高考数学总复习 第二章 函数 第9讲 二次函数与幂函数练习 文（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题

第9讲二次函数与幂函数夯实基础【p22】【学习目标】1．熟练掌握二次函数的概念、图象、性质及其与一元二次方程、一元二次不等式的联系．2．了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))的图象了解它们的变化情况．【基础检测】1．函数y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\s\up12(2)＋2的顶点坐标是()A．(1，2)B．(1，－2)C．(－1，2)D．(－1，－2)【解析】∵y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\s\up12(2)＋2＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))))eq\s\up12(2)＋2，∴顶点坐标是(－1，2)．【答案】C2．幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，4)，则该幂函数的解析式为()A．y＝2xB．y＝x2C．y＝x＋2D．y＝2x【解析】设f(x)＝xα，∵其图象过点(2，4)，∴2α＝4，α＝2，即f(x)＝x2.故选B.【答案】B3．已知函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x2－2ax－3在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2))上是单调增函数，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，1))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，＋∞))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，＋∞))【解析】函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知，函数在[a，＋∞)上是单调增函数，因此要使函数f(x)在区间[1，2]上是单调增函数，只需a≤1，从而a∈(－∞，1]．故选B.【答案】B4．若幂函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2－m－1))xm－1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))上是增函数，则实数m的值为________．【解析】由于函数为幂函数，故m2－m－1＝1，解得m＝2，m＝－1，当m＝－1时，函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))为减函数，故m＝2.【答案】2【知识要点】1．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1图象定义域RRR__{x|x≥0}____{x|x≠0}__值域R__{y|y≥0}__R__{y|y≥0}____{y|y≠0}__奇偶性__奇____偶____奇____非奇非偶____奇__单调性__增____(－∞，0)减，(0，＋∞)增____增____增____(－∞，0)和(0，＋∞)减__公共点(1，1)

2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝__ax2＋bx＋c(a≠0)__；(2)顶点式：f(x)＝__a(x－m)2＋n(a≠0)__；(3)零点式：f(x)＝__a(x－x1)(x－x2)(a≠0)__．3．二次函数的图象和性质f(x)＝ax2＋bx＋ca>0a<0图象定义域x∈R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上递减，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上递增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上递增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上递减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x＝－eq\f(b,2a)；②顶点：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))典例剖析【p23】考点1幂函数的图象与性质eq\a\vs4\al(例1)(1)函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(－3)的图象是()【解析】函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(－3)可化为y＝x3，当x＝eq\f(1,2)时，求得y＝eq\f(1,8)<eq\f(1,2)，选项B，D不合题意，可排除选项B，D；当x＝2时，求得y＝8>2，选项A不合题意，可排除选项A，故选C.【答案】C(2)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)．若f(m)＝3，则实数m的值为()A.eq\r(3)B．±eq\r(3)C．±9D．9【解析】依题意有2＝4α，得α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))，当f(m)＝meq\s\up6(\f(1,2))＝3时，m＝9.【答案】D(3)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，且f(a＋1)<f(10－2a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，5)B．(－∞，3)C．(3，＋∞)D．(3，5)【解析】设feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝xα，∴4α＝eq\f(1,2)，∴α＝－eq\f(1,2)，∴函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x－eq\f(1,2)为减函数，所求不等式转化为a＋1>10－2a>0，解不等式得实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，5)).【答案】D(4)设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up6(\f(2,5))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up6(\f(3,5))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up6(\f(2,5))，则a，b，c的大小关系是________．【解析】∵y＝xeq\s\up6(\f(2,5))(x>0)为增函数，∴a>c.∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(x)(x∈R)为减函数，∴c>b.∴a>c>b.【答案】a>c>b【小结】(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.考点2二次函数的解析式的求法eq\a\vs4\al(例2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解析】法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝eq\f(2＋（－1）,2)＝eq\f(1,2).∴m＝eq\f(1,2).又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8.∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即eq\f(4a（－2a－1）－a2,4a)＝8.解得a＝－4或a＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.【小结】求二次函数解析式的方法考点3二次函数的图象与性质eq\a\vs4\al(例3)已知函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x2－2ax＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1)).(1)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的定义域和值域均是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，a))，求实数a的值；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，2))上是减函数，且对任意的x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，a＋1))，都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))≤0，求实数a的取值范围．【解析】(1)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x2－2ax＋5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－a2))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，a))上单调递减，又a>1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，a))上单调递减，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝a，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2a＋5＝a，,a2－2a2＋5＝1，))∴a＝2.(2)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，2))上是减函数，∴eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，2))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，a))，∴a≥2.∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－a))≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1))－a))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1))，∴x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，a＋1))时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))eq\s\do7(max)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))，又∵对任意的x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，a＋1))，都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))≤0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))≤0，即1－2a＋5≤0，∴a≥3.【小结】涉及二次函数的图象与性质要抓住开口、对称轴、与坐标轴的交点．考点4二次函数的最值求法eq\a\vs4\al(例4)已知函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－1))x－3.(1)当a＝2，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，3))时，求函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的值域；(2)若函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．【解析】(1)当a＝2时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x2＋3x－3，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，3))，对称轴x＝－eq\f(3,2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，3))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))eq\s\do7(min)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－eq\f(21,4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))eq\s\do7(max)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＝15，∴函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，15)).(2)函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的对称轴为x＝－eq\f(2a－1,2).①当－eq\f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))eq\s\do7(max)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－eq\f(1,3)，满足题意；②当－eq\f(2a－1,2)>1，即a<－eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))eq\s\do7(max)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知a＝－eq\f(1,3)或a＝－1.【小结】二次函数最值问题的三种类型及解题思路：(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．考点5三个二次的综合应用eq\a\vs4\al(例5)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且不等式f(x)<2x的解集为(－1，2)．(1)若方程f(x)＋3a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最小值不大于－3a，求实数a的取值范围．【解析】∵f(x)<2x的解集为(－1，2)，∴ax2＋(b－2)x＋c<0的解集为(－1，2)，∴a>0，且方程ax2＋(b－2)x＋c＝0的两根为－1和2，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋2＋c＝0，,4a＋2b－4＋c＝0，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2－a，,c＝－2a，))∴f(x)＝ax2＋(2－a)x－2a(a>0)．(1)∵方程f(x)＋3a＝0有两个相等的实根，即ax2＋(2－a)x＋a＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(2－a)2－4a2＝03a2＋4a－4＝0,∴a＝－2(舍)或a＝eq\f(2,3)，∵a>0，∴a＝eq\f(2,3)，∴f(x)＝eq\f(2,3)x2＋eq\f(4,3)x－eq\f(4,3).(2)f(x)＝ax2＋(2－a)x－2a＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2－a,2a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(－8a2－（2－a）2,4a)，∵a>0，∴f(x)的最小值为eq\f(－8a2－（2－a）2,4a)，则eq\f(－8a2－（2－a）2,4a)≤－3a，3a2＋4a－4≤0，解得－2≤a≤eq\f(2,3)，∵a>0，∴0<a≤eq\f(2,3).【小结】(1)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助二次函数的图象、性质来解．(2)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助二次函数的图象来解，一般从以下四个方面分析：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号．【能力提升】eq\a\vs4\al(例6)已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝a|x－1|.(1)若当x∈R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)求函数h(x)＝|f(x)|＋g(x)在区间[0，2]上的最大值．【解析】(1)不等式f(x)≥g(x)对任意x∈R恒成立，即x2－1≥a|x－1|(*)对任意x∈R恒成立．①当x＝1时，(*)显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，(*)可变形为a≤eq\f(x2－1,|x－1|)，令φ(x)＝eq\f(x2－1,|x－1|)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>1，,－（x＋1），x<1.))因为当x>1时，φ(x)>2，当x<1时，φ(x)>－2，所以φ(x)>－2，故此时a≤－2.综合①②，得所求实数a的取值范围是(－∞，－2]．(2)h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－ax＋a＋1，0≤x<1，,0，x＝1，,x2＋ax－a－1，1<x≤2.))①当－eq\f(a,2)≤0，即a≥0时，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(0)＝a＋1，(x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3.此时，h(x)max＝a＋3.②当0<－eq\f(a,2)≤1，即－2≤a<0时，(－x2－ax＋a＋1)max＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝eq\f(a2,4)＋a＋1，(x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3.此时h(x)max＝a＋3.③当1<－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a<－2时，(－x2－ax＋a＋1)max＝h