2023-2024学年九年级数学《考点·题型·难点》期末高效复习（人教版）第08讲：锐角三角函数 （必刷10大考题+10大题型）解析版

第第页第08讲：锐角三角函数【考点归纳】考点一：正弦考点二：余弦考点三：正切考点四：特殊角三角函数的计算考点五：由三角函数值求锐角考点六：三角函数的增减性考点七：同角三角函数的关系考点八：解直角三角形问题考点九：锐角三角函数实际应用考点十：锐角三角函数综合问题【知识归纳】1.Rt△ABC中∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝EQ\f(∠A的对边,斜边)(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝EQ\f(∠A的邻边,斜边)(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝EQ\f(∠A的对边,∠A的邻边)2.特殊值的三角函数：30°EQ\f(1,2)EQ\f(\r(3),2)EQ\f(\r(3),3)45°EQ\f(\r(2),2)EQ\f(\r(2),2)160°EQ\f(\r(3),2)EQ\f(1,2)EQ\r(3)解直角三角形时，所用关系：边的关系：角的关系：边角关系：，，，，，【题型归纳】题型一：正弦1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）在中，，，，则的值是（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【分析】本题考查了三角函数定义的应用，直接运用三角函数定义求解即可．【详解】解：中，．∵，，∴，∴∴．故选：D．2．（2023上·陕西西安·九年级校联考期中）如图，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，得到，再利用勾股定理求出，的长，即可求出最后结果．【详解】解：如图，连接，

则，，，故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角形函数，勾股定理，利用勾股定理求出边长是解答本题的关键．3．（2023上·山西运城·九年级统考期末）如图，在中，，交的延长线于点，已知，，则的长为(

)

A． B． C． D．无法计算【答案】C【分析】根据三角形的外角的性质以及已知条件，可得，进而可得，根据正弦的定义，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：C．题型二：余弦4．（2023上·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，利用勾股定理得到，进而得到是直角三角形，从而求解.【详解】解：连接，如图所示，

由勾股定理可得：，∴∴是直角三角形，即∴故选：B．【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键．5．（2023上·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的值为（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据可以得到，然后利用勾股定理可以得到，然后计算解题即可．【详解】解：∵在矩形中,，由折叠的性质可知：，，∴，∵，，，故选B．【点睛】本题考查折叠的性质与勾股定理，三角函数，掌握折叠的性质是解题的关键．6．（2023上·山东威海·九年级统考期末）在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，利用网格特征可知，利用勾股定理求出，，根据余弦的定义即可求得答案．【详解】解：如图，由网格特征可知，，在中，，，∴，故选：A题型三：正切7．（2023上·江苏苏州·九年级统考期中）如图，在中，，是边上的高，是边上的中线，，，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，根据为边上的中线，可得，进而可得，，则有，，即可得，问题得解．【详解】解：在中，∵为边上的中线，且，∴，∴，，∵，∴，，∵为边上的高，∴，∴在中，，∴．故选：A．8．（2023上·重庆万州·九年级统考期末）直角三角形纸片，两直角边，，现将纸片按如图那样折叠，使A与电B重合，折痕为，则的值是（

）

A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据折叠的性质得出，设，则，在中，根据勾股定理得出，列出方程求出x的值，最后根据正切的定义，即可解答．【详解】解：∵沿折叠得到，∴，设，则，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的定义，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．9．（2022上·山西临汾·九年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，沿着折叠使点落在边上点处，过点作交于点．若，，则的长为（

）

A． B．2 C． D．【答案】A【分析】连接，根据折叠的性质和平行线的性质，证得，然后可证得，求得的长度，根据勾股定理即可求得答案．【详解】如图所示，连接．

根据折叠的性质可知，，，，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，，∴．又，∴．∴．∴．设，则，．在中，根据勾股定理可得．即．解得．∴．故选：A．题型四：特殊角三角函数的计算10．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．11．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了含特殊角三角函数值的混合运算，（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘法，最后算加减；（2）先将特殊角三角函数值代入，利用平方差公式计算即可．【详解】（1）解：原式，，；（2）解：原式，，．12．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）先化简，再求代数式的值，其中．【答案】原式；【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先把所给分式化简，再把化简后的x代入计算即可．【详解】解：原式∵∴原式．题型五：由三角函数值求锐角13．（2023上·湖南岳阳·九年级校考期末）在中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，，可得，进而得出，即可求解．【详解】解：在中，∵，，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数值，直角三角形两锐角互余，解题的关键是正确识记各个特殊角的三角函数值．14．（2022上·江苏扬州·九年级统考期末）已知中，，，则的形状（）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了由三角函数值求锐角、三角形的内角和，根据特殊角的三角函数值得、，再利用三角形的内角和即可求解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：由，得，，得，，故是钝角三角形，故选：C．15．（2023上·四川眉山·九年级校考期末）若中，锐角A、B满足，则是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】根据非负数的性质求出和的度数，即可判断的形状．【详解】解：∵，∴，且，∴，，∴，∴为等边三角形，故选：D．题型六：三角函数的增减性16．（2022上·上海静安·九年级统考期末）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可．【详解】解：∵0°＜25°＜30°∴∴．故选A．【点睛】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°~90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．17．（2018上·安徽安庆·九年级统考期末）比较cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（

）A．cos10° B．cos20° C．cos30° D．cos40°【答案】A【分析】根据同名三角函数大小的比较方法比较即可．【详解】∵，∴．故选：A．【点睛】本题考查了同名三角函数大小的比较方法，熟记锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；锐角的余弦、余切值随角度的增大而减小．18．（2018下·全国·九年级统考期末）已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【答案】C【分析】通过tan30°、tan45°、tan60°这些特殊角度的正切值来判断随角度变化正切值的变化规律，再通过具体数值确定其大致范围.【详解】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，则可知正切值随角增大而增大，由1＜＜可得，45°＜∠A＜60°．故选择C．题型七：同角三角函数的关系19．（2019上·上海普陀·九年级统考期末）已知在中，，，那么下列说法中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数的关系解答．【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，，则cosA=A、cosB=sinA=，故本选项符合题意．B、cotA=．故本选项不符合题意．C、tanA=．故本选项不符合题意．D、cotB=tanA=．故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查同角三角函数关系，解题关键在于掌握（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比.20．（2022·上海·九年级上海市建平实验中学校考期中）已知为锐角，且，那么的正切值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据求出，然后根据求解即可．【详解】∵，为锐角，∴，∴．故选：A．【点睛】此题考查了求角的正切值，解题的关键是熟练掌握三角函数公式．21．（2021上·广西崇左·九年级统考期末）如图，在中，于点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据题目已知条件推出∽，则可得，然后根据，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而得出的值，【详解】∵在中，，∴,∵于点，∴，∴，，∴∽，∴，即，，∵，∴设，，∴，∴，故选：B．题型八：解直角三角形问题22．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，在中，，下列结论正确的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了锐角三角三角函数关系．根据锐角三角三角函数关系，逐项判断，即可求解．【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项正确，符合题意；故选：D．23．（2023上·江苏南通·九年级统考期末）如图，在中，，，，则的长为（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．【详解】如下图，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．24．（2021上·湖南株洲·九年级统考期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（

）A． B．＋1 C． D．＋1【答案】C【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积．【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴BD＝AD．在Rt△ACD中，∠C＝30°，∴CD＝AD．∵BD＋CD＝BC，∴AD＋AD＝1＋．即AD＝1．∴S△ABC＝×BC×AD＝（1＋）．故选：C．题型九：锐角三角函数实际应用25．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）一艘货轮从小岛正南方向的点处向西航行到达点处，然后沿北偏西方向航行到达点处，此时观测到小岛在北偏东方向，则小岛与出发点之间的距离为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，矩形的判定与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握相关性质，熟悉锐角三角函数定义是解答本题的关键．过点作于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，，由直角三角形的性质得到，再根据锐角三角函数定义得到，由此得到答案．【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，，四边形是矩形，，，由题意得：，，，，，，，．故选：．26．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN（结果精确到米）．参考数据：，，．【答案】米【分析】本题考查锐角三角函数的应用，构造直角三角形求解是解题的关键．延长交于点F，设米，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义得出，求出x的值，即可解答．【详解】解：如图，延长交于点F，则米，米，．设米，在中，，∴（米），∴米．在中，，∴，解得，经检验是原方程的根．∴米，∴（米），答：电池板离地面的高度MN约为米．27．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长.（结果精确到，参考数据：）【答案】21【分析】过点O作，交的延长线于点D，过点O作，垂足为E，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点O作，交的延长线于点D，过点O作，垂足为E，由题意得：（米），（米），，∴，∵，∴，在中，（米），在中，（米），∴（米），∴（米），∴小李到古塔的水平距离即的长约为21米．题型十：锐角三角函数综合问题28．（2023上·北京东城·九年级统考期末）如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F．(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了切线的判定，圆的性质，特殊角的三角函数，熟练掌握切线的判定，特殊角的三角函数值是解题的关键．(1)连接，证明即可．(2)在中，根据，得到，，利用平行线性质得到，在，利用三角函数计算即可．【详解】（1）解：连接，∵平分交于点D，为直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴直线是的切线．（2）解：如上图，在中，∵，，为直径，，∴，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．29．（2023上·江苏南通·九年级校考期末）已知∶如图，为半圆上的一点，，过点作直径的垂线，为垂足，弦分别交于点．(1)求证∶；(2)若，，求的长【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，然后根据题意得到，然后通过等量代换得到，进而求解即可；（2）已知，就是已知的正切值，根据，可以根据相似三角形的对应边的比相等求得．【详解】（1）证明：连接，，．，．是直径，．，，，，．（2）解：，，．．，，．，．．，，．．．【点睛】本题主要考查了三角函数的运用，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．30．（2023上·山东青岛·九年级山东省青岛第二十六中学校考期末）如图，已知矩形，，，点F为中点．点P从点D出发，沿方向匀速向点A运动，点E从点C出发，沿方向匀速向点A运动，点P、E的运动速度均为1；当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动．连接、．设运动时间为，解答下列问题：(1)当点P在的平分线上时，求t的值；(2)设的面积为y，求y与t之间的函数关系式；(3)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得是等腰三角形．若存在，请求出t，若不存在，请说明理由．【答案】(1)当点P在的平分线上时，t的值为5；(2)；(3)存在，t的值是5或6或7.2．【分析】（1）作出的平分线，运用角平分线的性质构造直角三角形，用t表示出、的长度，再根据勾股定理求解．（2）作出和的高，利用三角函数表示出两条高的长度，易得、和的面积，最后用的面积减去三个三角形的面积即可表示出的面积．（3）存在，分三种情况讨论：或或，难点在第三种情况，需要构造辅助线，利用锐角三角函数求解．【详解】（1）（1）如图1，过点P作于点Q，由题意得：，在矩形中，，，平分，，，，，，，由勾股定理得：，，解得：，当点P在的平分线上时，t的值为5；（2）（2）如图2，过点P作于G，过点E作于H，由题意得：，，即，，同理得：，，即；（3）（3）存在，分三种情况：①如图3当E与O重合时，此时；②如图4，CE＝CD＝6时，此时；③如图5，DE＝CD＝6，过点D作，，即，，，，综上，t的值是5或6或7.2．【强化精练】一、单选题31．（2023上·山西晋城·九年级校联考期末）在中，各边都扩大3借，则的正切值（

）A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定【答案】C【分析】本题考查了正切函数的概念，根据锐角三角函数的定义，可得答案．属于简单题．理解正切函数的定义是解题关键．【详解】解：由题意，得，各边都扩大3倍，则角A的正切值不变．故选：C．32．（2023上·山西长治·九年级校联考期末）学校摄影兴趣小组在上摄影课，小王发现摄影三脚架如图1所示，该支架三个脚长度相同且与地面夹角相同．如图2，过点A向地面作垂线，垂足为C．若三脚架的一个脚的长为2米，，则相机距地面的高度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本此题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．【详解】解：∵三脚架的一个脚的长为2米，，∴，∴（米）．故选：B．33．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，点A、B、C、D在上，于点E．若，，则的长为（

）A． B． C．8 D．4【答案】A【分析】本题主要考查圆周角定理和垂径定理以及三角函数，连接，根据圆周角定理求得，在中可得，可得的长度，故长度可求得，即可求解．【详解】解：连接，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故选：A．34．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解．【详解】解：∵四边形为正方形，．∴，，∴，∴∵，，则，设，则，∴解得：或∵，∴，∴,故选：C．【点睛】本题考查了求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．35．（2023上·河南漯河·九年级统考期末）如图，是上的三个点，，连接，过点作交于点，交于点，若点是的中点，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，利用余弦的定义求出，再根据圆周角定理得到，然后计算即可．【详解】解：连接，如图，

点是半径中点，，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值求角度，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．36．（2023上·河北邢台·九年级校联考期末）如图，正六边形的边长为，这个正六边形外接圆的圆心到该正六边形一条边的距离是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接、，求出，可得是等边三角形，即可求出正六边形的边长和的半径，再解直角三角形即可求得边心距．【详解】解：连接、，如图所示：

∵六边形为正六边形，∴，∴是等边三角形，∵正六边形的边长为，∴，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、解直角三角形等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．37．（2023上·河北保定·九年级统考期末）题目：“在中，，，，求的长度．”对于其答案，甲答：的长度为，乙答：的长度为，丙答：的长度为，则正确的是（

）A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】B【分析】根据锐角三角函数值及勾股定理分直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三种情况讨论解答即可．【详解】解：∵在中，，，∴假设是直角三角形，∴，∵，∴假设与已知条件出现矛盾，∴不是直角三角形；当是锐角三角形时，过点作，垂足为，∴，∵，，∴在中，，∴，∴在中，，在中，，∴；

当是钝角三角形时，过点作，垂足为，∴，∵，，∴在中，，∴，∴，∵，∴在中，，∴，故选．

【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．38．（2023上·山西长治·九年级统考期末）如图，在中，以点为圆心，为半径作，边与相切于点，把绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在上，则的值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如图所示，连接，由旋转的性质可知，，即可推出，然后证明是等边三角形，得到，则．【详解】解：如图所示，连接，

由旋转的性质可知，，∴，∴，又∵点在圆O上，∴，即，∴是等边三角形，∴，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，特殊角三角函数值，正确作出辅助线构造等边三角形时解题的关键．39．（2023上·山西运城·九年级统考期末）如图，在中，于点，将沿直线折叠，点在边上的点处，已知，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作于点，先这么，再根据折叠的性质、勾股定理得到，由余弦定义得到，由正弦定义得到，据此设，，解出，从而得到，最后根据正弦定义解答即可．【详解】解：如图，作于点，

在中，∴折叠设故选：A．【点睛】本题考查正弦、余弦、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．40．（2023上·河南驻马店·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点O顺时针旋转n个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由于正六边形每次转45°，根据，则的坐标与的坐标相同，求得的坐标即可．【详解】解：将边长为2的正六边形绕点顺时针旋转个，∴，当时，则的坐标与的坐标相同，则如图，过点作于，过点轴于点，

，，，，正六边形的一个外角，，，，

，，，．故选B．【点睛】本题主要考查了旋转的性质解直角三角形、正六边形的性质、正多边形的外角和、内角和等知识点，发现的坐标与的坐标相同是解题的关键．二、填空题41．（2023上·广东揭阳·九年级校考期末）如图，菱形的周长为8，两邻角的比为，则对角线的长分别为．【答案】或2/2或【分析】本题考查菱形性质的运用，属于基础题目，根据菱形的性质求出菱形的边长，然后根据等边三角形的性质求解即可．依题意，根据菱形的性质首先求出边长，然后推出对角线与菱形的两边构成的三角形为等边三角形，最后可解答．【详解】解：菱形的周长为8，菱形的边长是∶，两个邻角的比是，较大的角是，较小的角是，这个菱形的对角线所对的角是，由菱形的性质得到，与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，故答案为∶2和．42．（2023上·吉林·九年级校考期末）如图，在中，，，则．【答案】【分析】本题考查求一个角的正弦值．设，则：，勾股定理求出的长，利用，求解即可．牢记正弦的定义，是解题的关键．【详解】解：∵，，∴设，则：，∴，∴．故答案为：．43．（2023上·河北衡水·九年级校考期末）如图，为了测得某建筑物的高度，在处用高为的测角仪，测得该建筑物顶端的仰角为，再向建筑物方向前进，又测得该建筑物顶端A的仰角为，则该建筑物的高度为（结果保留根号）【答案】【分析】本题考查解直角三角形的应用，设米，利用正切的定义用x表示出，，根据列方程，即可求解．【详解】解：由题意知，，，设，在中，，则，在中，，则，，，解得，，故答案为：．44．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，，，，则的长为．【答案】【分析】本题主要考查相似三角形、锐角三角函数、勾股定理等是一道综合型比较强的题目，要充分利用题干已知信息挖掘题目所隐含的信息，解答本题的关键在于做辅助线构造直角三角形，利用相似求解出边长．【详解】解：过点作于，延长交的平行线于点，∴，在中，∴设，，又，又勾股定理得，，∴，．又∵为等腰三角形，∴，∴，又∵，∴，又∵，，，∴，∴∴，又∵，．∴在中，．故答案为：．45．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算．【答案】【分析】如图，在中，，，作的角平分线，作，设，则，，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，在中，，，作的角平分线，作，∴，，∵，设，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，正弦，正切等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，正弦，正切是解题的关键．46．（2023上·浙江温州·九年级温州市龙湾区海城中学校考期末）如图，在中，是直径，弦于点，点是上一点，弦，连接交于点与的延长线交于点，设，已知，当时，．连接，若，则．【答案】【分析】先根据直径所对的圆周角是以及垂直定义，得，结合，即可证明，得，证明，则，即，故，即可得到；连接，，，因为，是直径，所以，设，则，得出，根据正弦的定义，计算即可得到答案.【详解】解：∵是直径，弦于点，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，则，即，故，∴，则；如图，连接，，当时，∴∵∴，即，∴是的直径，则，，四边形是矩形∵，设，∵∴，∴，则，∵∴∵又∵即解得：（负值舍去）故答案为：，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，平行线的性质：难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．三、解答题47．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）先化简，再求代数式的值，其中．【答案】，【分析】本题考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟记是代值计算的关键．【详解】解：原式，∵，∴原式．48．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，某座山的主峰观景平台高450米，登山者需由山底处先步行300米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处，已知点，，，，，在同一平面内，，于，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）(1)求登山缆车上升的高度；(2)若小明步行速度为，登山缆车的速度为，求小明从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）．（参考数据：，，）【答案】(1)登山缆车上升的高度(2)从山底A处到达山顶处大约需要【分析】本题考查解直角三角形的应用．（1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可；（2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．【详解】（1）解：如图，过点作于，∴，∵，∴，∵，∴四边形是矩形，在中，，，，∴，∵，∴，答：登山缆车上升的高度；（2）解：在中，，，，，∴从山底处到达山顶处大约需要：，答：从山底处到达山顶处大约需要．49．（2023·全国·九年级专题练习）如图，AB是☉O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交☉O于点H，DB交AC于点G．(1)求证；AF=DF；(2)若AF=，sin∠B=，求☉O的半径．【答案】(1)见解析(2)☉O的半径为5【详解】（1）证明∵D是弧AC的中点，∴．∵AB⊥DH，且AB是☉O的直径，∴，∴．∴∠ADH=∠CAD，∴AF=DF．（2）解∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠B=90°．∵∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠B，∴sin∠ADE=，tan∠ADE=．设AE=x，则DE=2x．∵DF=AF=，∴EF=2x-．∵AE2+E