自动控制原理 第五章

第五章线性系统频域分析法洛阳理工学院电气工程与自动化系第五章线性系统频域分析法1.频率特性法与时域分析法区别

时域分析法是根据系统的闭环零点和极点来分析系统的稳态性能和动态性能(阶跃输入信号响应)。

频率特性是根据控制系统对正弦信号的稳态响应，即频率特性来分析系统的频域性能指标。

频域特性虽是系统对正弦信号的稳态响应，可间接研究系统的稳定性能和动态性能。2.频率特性法与时域分析法联系时域性能指标与频域性能指标之间可以相互转化。

3.频率特性法优点

1)突出的优点是可通过解析法、实验法得到系统频率特性，定性、定量分析系统的品质；频域法分析系统可利用曲线、图表及经验公式。2)频率特性具有明显的物理含义。兼顾动态响应及噪音抑制两方面的要求3)频率特性不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。

一、频率特性的定义：

在正弦输入下，系统的输出稳态分量与输入量的复数之比。一般闭环系统用Φ(j

)表示。开环系统用G(j

)表示.即：——系统的输出稳态分量5.1频率特性5.1.1频率特性的概念1）实验法设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:40不结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。输入输出输入输出决然不同的输入，为什么尽会得到如此相似的输出!？2)频率特性的推导Φ(-jω)Φ(jω)C(s)=Φ(s)R(s)=s2+ω2Arω∏(s-si)∏(s-zj)kΦ*1nm1s-siai∑1n=++s+jωB1s-jωB2Cs(s)=ct(t)=∑aies

tict(∞)=0∵系统稳定，∴2j(s-jω)Φ(jω)Ar+=ArΦ(-jω)-2j(s+jω)cs(t)=Φ(s)(s+jω)(s-jω)Arωs+jωB1+s-jωB2Φ(jω)=a(ω)+jb(ω)c(ω)+jd(ω)Φ(-jω)=c(ω)-jd(ω)a(ω)-jb(ω)∠Φ(-jω)-∠Φ(jω)设系统稳定，时的输出为：Φ(jω)ejωt

Φ(-jω)e-jωtAr2j

Φ(jω)

Arej∠Φ(jω)

ejωte-j∠Φ(jω)

e-jωt2jΦ(jω)

Arsin(ωt+∠Φ(jω))3)几点说明①[][][]ej输出幅值与输入幅值之比为幅频特性

A(ω)

=为相频特性φ(ω)=Φ(jω)=称为频率特性输出相角与输入相角之差②Φer(s)=E(s)R(s),当系统稳定时友情提醒③[][]友情提醒例：无源RC网络输入：r(t)=Asin

t电容C的等效复阻抗为则输出量：式中：电路输出电压与输入电压的复数比：

（RC=T） 这就是无源RC网络的频率特性。二、频率特性

何谓频率响应

系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。开环系统对正弦输入稳态响应称为开环频率响应；闭环系统对正弦输入稳态响应称为闭环频率响应；频率特性与传递函数具有十分相的形式

比较三、频率特性的性质1、与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则频率特性也完全确定。2、频率特性是一种稳态响应。系统稳定的前提下求得的。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可分离出来，且其规律不依赖于系统的稳定性。因此，仍可用频率特性来分析系统的稳定性、动态性能、稳态性能等。3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。

当频率

改变，则输出、输入量的幅值之比A（

）和相位移

（

）随之改变。这是系统中的储能元件引起的。

4、实际系统输出量都随频率的升高而出现失真，幅值衰减。因此，可以将它们看成为一个“低通”滤波器。

5、频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。

四、频率特性的求取：

1、根据定义求取。对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。

2、根据传递函数求取。用s=j

代入系统的传递函数，即可得到。

3、通过实验的方法直接测得。频率特性是系统的一种数学模型；频率特性的三种图形：1)幅相频率特性曲线（又称极坐标或Nyquist曲线）;2)对数频率特性曲线（又称Bode图）;3)对数幅相频率特性曲线（又称Nichols曲线）。

5.1.2

频率特性的几何表示法

最小相位系统的幅频和相频特性之间存在唯一的对应关系，

利用Nyquist稳定判据可由开环频率特性判别闭环系统的稳定性，用相角裕量和幅值裕量来反映系统的相对稳定性。

利用等M圆和等N圆可由开环频率特性求闭环频率特性，进而定性或定量分析系统的时域响应。

极坐标图示法是频率特性法分析中常采用的一种图解法。

当输入信号的频率ω由0→

变化时，向量G(jω)的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动而形成的轨迹，称为极坐标图，又称为G(jω)的幅相特性或奈奎斯特(Nyquist)曲线，简称奈氏图。

实频特性虚频特性相频特性幅频特性(1)极坐标图(Polarplot)幅相频率特性曲线A（

）——幅频特性；G（j

）的模，它等于稳态的输出分量与输入分量幅值之比.

（

）——相频特性；G（j

）的幅角，它等于稳态输出分量与输入分量的相位差。X（

）——实频特性；Y（

）——虚频特性；都是

的函数，之间的关系用矢量图来表示。(2)对数坐标图(Bodediagramorlogarithmicplot)对数频率特性曲线对数幅频特性对数相频特性(

)纵坐标均按线性分度横坐标是角速率10倍频程，用dec

按分度对数坐标系对数幅频特性对数坐标系对数相频特性对数坐标系对数相频特性对数幅频特性退出

(3)对数幅相图(Log-magnitudeversusphaseplot)又称尼氏(Nichols)

曲线尼氏图又称为对数幅相图：采用直角坐标系，以频率ω为参变量.纵坐标为对数幅频特性G(jw)的20lg|G(jw)|，单位为分贝（dB），线性分度。横坐标取相频特性∠G(jw)，单位为度(°)，线性分度。退出频率特性的三种图示法1、极坐标图

——Nyquist图（又叫奈奎斯特图、简称奈氏图或幅相频率特性）。2、对数坐标图——Bode图（又叫伯德图，简称伯氏图）3、复合坐标图——Nichocls图（又叫尼柯尔斯图，简称尼氏图）；一般常用于闭环系统的频率特性分析。5.2典型环节与开环系统的频率特性一、典型环节的极坐标图

1、放大环节

G(jω)=K=X+jY

放大环节是复平面实轴上的一个点，它到原点的距离为K。2、微分环节的幅相曲线G(s)=s这是一个纯虚矢量jIm[G(jω)]Re[G(jω)]01234矢量的模随着ω的增大而增大3、积分环节的幅相曲线这是一个负的纯虚矢量jIm[G(jω)]Re[G(jω)]0矢量的模随着ω的增大而减小G(s)=s14、一阶微分的幅相曲线这是一个实部衡为1虚部随ω增大而增大的矢量矢量的模随着ω的增大从1变化到无穷G(s)=Ts+1jIm[G(jω)]Re[G(jω)]0123415、惯性环节G(s)=0.5s+110.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)

A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76-840.450.370.240.05

极坐标图则有可以证明该一阶因子的Nyquist图是以（0.5,j0）为圆心，直径为1的半圆.G(s)=Ts+116、二阶微分的幅相曲线G(s)=T2s2+2ξTs+1矢量的虚部始终为正Tω<1时，实部为正，矢量在第一象限Tω＝1时，实部为零，矢量在正虚轴上Tω>1时，实部为负，矢量在第二象限jIm[G(jω)]Re[G(jω)]017、振荡环节G(jω)分析(0<ξ<1)(0<ξ<0.707)振荡环节G(jω)曲线0j1(0<ξ<1)（Nyquist曲线）8、延迟环节

幅频特性：与ω无关的常量，其值为1。相频特性：与ω成线性变化。其极坐标图是一个单位图。典型环节相角小结G(s)=s微分环节积分环节一阶微分二阶微分惯性环节振荡环节G(s)=Ts+1G(s)=T2s2+2ξTs+1G(s)=s1G(s)=Ts+11G(s)=T2s2+2ξTs+11恒定正90o恒定负90o0o~+90o0o~-90o0o~90o~180o0o~-90o~-180o非最小相角环节相角小结G(s)=k(k<0)G(s)=-Ts+1G(s)=T2s2-2ξTs+1G(s)=-Ts+11G(s)=T2s2-2ξTs+11不稳定的不稳定的不稳定的不稳定的不稳定的比例环节一阶微分惯性环节二阶微分振荡环节名称G(s)恒定-180o0o~-90o0o~+90o0o~-180o0o~+180o奈氏曲线的起点奈氏曲线的终点极坐标图的一般形状二、开环极坐标频率特性曲线的绘制例题1：绘制

的幅相曲线。解：求交点：

曲线如图所示：0-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]开环幅相曲线的绘制无实数解，所以与虚轴无交点MATLAB绘制的图1、积分环节L(ω)①G(s)=1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-20][-20]②G(s)=10s1③G(s)=5s三、开环对数坐标频率特性曲线的绘制斜率例题:求交接频率ωcωc=0.4L(ω)dBω0dB-7.96-21.94ωc15斜率=-7.96lg1∴∵ω=1时,则有令=1得：–(-21.94)–lg5L(1)=-7.96=20lgk,∴k=0.4①G(s)=s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[+20][+20][+20]2、微分环节L(ω)②G(s)=2s③G(s)=0.1s3、惯性环节对数幅频渐近曲线的分析水平线斜率为[-20]的斜线①G(s)=10.5s+1100②G(s)=s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-20201003、惯性环节L(ω)[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90o①G(s)=0.5s+10.3②G(s)=(0.25s+0.1)L(ω)dB100.2210.1ω0dB2040-40-20201004、一阶微分L(ω)0o+30o+45o+60o+90o[+20][+20]5、振荡环节L(ω)渐近线分析或或<<<注意：ξ这项总是去掉的！要在ωn或ωr处修正!!!渐近线

幅频特性与

关系[-40DB/dec]二阶振荡环节频率响应曲线以渐近线表示引起的对数幅值误差幅值误差与

关系令谐振频率谐振峰值

下图

与

关系曲线谐振频率谐振峰值

nn22n22SS(s)Gw+xw+w=/dB谐振频率谐振峰值与关系

振荡环节L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]振荡环节再分析0dBL(ω)dBω20lgk(0＜ξ＜0.707)[-40]0＜ξ＜0.5

ξ=0.50.5＜ξ＜1相频特性：φ(ωn)=-90oω=

r夸张图形L(ω)ω0dB[-40]L(ω)ω0dB[-40]L(ω)ω0dB[-40]L(ω)ω0dB[-40]6二阶微分j01幅相曲线对数幅频渐近曲线0dBL(ω)dBω[+40]0<ξ<0.707时有峰值：

系统的开环传递函数是由典型环节串联而成,即系统的开环频率特性为：系统的开环对数幅频特性(伯德图)为：系统的开环对数相频特性为绘制开环系统频率特性一般步骤:1.将开环传递函数写成典型环节乘积的形式。2.画出各典型环节的对数幅频和相频特性曲线。3.在同一个横坐标下,分别将各环节的对数幅频和相频特性曲线相加。四、系统开环对数伯德图叠加叠加典型环节斜率小结G(s)=s微分环节积分环节一阶微分二阶微分惯性环节振荡环节G(s)=Ts+1G(s)=T2s2+2ξTs+1G(s)=s1G(s)=Ts+11G(s)=T2s2+2ξTs+11恒定20db/dec020db/dec0-20db/dec040db/dec0-40db/dec恒定-

20db/dec典型环节相角小结G(s)=s微分环节积分环节一阶微分二阶微分惯性环节振荡环节G(s)=Ts+1G(s)=T2s2+2ξTs+1G(s)=s1G(s)=Ts+11G(s)=T2s2+2ξTs+11恒定正90o恒定负90o0o~+90o0o~-90o0o~90o~180o0o~-90o~-180o开环系统的伯德图步骤如下12写出开环频率特性表达式，将所含各因子的转折频率由大到小依次标在频率轴上.

绘制开环对数幅频曲线的渐近线。

低频段的斜率为

渐近线由若干分段直线组成

在处，

每遇一转折频率，就改变一次分段直线的斜率

因子的转折频率分段直线斜率的变化量为

因子的转折频率当分段直线斜率的变化量为

时，当时，

43高频渐近线，其斜率为n为极点数，m为零点数

作出以分段直线表示的渐近线后，如需要，按典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正

作相频特性曲线。根据表达式，在低频、中频和高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线.

高频相位，其趋势为低频相位，其趋势为开环传递函数L(ω)曲线的绘制例题5-1100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]绘制的L(ω)曲线时为38db时为52db转折频率：0.5230斜率：-40-20-40[-20][-40]0.5低频段：绘制的对数曲线。解：对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。例5-2-90o-114.7o-93.7o-137.5o-180o对数幅频：低频段：20/s[-20]转折频率：1510斜率:-400-40修正值：各环节角度：低频段：20/s[-20]转折频率：1510斜率:-400-40-90o-114.7o-93.7o-137.5o-180o[-20][-40][-40]ω0dB20dB-20dBL(ω)-90o-120o-150o-180oφ(ω)1510绘制曲线例5-3由L(ω)求G(s)0ωL(ω)-20203[+20][-20]0ωL(ω)[-20][-40]1002000ωL(ω)[-20][-40]114200ωL(ω)-203.06[+40]-28例5-4由L(ω)求G(s)1L(ω)dBω0dB40-1.9424.08[-20][-40][-40][-20]8基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。一、预备知识——幅角定理由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一点，经过复变函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到对应的象。设辅助函数5.3频率域稳定判据

令：s从s1开始沿任一闭合路径Γs

（不经过F(s)的零点和极点）顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下：

零点(-zi)极点(-pj)1)–zi在Γs外。2)–pj在Γs外。

结论：相角无变化

1)–zi在Γs内，。(顺时针)2)–pj在Γs内，。(逆时针)

结论：若F(s)在Γs中有Z个零点和P个极点，则当s沿Γs顺时针方向旋转一圈时，F(s)相角有变化（顺时针）：

二、幅角定理：

F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线顺时针绕原点（Z–P）圈。即

N=Z-P

（或逆时针绕原点N=P-Z圈）其中：N为圈数，正、负表示的旋转方向：

逆时针为正，顺时针为负。三、奈魁斯特稳定性判据1．奈氏路径

顺时针方向包围整个s右半面。当F(s)有若干个极点处于s平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。

2.奈氏判据设：

——闭环系统特征多项式显然：F(s)的零点就是闭环系统的极点。

(1)1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为F(s)在s右半平面内极点个数P与零点个数Z之差：

N=P-Z

当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。（2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据

因1+G(s)H(s)与G(s)H(s)相差1，所以系统稳定性可表述为：

奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕一圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。

P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。

a.若P=0，且N=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系统稳定；

b.若P≠0，且N=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定，否则N≠P闭环是不稳定系统。

不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取：Z=P­N

c.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极点分布在s平面的虚轴上。例:一系统开环传递函数为：

试判别系统的稳定性。解：本系统的开环频率特性

当变化时，系统的幅相曲线如图所示。因系统有一开环极点位于s右半面，即：P=1。奈氏曲线逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即N=1。根据奈氏判据,闭环系统在s右半面极点数

Z=P-N=1-1=0

所以系统稳定。

a.

当s=0为开环极点时，奈氏路径：s=-j0→+j0时，以原点为圆心，作半径无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过原点。令,ε→0当从s=-j0转到+j0时，θ从-90°变到+90°（Ⅰ型系统）所以，从变到。

结论:

当s从-j0转到+j0时，G(s)H(s)的奈氏曲线以无穷大半径，顺时针转过。

b．s→∞的奈氏曲线因R→∞，则

所以，对n-m>0的系统，ε就趋向于零。

从-(n-m)90°变到+(n-m)90°。

结论:

当s沿奈氏曲线从+j∞到-j∞时，对n>m的系统，G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲线以无穷小半径，绕原点逆时针转过(n–m)π。奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：S沿着奈氏路径绕一圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。

Z=P­NP——G(s)H(s)位于s右半平面的极点数；

N——G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的圈数；

Z——闭环系统位于s右半平面的极点数。例试判断系统的稳定性：解：先作+j0到+j∞时G(jω)H(jω)曲线。再根据对称性，作出-j0到-j∞时的

G(jω)H(jω)曲线。当s从-j0到+j0时，G(jω)H(jω)曲线以无穷大半径，顺时针转π（虚线）。

=

1时，G(j

)H(j

)与实轴交K1。可见：G(s)H(s)曲线顺时针绕(-1,j0)点一圈，N=-1，又因P=0，所以Z=P-N=1，说明稳定不系统，有一个闭环极点在s的右半平面。例

分析如下系统的稳定性。设开环传递函数中，

T5<T1<T2、T3和T4

解：某K值下GH曲线如图，因N=0，且P=0，系统稳定。

1.

K增大，（-1，j0）位于c、d间，曲线顺时针包围（-1，j0）两圈，系统不稳定。

2.K减小，（-1，j0）位于a、b之间，曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，系统仍不稳定。

K再减小，使（-1，j0）点位于a点左边，那么闭环系统又稳定。

条件稳定系统3.一种简易的奈氏判据

（1）正、负穿越的概念

G(jω)H(jω)曲线对称实轴。只画部分。所谓“穿越”是指轨迹穿过段。正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用表示。负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用表示。

正穿越负穿越N=N＋-N－G(jω)H(jω)

逆时针方向绕(-1,j0)

一周，则必正穿越一次。反之，顺时针方向包围点(-1,j0)

一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围的圈数。

若G(jω)H(jω)轨迹起始于或终止于(-1,j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，有+1/2次穿越和-1/2次穿越。关于半次穿越-1-1

奈氏判据又可表述为：闭环系统稳定的充要条件是：当ω由0变化到∞时，G(jω)H(jω)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为P/2圈。

P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时Z=P-2N

若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0.

注意：这里对应的ω变化范围z=p_2N闭环特征根在s右半平面的个数开环极点在s右半平面的个数N=N＋-N－z=0系统稳定

解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），G(jω)H(jω)轨迹在点(-1,j0)以左的负实轴有2次正穿越，1次负穿越，因为：N=,

求得：Z=P-2N=2-2=0所以系统是稳定系统。.

例:

某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。

解:(a):N=N+-N–=（0-1）=-1，且已知P

=0，所以

Z=P-2N=2系统不稳定。

(b)K>1时，N=N+-N-=1-1/2=1/2，且已知P=1，所以

Z=P-2N=0，闭环系统稳定；

K<1时，N

=N+-N-=0-1/2=-1/2，且已知P

=1，所以Z=P-2N=2，闭环系统不稳定；

K=1时，奈氏曲线穿过(-1,j0)点两次，所以系统不稳定。例:

两系统取一半奈氏曲线，试分析系统稳定性。图a图b

奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕一圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈。

Z=P­N

P:

为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数；

N:

G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点圈数；

Z:

闭环系统位于s右半平面的极点数。闭环系统稳定的充要条件是：当ω由0变化到∞，G(jω)H(jω)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为P/2圈。Z=P­2N四、伯德图上(对数频率)的奈氏判据

极坐标图 伯德图 单位圆 0db线（幅频特性图） 单位圆以内0db线以下区域 单位圆以外0db线以上区域 负实轴 -1800线（相频特性图）

因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。

（1）穿越点确定

截止频率

穿越频率单位圆负实轴即对数稳定性判据j-1ABCD0ωz=p2N在L(ω)>0dB的频段，从上向下为负穿越ωdL(ω)-90-180φ(ω)-2700dBωωωbωc0o看φ(ω)穿越(2k+1)π线的次数。

在半对数坐标下ΓGH分为

对数幅频特性曲线ΓL和对数相频曲线。

ΓL=L(ω);??（2）确定1)开环系统无虚轴上的极点时，2)开环系统存在积分环节3)开环系统存在震荡环节（3）穿越次数的确定正穿越一次、负穿越一次、正穿越半次、负穿越半次

对数坐标下的奈氏判据可表述如下：闭环系统稳定的充要条件是：当ω由0变到∞时，在开环对数幅频特性的频段内，相频特性穿越的次数（正穿越与负穿越次数之差）为。

P:开环传递函数在s右半平面的极点数。开环传递函数无极点分布在S右半面，即，则闭环系统稳定的充要条件是：在的频段内，相频特性在线上正负穿越次数代数和为零。或者不穿越线。例：某系统有两个开环极点在S右半平面（P=2）N+-N-=1-2=-1不等于P/2（=1）所以，系统不稳定。对数判据例题1对数判据例题2最小相位系统开环对数相频特性曲线改变系统开环增益可使系统截止频率变化，试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。对数判据例题3最小相位系统开环对数相频特性曲线改变系统开环增益可使系统截止频率变化，试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。对数判据例题4z=1-=2不稳定注意补角度主要内容

控制系统的相对稳定性

增益裕度

相角裕量

用幅相频率特性曲线分析系统稳定性

5.4稳定裕量5.4.1

控制系统的相对稳定性

从Nyquist稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右半平面的极点且闭环系统是稳定的，则

开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越远，则闭环系统的稳定程度越高

开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越近，则其闭环系统的稳定程度越低，这就是通常所说的相对稳定性

通过奈氏曲线对点(-1,j0)的靠近程度来度量其定量表示为相角裕量γ和增益裕度Kg

5.4.2相角裕量

意义：为了表示系统相角变化对系统稳定性的影响，引入相角裕量的概念引入：增益穿越频率，也称剪切频率或截止频率，G(jω)H(jω)曲线与单位元交于C

点，此时|G(jωc)H(jωc)|=1

定义：使系统达到临界稳定状态，尚可增加的滞后相角，称为系统的相角裕度或相角裕量，表示为j01ωcωxG(jω)∠G(jωc)-1相角裕度=180o+∠G(jωc)

应用：

相角裕量γ为增益穿越频率ωc处相角与-180°线之距离

对于最小相位系统当γ＞0时，闭环系统稳定当γ＜0时，闭环系统不稳定增益裕度和相角裕度通常作为设计和分析控制系统的频域指标，如果仅用其中之一都不足以说明系统的相对稳定性

5.4.3增益裕度

意义：增益裕度表示G(jω)H(jω)曲线在负实轴上相对于(-1,j0)点的靠近程度

定义：G(jω)H(jω)曲线与负实轴交于G点时，G点频率ωg

称为相位穿越频率，ωg处相角为-180°，幅值为|G(jω)H(jω)|，开环频率特性幅值|G(jω)H(jω)|的倒数称为增益裕度(或幅值裕度)，用Kg表示。见下图（a）最小相位系统的Nyquist图（b）对数频率特性

表示：

式中ωg满足下式∠G(jωg)H(jωg)=-180°

增益裕度用分贝数来表示:Kg=-20lg|G(jωg)H(jωg)|dB

应用：对于最小相位系统当|G(jωg)H(jωg)|<1或20lg

|G(jωg)H(jωg)|<0时，闭环系统稳定

当|

G(jωg)H(jωg)|>1或20lg|

G(jωg)H(jωg)|>0时，闭环系统不稳定当|G(jωg)H(jωg)|=1或20lg

|G(jωg)H(jωg)|=0时，系统处于临界状态

对于开环系统不稳定，为使闭环系统稳定，G(jω)H(jω)曲线应包围(-1,j0)点，此时Kg=-20lg

|G(jωg)H(jωg)|<0，闭环系统稳定

结论

增益裕度Kg表示系统到达临界状态时，系统增益所允许增大的倍数0dB-180ocωgωcg∠

G(jωc)20lg幅值裕度:hdB=－20lg对数曲线中稳定裕度的定义=180+∠

G(jωc)相角裕度:结论：一般而言

L(