高考第一轮复习讲义 第29讲 解三角形应用举例及综合问题（原卷版+解析版 ）

第29讲解三角形应用举例及综合问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·福建福建·模拟预测）某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度分别为，则（

）A．能作出二个锐角三角形 B．能作出一个直角三角形C．能作出一个钝角三角形 D．不能作出这样的三角形2．（2022·北京通州·一模）太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（取正值），选择春分当日（）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：组别甲组乙组丙组丁组木杆影长度（米）0.820.800.830.85则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（

）A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组3．（2022·北京·101中学模拟预测）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（

）A．米 B．米 C．米 D．米4．（2022·全国·高三专题练习）小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧，两点间的距离，除了观测点，外，他又选了两个观测点，，且，已经测得两个角，，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出，间距离的是（

）①和；②和；③和.A．①和② B．①和③ C．②和③ D．①和②和③5．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则（

）A．40.5米 B．54米 C．81米 D．121.5米6．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD为∠ABC的平分线，则BD=（

）A．6 B．9 C．7 D．88．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）如图，已知在中，，点在边上，且满足，则（

）A． B． C． D．9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（

）A．与 B．与 C．，与 D．，与10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（

）A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西11．（多选）（2022·河北·石家庄二中高三阶段练习）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是A．周长为B．三个内角，，成等差数列C．外接圆直径为D．中线的长为12．（多选）（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知中，角，，所对的边分别为，，，，，是上的点，，以下结论中正确的有（

）A．若，则的面积为B．当为等边三角形时，的面积最大C．若为中点，则D．若平分，则的面积为13．（2022·浙江·高三专题练习）公元1231年，南宋著名思想家，教育家陆九渊的弟子将象山书院改建于三峰山徐岩（徐岩旧址，现为贵溪市第一中学），在信江河畔便可望见由明正德皇帝御笔亲题的“象山书院”红色题刻．为测量题刻的高度，在处测得仰角分别为，，前进米后，又在处测得仰角分别为，，则题刻的高度约为__________米．

14．（2022·全国·高三专题练习）汽车最小转弯半径是指当转向盘转到极限位置，汽车以最低稳定车速转向行驶时，外侧转向轮的中心平面在支承平面上滚过的轨迹圆半径．如图中的BC即是．已知某车在低速前进时，图中A处的轮胎行进方向与AC垂直，B处的轮胎前进方向与BC垂直，轴距AB为2.92米，方向盘转到极限时，轮子方向偏了30°，则该车的最小转弯半径BC为_______米．15．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形中，，，，，，则四边形的面积为________.16．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：①测量、、；②测量、、；③测量、、；④测量、、．其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．17．（2022·湖南·模拟预测）如图，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求的值；(2)在的延长线上有一点D，使得，求．18．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为45°，求塔高．19．（2022·山东泰安·高三期末）在某海域处的巡逻船发现南偏东方向，相距海里的处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线（以点为坐标原点，正东，正北方向分别为轴，轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发小时后，可疑船只所在位置的横坐标为.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.(1)求的值；(2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦"，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米．图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图．世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中（，分别为半圆的圆心），线段与半圆分别交于C，，若米，米，，，，，则的长约为（

）A．27米 B．28米 C．29米 D．30米2．（2022·全国·高三专题练习）凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为A．3 B．4 C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，其中为线段，三点共线，是以为直径的半圆，，.则该健康步道的长度为___________.4．（2022·广东惠州·一模）如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长200，曲柄CB长70，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）约为___________.（结果保留整数）（参考数据：sin53.2°≈0.8）5．（2022·全国·高三专题练习）如图，游客从景点下山至有两种路径：一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从下山，甲沿匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从乘缆车到，在处停留1分钟后，再从匀速步行到．已知缆车从到要8分钟，长为米，若，．为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度（米/分钟）的取值范围是_____．6．（2022·辽宁·一模）如图所示，在平面五边形中，已知，，，，.(1)当时，求；(2)当五边形的面积时，求的取值范围.第29讲解三角形应用举例及综合问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·福建福建·模拟预测）某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度分别为，则（

）A．能作出二个锐角三角形 B．能作出一个直角三角形C．能作出一个钝角三角形 D．不能作出这样的三角形【答案】C【解析】因为三条高线的长度为，故三边之比为，设最大边所对的角为，则，而为三角形内角，故为钝角，故三角形为钝角三角形，故选：C.2．（2022·北京通州·一模）太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（取正值），选择春分当日（）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：组别甲组乙组丙组丁组木杆影长度（米）0.820.800.830.85则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（

）A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组【答案】D【解析】如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足，当且为正值，可得，即，设木杆的影长为，可得，因为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为，所以当时，取得最小值，此时求得最大值，所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组.故选：D.3．（2022·北京·101中学模拟预测）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【解析】Rt△ADC中，，则，Rt△BDC中，，则，由AC-BC=AB得，约为米.故选：B4．（2022·全国·高三专题练习）小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧，两点间的距离，除了观测点，外，他又选了两个观测点，，且，已经测得两个角，，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出，间距离的是（

）①和；②和；③和.A．①和② B．①和③ C．②和③ D．①和②和③【答案】D【解析】根据题意，△的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，①中，，故，故①可以求出；③与①条件等价.②中，在△中，，故，在△中，利用余弦定理求解即可；故选：D.5．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则（

）A．40.5米 B．54米 C．81米 D．121.5米【答案】C【解析】依题意，，，，所以米.故选：C6．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】连接FD，并延长交AB于M点，如图，因为在中，所以；又因为在中，所以，所以，所以，即，故选：A．7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD为∠ABC的平分线，则BD=（

）A．6 B．9 C．7 D．8【答案】D【解析】由正弦定理得，由，可得，，所以四点共圆，，由余弦定理．故选：D.8．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）如图，已知在中，，点在边上，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，，，则，因，则，在中，由余弦定理得：，即，在中，由正弦定理得：，所以.故选：D9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（

）A．与 B．与 C．，与 D．，与【答案】ABC【解析】因为A，C在河的同一侧，所以可以测量，与，故选：ABC10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（

）A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西【答案】ABC【解析】在中，由已知得，，则，．由正弦定理得，所以处与处之间的距离为，故A正确；在中，由余弦定理得，，又，解得．所以灯塔与处之间的距离为，故B正确，，，灯塔在处的西偏南，故C正确；灯塔在的南偏东，在灯塔的北偏西，故D错误；故选：ABC．11．（多选）（2022·河北·石家庄二中高三阶段练习）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是A．周长为B．三个内角，，成等差数列C．外接圆直径为D．中线的长为【答案】ABC【解析】由正弦定理可得：设，，，解得：的周长为，正确；由余弦定理得：

，即

成等差数列，正确；由正弦定理知外接圆直径为，正确；由中线定理得：，即，错误.故选：12．（多选）（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知中，角，，所对的边分别为，，，，，是上的点，，以下结论中正确的有（

）A．若，则的面积为B．当为等边三角形时，的面积最大C．若为中点，则D．若平分，则的面积为【答案】AD【解析】解：设，对于A选项，因为，是上的点，，，所以的面积为，故A正确；对于B选项，当时，的面积最大，故错误；对于C选项，①，，由于为中点，则，故，所以，即②，所以得，所以，故错误；对于D选项，因为平分，，所以，由于，故，即，所以，即，解得，所以，故D正确.故选：AD13．（2022·浙江·高三专题练习）公元1231年，南宋著名思想家，教育家陆九渊的弟子将象山书院改建于三峰山徐岩（徐岩旧址，现为贵溪市第一中学），在信江河畔便可望见由明正德皇帝御笔亲题的“象山书院”红色题刻．为测量题刻的高度，在处测得仰角分别为，，前进米后，又在处测得仰角分别为，，则题刻的高度约为__________米．

【答案】【解析】因为在处看的仰角分别为，在处看的仰角分别为，，且均为等腰直角三角形，故．故答案为：40.14．（2022·全国·高三专题练习）汽车最小转弯半径是指当转向盘转到极限位置，汽车以最低稳定车速转向行驶时，外侧转向轮的中心平面在支承平面上滚过的轨迹圆半径．如图中的BC即是．已知某车在低速前进时，图中A处的轮胎行进方向与AC垂直，B处的轮胎前进方向与BC垂直，轴距AB为2.92米，方向盘转到极限时，轮子方向偏了30°，则该车的最小转弯半径BC为_______米．【答案】【解析】由题意可知，只需求的长度即可.由，，即米，故答案为：15．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形中，，，，，，则四边形的面积为________.【答案】【解析】由题意，知：，且，，∴，，∴四边形的面积.故答案为：16．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：①测量、、；②测量、、；③测量、、；④测量、、．其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．【答案】②③【解析】对于①，由正弦定理可得，则，若且为锐角，则，此时有两解，则也有两解，此时也有两解；对于②，若已知、，则确定，由正弦定理可知唯一确定；对于③，若已知、、，由余弦定理可得，则唯一确定；对于④，若已知、、，则不确定.故答案为：②③.17．（2022·湖南·模拟预测）如图，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求的值；(2)在的延长线上有一点D，使得，求．【解】(1)在中，由正弦定理得，又在中，，所以上式可化为．因为，所以，又因为是锐角三角形，．解得．(2)由（1）得：，又是锐角三角形，所以，所以．在中，由正弦定理得：，即，解得．18．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为45°，求塔高．【解】在中，，∵，由正弦定理得.在中．∴．所以塔高为米．19．（2022·山东泰安·高三期末）在某海域处的巡逻船发现南偏东方向，相距海里的处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线（以点为坐标原点，正东，正北方向分别为轴，轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发小时后，可疑船只所在位置的横坐标为.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.(1)求的值；(2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.【解】(1)解：由题意，直线的倾斜角为，若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C，如图所示，则轴，，且关于y轴对称，所以，所以.(2)解：若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示，则，，，，因为可得整理得，解得或（舍去），所以能够拦截成功拦截时间为2小时.【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦"，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米．图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图．世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中（，分别为半圆的圆心），线段与半圆分别交于C，，若米，米，，，，，则的长约为（

）A．27米 B．28米 C．29米 D．30米【答案】B【解析】，，，又，，所以，则，则半圆半径为，，，，又，所以，，，在中，由正弦定理可得，即，解得米.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为A．3 B．4 C． D．【答案】C【解析】设，在中，由余弦定理可得所以，即在中，由正弦定理可得，则，在中，由余弦定理可得而由条件可知，，所以即结合，代入化简可得所以当时，取得最