自动控制原理第三章

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码：autoctrl2013第三章控制系统的时域分析法系统的数学模型3.1引言3.2一阶系统的时域分析3.3二阶系统的时域分析3.4高阶系统的时间响应概述3.5控制系统的稳定性3.6控制系统的稳态误差3.7复合控制系统的数学模型3.1引言3.2一阶系统的时域分析3.3二阶系统的时域分析3.4高阶系统的时间响应概述3.5控制系统的稳定性3.6控制系统的稳态误差3.7复合控制经典控制理论的基本框架传递函数时域分析法根轨迹法频域分析法数学模型分析设计工具时域分析法时域分析法：取时间t作为自变量，研究输出量的时间表达式具有直观、准确的优点，可提供时间响应的信息本章研究使用时域法进行系统分析，并研究减少误差、提高系统稳态性能的方法影响控制系统时间响应的因素控制系统的时间响应系统本身的结构和参数系统的初始状态系统上的外作用各不相同，事先也无法知道，通常作典型化处理典型初始状态规定控制系统的初始状态均为零状态，即在t=0-时，表明，在外作用加于系统的瞬时之前，系统是相对静止的，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零典型输入信号选取测试和评价系统的输入信号的原则测试信号的形式应接近或反映系统工作时最常见的输入信号形式应注意选取对系统工作最不利的信号做测试信号5种典型函数阶跃函数斜坡函数加速度函数单位脉冲函数与单位冲激函数正弦函数经典控制理论的基本框架时域表达式：单位阶跃函数：R=1，记为1(t)，拉氏变换为1/s。阶跃函数常被用来反映和评价系统的动态性能若系统工作时输入信号常常是固定不变的数值，就用阶跃响应来评价该系统的稳态性能斜坡函数（速度函数）时域表达式：斜坡函数代表匀速变化的信号单位斜坡函数：R=1，记为t，拉氏变换为1/s2加速度函数时域表达式：加速度函数代表匀加速变化的信号单位加速度信号R=½，r(t)=t2/2，拉氏变换为1/s3r(t)Rt20t单位脉冲函数时域表达式：当h很小时，表示一个短时间内的较大信号脉冲宽度单位冲激函数单位冲激函数的定义：及单位冲激函数的拉氏变化为1单位冲激函数的重要性质：若f(t)为连续函数，则有

理论上的函数，通常采用宽度很小的单位脉冲函数代替正弦函数表达式：拉氏变换式：r(t)0π2πωt系统的时间响应有理分式C(s)的每一个极点都对应于c(t)的一个时间响应项，即运动模态，而c(t)就是由C(s)的所有极点所对应的时间响应（运动模态）的线性组合令D(s)=0，假设求出n个不同实根，p1、p2、p3…pn拉氏反变换的部分分式法n>m系统的时间响应零初始条件下：传递函数的极点输入信号拉氏变换式的极点所对应的时间响应分量称为瞬（暂）态分量所对应的时间响应分量称为稳态分量几点说明1、通常把传递函数极点所对应的运动模态称为该系统的自由运动模态或振型，或称为该传递函数或微分方程的模态或振型。它与输入信号无关。2、传递函数的零点并不形成运动模态，但它们会影响各模态在响应中所占的比重，因此也会影响时间响应及其曲线形状3、根据拉普拉斯变换的微分性质和积分性质可推导出：系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，积分常数由零输出的初始条件确定单位冲激响应在零初始条件下，当系统的输入信号是单位冲激函数δ(t)时，系统的输出信号称为系统的单位冲激响应令系统的输入信号R(s)与输出信号C(s)之间的传递函数为G(s)，输入信号是单位冲激函数δ(t)单位阶跃响应在零初始条件下，当系统的输入信号是单位阶跃函数r(t)=1(t)时，系统的输出信号称为系统的单位阶跃响应单位阶跃响应的拉氏变换式：系统的单位阶跃响应：单位斜坡响应在零初始条件下，当系统的输入信号是单位斜坡函数r(t)=t时，系统的输出信号称为系统的单位斜坡响应单位斜坡响应的拉氏变换式：系统的单位斜坡响应：三种响应之间的关系单位阶跃响应单位斜坡响应单位冲激响应积分求导积分求导输出信号与系统单位冲激响应的关系拉氏变换的卷积定理：一般化情况下：时间响应的性能指标控制系统的时间响应分为动态和稳态两个过程；动态过程：又称过渡过程，是指从初始状态到接近最终状态的响应过程稳态过程：是指时间趋于无穷大时系统的输出状态动态性能系统的动态性能：当系统的时间响应c(t)中的瞬态分量较大而不能忽略时，系统处于动态过渡过程中时的系统特性。动态性能指标通常根据系统的阶跃响应曲线去定义

p

tr0.5

y(t)tdtp01tst稳态误差延迟时间td：响应曲线第一次达到其稳态值一半所需时间。上升时间tr：响应从稳态值的10%上升到稳态值90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到稳态值所需时间。上升时间是响应速度的度量。稳态性能系统的稳态性能：当系统的时间响应c(t)中的瞬态分量很小可以忽略不计时系统处于稳态时的性能指标，一般指系统在稳态时的误差稳态性能

p

tr0.5

y(t)tdtp01tst稳态误差峰值时间tp：响应超过其稳态值到达第一个峰值所需时间。调节时间ts：响应到达并保持在稳态值内所需时间。超调量

%：响应的最大偏离量h(tp)与稳态值h(∞)之差的百分比，即稳态性能

p

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y(t)tdtp01tst稳态误差峰值时间tp：响应超过其稳态值到达第一个峰值所需时间。调节时间ts：响应到达并保持在稳态值内所需时间。超调量

%：响应的最大偏离量h(tp)与稳态值h(∞)之差的百分比，即稳态性能

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y(t)tdtp01tst稳态误差通常当t<ts时称系统处于动态，t>ts时称系统处于稳态系统的稳态指标：稳态误差性能指标分析上升时间和峰值时间表征系统响应初始阶段的快慢；调节时间表示系统过渡过程持续的时间，从总体上反映了系统的快速性；超调量和振荡次数反映系统响应过程的平稳性或阻尼程度；稳态误差反映系统复现输入信号的最终精度；一般侧重以超调量、调节时间和稳态误差来分别评价系统单位阶跃响应的平稳性、快速性和稳态精度系统的数学模型3.1引言3.2一阶系统的时域分析3.3二阶系统的时域分析3.4高阶系统的时间响应概述3.5控制系统的稳定性3.6控制系统的稳态误差3.7复合控制系统的数学模型3.1引言3.2一阶系统的时域分析3.3二阶系统的时域分析3.4高阶系统的时间响应概述3.5控制系统的稳定性3.6控制系统的稳态误差3.7复合控制拉氏反变换的部分分式法设D(s)=0求出n个单根p1、p2、…、pn，拉氏反变换的部分分式法例：求F(s)的原函数拉氏反变换的部分分式法例：求F(s)的原函数拉氏反变换的部分分式法设D(s)=0含有n个根，其中有γ个重根，则其中拉氏反变换的部分分式法例：求F(s)的原函数一阶系统

由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统.

典型闭环控制一阶系统如图所示.其中是积分环节，T为它的时间常数。一阶系统的结构图C(s)-R(s)典型的一阶系统是一个惯性环节,输出为一般地，将微分方程为传递函数为的系统叫做一阶系统。T的含义随系统的不同而不同。性能指标分析传递函数:结构图：微分方程:如RC电路:在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。

R

i(t)

CR(s)C(s)E(s)(-)1/Ts一阶系统的单位阶跃响应输入：输出：一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应：典型数值：稳态分量，由输入信号决定瞬态分量，由传递函数极点s=-1/T决定t趋近于无穷大时，瞬态分量按指数规律衰减到0斜率1C(t)0.95T3T0.632

一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应例，一阶系统的结构图如图所示，试求该系统单位阶跃响应的调节时间ts，若要求ts≤0.1s，试问系统反馈系数应取何值？0.1C(s)R(s)E(s)100/s-Kh一阶系统的单位斜坡响应输入：输出：一阶系统的单位斜坡响应输入：输出：一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应：系统的误差信号：稳态分量，也是斜坡函数，与输入信号斜率相同，但时间上滞后一个时间常数T瞬态分量，当t趋近于无穷大时，按指数规律衰减为0，衰减速度由极点s=-1/T决定可由单位阶跃响应积分得到，初始条件为零时间常数越小，响应越快，跟踪误差越小，输出信号的滞后时间也越短TtTC(t)r(t)=to一阶系统的单位冲激响应输入：输出：一阶系统的单位冲激响应一阶系统的单位冲激响应：实际测试单位冲激响应时

希望实际脉冲函数的宽度

h比系统的时间常数T足够

小，一般h<0.1T只包含瞬态分量可通过对单位阶跃响应求导获得0.368C(t)3T斜率C(t)T2Tt

一阶系统的脉冲响应一阶系统的单位冲激响应例，一阶系统实验中的故障状态分析，结构图如图所示。第一种情况：当输入为阶跃信号时，而输出随时间线性增长时，可以断定，积分器的反馈断开了；第二种情况：当输入为阶跃信号时，而输出随时间按指数规律无限增长时，可以断定，反馈错接为正反馈了。系统的数学模型3.1引言3.2一阶系统的时域分析3.3二阶系统的时域分析3.4高阶系统的时间响应概述3.5控制系统的稳定性3.6控制系统的稳态误差3.7复合控制系统的数学模型3.1引言3.2一阶系统的时域分析3.3二阶系统的时域分析3.4高阶系统的时间响应概述3.5控制系统的稳定性3.6控制系统的稳态误差3.7复合控制二阶系统的典型形式R(t)_C(t)

二阶系统结构图设二阶系统的结构图如图所示。系统的闭环传递函数为

其中K为系统的开环放大系数，T为时间常数。由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。在控制工程实践中，二阶系统应用极为广泛，此外，许多高阶系统在一定的条件下可以近似为二阶系统来研究，因此，讨论和分析二阶系统的特征具有重要的实际意义。二阶系统的典型形式输入信号为r(t)、输出信号为c(t)的二阶系统微分方程的典型形式：传递函数：式中，ζ>0,ωn>0。ζ称为阻尼比，ωn称为无阻尼自振角频率分子为常数（没有零点），且放大系数是1二阶系统的典型形式典型二阶系统二阶系统的特征方程求解二阶系统的特征方程：则解得二阶系统的二个特征根（即极点）：欠阻尼情况0<ζ<1两个特征根为：临界阻尼ζ=1两个相同的负实根：过阻尼ζ>1两个特征根：无阻尼ζ=0一对共轭纯虚根：二阶系统的单位阶跃响应单位阶跃响应：二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换：欠阻尼状态(0<ζ<1)展开并作反拉氏变换得到：二阶系统的单位阶跃响应0<ζ<1时，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部绝对值ζωn的大小，振荡的角频率是特征根虚部的绝对值，即有阻尼自振角频率ωd。振荡周期：稳态分量瞬态分量无阻尼状态(ζ=0)ζ=0时，二阶系统的单位阶跃响应是等幅正（余）弦振荡曲线。振荡的角频率是ωn。临界阻尼状态(ζ=1)展开并作拉氏反变换得到：ζ=1时，二阶系统的单位阶跃响应曲线是一条无超调的单调上升的曲线过阻尼状态(ζ>1)展开并作拉氏反变换得到：过阻尼状态(ζ>1)

其他情况下可以认为是两个一阶环节的串联么？二阶系统的单位阶跃响应

——无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡

——阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。不难看出频率和的物理意义。二阶系统的单位阶跃响应输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。

——无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡

——阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。不难看出频率和的物理意义。分析系统具有实部为正的极点，二阶系统的单位阶跃响应输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。

——无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡

——阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。不难看出频率和的物理意义。根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不同的特点。因此阻尼比是二阶系统的重要特征参数。分析系统具有实部为正的极点，不同阻尼比的二阶系统的单位阶跃响应曲线不同阻尼比的二阶系统的单位阶跃响应曲线平稳性：阻尼比ζ越大，超调量越小，响应的振荡倾向越小，平衡性越好；在一定的阻尼比下，ωn越大，振荡频率ωd也越高，系统响应的平稳性越差；不同阻尼比的二阶系统的单位阶跃响应曲线快速性：阻尼比ζ越大，系统响应迟钝，调节时间ts长，快速性差；阻尼比过小，虽然响应的初始速度快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间ts也长，快速性差；对于5%误差带，ζ=0.707时，称为最佳阻尼比对于一定的阻尼比，ωn越大，调节时间ts也就越短，快速性越好不同阻尼比的二阶系统的单位阶跃响应曲线稳态精度：稳态分量为1，而瞬态分量随时间t的增长而衰减到零，所以不存在稳态误差二阶欠阻尼系统的动态性能指标动态性能

当系统受到外部扰动的影响或者参考输入发生变化时，被控量会随之发生变化，经过一段时间，被控量恢复到原来的平衡状态或到达一个新的给定状态，称这一过程为过渡过程在时域中，常用单位阶跃信号作用下，系统输出的超调量

p,上升时间Tr

，峰值时间Tp

,过渡过程时间（或调整时间）Ts和振荡次数N等特征量表示。不同阻尼比的二阶系统的单位阶跃响应曲线

系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为对应的响应曲线如图所示。由上式和图所示曲线来定义系统的瞬态性能指标，同时讨论性能指标与特征量之间的关系。超调量C(t)上升时间tr峰值时间tp调节时间ts误差