A2OC2B2对角线的交点为(－eq\f(9,4)，eq\f(9,8))，即(－eq\f(32,22)，eq\f(1,2)×eq\f(32,22))，…，依次类推，∴矩形AnOCnBn对角线的交点为(－eq\f(3n,2n)，eq\f(3n,2n＋1))．第16题解图16.(eq\f(5,2)，－eq\f(51\r(3),2))【解析】如解图，继续排列图形如下，观察发现，A1、A5、A9、…、A4n－3在点(2，0)的右侧，A3、A7、A11、…、A4n－1在点(2，0)的左侧，A2、A6、