高考第一轮复习讲义 第03讲 相等关系与不等关系（原卷版+解析版 ）

第3讲相等关系与不等关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·重庆八中高三阶段练习）若a，b都是非零实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·北京海淀·二模）已知，且，则（

）A． B．C． D．3．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（

）A． B． C． D．4．（2022·北京密云·高三期末）已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．5．（2022·重庆·二模）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．6．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（2021·河北·石家庄二中高三阶段练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2022·山东聊城·高三期中）设，则有（

）A．B．C．D．9．（多选）（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知实数，，满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．的最小值为410．（多选）（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知，定义分别为，，则下列叙述正确的是（

）A． B．C．是四个数中最小者 D．是四个数中最大者11．（多选）（2022·广东佛山·模拟预测）下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若且，则C．若，则 D．若，则13．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，记，，，则、、的大小关系为．（用“”连接）14．（2022·全国·高三专题练习）已知﹣1<2s+t<2，3<s﹣t<4，则5s+t的取值范围__________.15．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则_______．（用“>”或“<”填空）16．（2022·浙江·高三专题练习）杯中有浓度为的盐水克，杯中有浓度为的盐水克，其中杯中的盐水更咸一些．若将、两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为_____．17．（2022·全国·高三专题练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；（2）已知c>a>b>0，求证：18．（2022·全国·高三专题练习）已知，若，，求的取值范围．【素养提升】1．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若，，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．2．（2018·浙江·高三学业考试）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）长沙市为了支援边远山区的教育事业.组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“有中学高级教师，中学教师不多于小学教师，小学高级教师少于中学中级教师，小学中级教师少于小学高级教师，支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级，无论是否把我计算在内，以上条件都成立"由队长的叙述可以推测出他的职称是______.4．（2022·全国·高三专题练习）已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.5．（2022·江苏南通·高三阶段练习）设a＞0，b＞0，a≤2b≤2a＋b，则的取值范围为_______．第3讲相等关系与不等关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·重庆八中高三阶段练习）若a，b都是非零实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因为且，所以，，所以，故C正确，D错误；若，则，又，则，若，则，又，无法判断与的大小关系，故A、B错误；故选：C2．（2022·北京海淀·二模）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，令，显然，错误；对于B，，又不能同时成立，故，正确；对于C，取，则，错误；对于D，取，则，错误.故选：B.3．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.4．（2022·北京密云·高三期末）已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，而，，而无意义，故ABC错误；因为，所以，D正确.故选：D5．（2022·重庆·二模）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A中，由，因为，可得，当不确定，所以A错误；对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误；对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误；对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确.故选：D.6．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，由，得.故选：A.7．（2021·河北·石家庄二中高三阶段练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，所以，解得：，，因为，，所以，故选：A.8．（2022·山东聊城·高三期中）设，则有（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，；由，，，故选：B.9．（多选）（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知实数，，满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．的最小值为4【答案】ABC【解析】由题，所以有，故A正确；，故B正确；，故C正确；，当且仅当即时取等，又因为，所以，即无最小值，故D错误.故选：ABC.10．（多选）（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知，定义分别为，，则下列叙述正确的是（

）A． B．C．是四个数中最小者 D．是四个数中最大者【答案】AC【解析】因为，所以，则，即，又，，，又，则；又，，即，

，当时，，当时，，故选：AC11．（多选）（2022·广东佛山·模拟预测）下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则【答案】AD【解析】A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；B.当时，，故错误；C.当时，故错误；D.，因为，，，所以，故正确；故选：AD12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若且，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【解析】对选项A：可取，，，则满足，但此时，所以选项A错误；对选项B：因为，所以若，则；若，则；所以选项B正确；对选项C：若，则，所以选项C错误；对选项D：若，所以；又因为，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以选项D正确，故选：BD．13．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，记，，，则、、的大小关系为．（用“”连接）【答案】【解析】因为，，且，可得，所以，又由，所以．综上可得：．故答案为：．14．（2022·全国·高三专题练习）已知﹣1<2s+t<2，3<s﹣t<4，则5s+t的取值范围__________.【答案】（1，8）【解析】设5s+t=m（2s+t）+n（s﹣t），则5s+t=（2m+n）s+（m﹣n）t，则，解得，则5s+t=2（2s+t）+（s﹣t），∵﹣1<2s+t<2，∴﹣2<2（2s+t）<4，又∵3<s﹣t<4，∴1<2（2s+t）+（s﹣t）<8，即1<5s+t<8，∴5s+t的取值范围是（1，8）.故答案为：（1，8）.15．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则_______．（用“>”或“<”填空）【答案】>【解析】因为,又，，所以，所以，故答案为：>.16．（2022·浙江·高三专题练习）杯中有浓度为的盐水克，杯中有浓度为的盐水克，其中杯中的盐水更咸一些．若将、两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为_____．【答案】【解析】由题意，将、两杯盐水混合再一起后浓度为，，，杯中的盐水更咸一些，，，故答案为：.17．（2022·全国·高三专题练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；（2）已知c>a>b>0，求证：【解】证明：（1）∵bc≥ad，bd>0，∴，∴＋1≥＋1，∴≤.（2）∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.∵a>b>0，∴又∵c>0，∴，∴，又c－a>0，c－b>0，∴.18．（2022·全国·高三专题练习）已知，若，，求的取值范围．【解】由题意，得，解得，，因此，，把和的取值范围代入，得．∴的取值范围是．【素养提升】1．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若，，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：对于A选项，由于，，故由对数的定义得，，所以，所以，故错误；对于B选项，令，则，此时，故错误；对于C选项，因为，在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积，所以，故正确；对于D选项，由于，故错误．故选：C2．（2018·浙江·高三学业考试）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，取，该不等式成立，但不满足；对于C，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；对于D，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；下面证明B法一不等式等价于，而.函数在上单增，故.法二若，则，故，矛盾.故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）长沙市为了支援边远山区的教育事业.组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“有中学高级教师，中学教师不多于小学教师，小学高级教师少于中学中级教师，小学中级教师少于小学高级教师，支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级，无论是否把我计算在内，以上条件都成立"由队长的叙述可以推测出他的职称是______.【答案】小学中级【解析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级教师的人数分别为，，，，则，，，，，∴，∴，.若，则，∵，∴，，，.若，则，∵，∴.∵，∴，，与矛盾.队长为小学中级教师时，去掉队长，则，，，，满足，，，；队长为小学高级教师时，去掉队长，则，，，，不满足；队长为中学中级教师时，去掉队长，则，，，，不满足；队长为中学高级教师时，去掉队长，则，，，，不满足.综上，队长为小学中级教师.故答案为：小学中级.4．（