小学三年级奥数余数问题

第三讲余数问题一、知识概要被除数÷除数＝商……余数（余数一定要小于除数）被除数＝除数×商＋余数，或（被除数－余数）÷商＝除数。一个数被9除的余数叫做这个数的“九余数”（或“弃九数”）。求一个数的九余数，就是求这个数各个数位上数字之和的九余数。例如：求345÷9的余数，就用（3＋4＋5）÷9＝12÷9＝1……3，可知345÷9的余数是3。如果整数a和b被几除，得到的余数是相同的，那么，我们僦称a和b“同余”。同余性质有：⑴若a和b同余，c和d同余，则a±c和b±d同余；⑵若a和b同余，c和d同余，则a×c和b×d同余。二、典型例题精讲1、△□□□□□△□□□□□△□□……这列图形的第310个图是什么图形？识题技巧：这个图形的排列规律是：“△□□□□□”6个为一组依次循环。求出310的余数，找到排列在第“余数”位的那个图形即是。解：310÷6＝51（组）……4（个）答：这个图形的第310个图是□。2、哪些数除以7结果的商和余数都相同？识题技巧：把原题写成□÷7＝□……□的形式，因为“余一定小于除数”，所以，余数有（7-1）种可能。（根据“知识概要”<1>可解答）解：如表所示。答：这些数是8、16、24、32、40、48。3、识题技巧：3＝3（1个3）3×3＝9（2个3）3×3×3＝27（3个3）3×3×3×3＝81（4个3）3×3×3×3×3＝243（5个3）3×3×3×3×3×3＝729（6个3）…从以上算式不难看出它们的规律：积的个位数字随“×3”个数的增加而按“3、9、7、1”依次循环。因此，这个题是个“余数问题”。解：199÷4＝49（组）…………3（个），（3个3相乘积的个位为7）。答：积的个位数字是7。4、去年（200年）的“元旦”是星期二，那么今年（2003年）的“元旦节”是星期？识题技巧：<1>“元旦”即1月1日，从2002年元月1日到2003年元月1日共有（365＋1<2>星期是7天为一个周期。<3>按本题的意思，星期的排列规律是：星期二、星期三…………星期一。解：366÷7＝52（个周期）…………2（天）（排在第2的是星期三）答：2003年的“元旦节”是期三。5、计算2731596÷7284，并用“九余数”法验算。识题技巧：“九余数”就是把某一个数的各个数位上的数字加起来，所得的和再除以9而得到的余数。［也可以这样做：把各个数位上的数加起来之后，如果和仍然还是两位以上的数，那么再继续把和的各个数位的数字加起来，直到和是一位数，这个“一位数”即是“九余数”。］解：验算：33(和33(和)2115156(余数)3×6618906＝0＋62731596÷7284＝375……96963642036516509885463921852273159637572846、幼儿园老师给四个小朋友依次发水果糖，当第三个小朋友拿到7颗糖时，老师已发了多少颗糖？识题技巧：第三个小朋友拿到了7颗，这说明老师循环发了6次多3人（或7次少1人）。故：最后一个是红球。11、26÷7＝3（周）……5（天），（第5循环数是“1”故：第26天是星期一。12、（提示：循环规律是：7个数为一组依次重复出现在A－G七个字母下面）120÷7＝17……1（第一个字母是A）故：120位于A下面。13、（提示：分母和分数的出现规律是：分母是1，有分数1个；分母是2，有分数3个；分母是3，有分数5个……分数个数成一个等差数列1、3、5、7、9……。分母为6，相对应的分数有11个，排在分母为6这一组中的第6个。）<1>（9＋1）×5÷2＋6＝31（个）故：是第31个分母数。<2>∵分数的个数与分母有这样的关系（如下表）∴第29个分数应该是分母是6这一组中的第四个，即。14、∵□÷23＝87……12中的“12”多310∴□＝23×87＋（12－10）＝2003故：“某数”是200315、∵ABCDE（5个战士）1－23－45－67－89－10（时间）11－1213－1415－1617－1819－20………（每隔10小时1循环）∴100÷10＝10（余数为0或9都是轮为“E”）故：100小时时该由第五个战士上班。16、（提示：这串数从11位开始，每6个为一个周期循环出现，而且每一位上的数字与余数的对应关系是：）∵2063÷6＝343………5故：这串数从头数起第2063个数字是817、设杨军去的那天是K号，则第二天就是（K＋1）号，第三天就是K+K+1+K+2+K+3+K+………+K+8=819K＋（1＋8）×8÷2＝819K＝45K＝5K＋8＝13故：杨军是5号去外婆家的，13号回家。杨军之所的感到惊奇，是因为他发现9天连续日期的和等于9×9；不