沪科版七年级数学上册专题特训 专题3.3 一元一次方程的应用【十二大题型】（原卷版+解析版）

专题3.3一元一次方程的应用【十二大题型】【沪科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1和、差、倍、分问题】 1【题型2数字问题】 2【题型3行程问题】 2【题型4销售问题】 4【题型5工程问题】 5【题型6配套问题】 5【题型7调配问题】 6【题型8水流问题】 7【题型9隧道或过桥问题】 8【题型10几何图形问题】 8【题型11分段收费问题】 9【题型12方案选择问题】 10【题型1和、差、倍、分问题】【例1】（2019·全国·七年级课时练习）一群学生参加夏令营活动，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象：每位男生看到的白色与红色的帽子一样多，而每位女生看到的白色帽子数量是红色的2倍.根据信息，这群学生共有______人.【变式1-1】（2021·全国·七年级课时练习）儿子今年13岁．父亲今年40岁，是否有一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍？【变式1-2】（2021·全国·七年级单元测试）学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地的草割完已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加社会实践活动的人数为_______人．【变式1-3】（2021·全国·七年级专题练习）某初级中学初一年级学生在期中测试中，总成绩不达标的人数A校区和B校区共有600人，其中不达标的人数中，A校区人数比B校区人数的3倍还多40人．辅差工作任重而道远，年级组领导要求在期末测试中两区总成绩不达标的人数必须共减少120人，减少后使得两区总成绩不达标的人数中A校区人数是B校区人数的3倍．（1）期中测试中两个校区分别有多少名总成绩不达标的学生？（2）要完成年级期末测试要求，两个校区应该分别减少多少名总成绩不达标的学生？【题型2数字问题】【例2】（2022·黑龙江绥化·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（

）A．63 B．70 C．91 D．105【变式2-1】（2022·全国·七年级专题练习）把9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中a的值为（

）

A．2 B．4 C．6 D．1【变式2-2】（2022·山东青岛·七年级期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位与十位上的数字对调，得到的新数比原数大9，设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意，可列方程为：______．【变式2-3】（2022·全国·七年级）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.3•转化为分数时，可设0.3•＝x，则x＝0.3＋110x，解得x＝13，即0.3•＝1【题型3行程问题】【例3】（2022·上海民办民一中学期中）甲、乙两车同时从A地出发，沿同一条笔直的公路匀速前往相距360km的B地，半小时后甲发现有东西落在A地，于是立即以原速返回A地取物品，当甲车到达A地时，两车相距60千米，取到物品后立即以比原来速度每小时快10km继续前往B地（所有掉头时间和领取物品的时间忽略不计），当乙车行驶了3小时的时候被甲车追上，则甲车到达B地时，乙车离B地的距离是________km．【变式3-1】（2022·四川巴中·七年级期中）甲、乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的3倍，则甲运动32周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的4倍，则甲运动4【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）阅读下列材料，完成相应任务．学习了一元一次方程之后，数学兴趣小组了解到如下信息：我国的铁路旅客列车，按不同的进行速度、运行范围、设备配置、作业特征等，分为不同的级别，列车的级别由车次开头的字母来表示（部分是纯数字）．如G字头，表示高速动车组旅客列车；D字动，表示动车组旅客列车；C字头，表示城际旅客列车；K学头，表示快速旅客列年，等等．随着交通的发展吕梁站至太原南站已并通了多次列车，其中“C150”次列车的平均速度是120km/h，“K1334”次列车的平均速度是90km/h，并且“C150”次列车从吕梁站至太原南站所时间比“K1334”次列车少用30分钟（两列车中途停留时间均除外）．兴趣小组提出了以下两个问题：(1)“C150”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时同分别是多少？(2)吕梁站至太原南站的路程为多少km？小彬列的方程是“x90任务一：①小彬同学所列方程中的x表示，②小彬同学列方程所用的数量关系为（“路程÷速度＝时间“除外）；任务二：小亮的做法是：设“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为y小时，请你帮助小亮解决上述两个问题，写出解答过程．【变式3-3】（2021·全国·七年级单元测试）问题一：如图①，甲，乙两人分别从相距30km的A，B两地同时出发，若甲的速度为40km/h，乙的速度为30km/h，设甲追到乙所花时间为xh，则可列方程为；问题二：如图②，若将线段AC弯曲后视作钟表的一部分，线段AB对应钟表上的弧AB（1小时的间隔），已知∠AOB＝30°．（1）分针OC的速度为每分钟转动度；时针OD的速度为每分钟转动度；（2）若从1：00起计时，几分钟后分针与时针第一次重合？（3）在（2）的条件下，几分钟后分针与时针互相垂直（在1：00～2：00之间）？【题型4销售问题】【例4】（2022·重庆巴蜀中学二模）某商家为母亲节促销活动做准备，采购了一批三种品牌的燕窝：小仙炖、燕之屋、仰燕堂，它们的数量（盒）之比为2：3：1．由于品质优良宣传力度大，预订量暴增，于是加紧采购了第二批同种类型的燕窝，其中小仙炖增加的数量占总增加数量的12，此时小仙炖总数量达到三种燕窝总量的49，而燕之屋和仰燕堂的总数量恰好相等．若小仙炖、燕之屋、仰燕堂三种燕窝每盒的成本分别为500元、420元，380元，小仙炖的售价为每盒640元，活动中将小仙炖的18【变式4-1】（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．【变式4-2】（2022·山东滨州·八年级期末）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg．如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折．若王大叔一次付款90元，则能购买到___kg的种子．【变式4-3】（2022·江苏·九年级专题练习）某超市第一次以4450元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润＝售价－进价）甲乙进价（元/件）2030售价（元/件）2540(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次的2倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？【题型5工程问题】【例5】（2021·全国·七年级单元测试）学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地的草割完已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加社会实践活动的人数为_______人．【变式5-1】（2021·江苏·无锡市太湖格致中学七年级阶段练习）挖一条水渠，甲、乙两队单独做分别需要20天、15天完成．现在先由甲队单独挖6天，然后两人合作挖一条水渠要用____天．【变式5-2】（2019·安徽·中考真题）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【变式5-3】（2022·全国·七年级专题练习）某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多12(1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？(3)已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程队每天施工费用为2000元，若该工程总费用政府拨款70000元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？【题型6配套问题】【例6】（2021·全国·七年级课时练习）某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月饼．制作1块大月饼要用0.05kg面粉，1块小月饼要用0.02kg面粉．现共有面粉【变式6-1】（2022·全国·七年级专题练习）一张方桌由一个桌面、四条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面40个或做桌腿240条，现有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配套？设用x立方米木料做桌面，由题意列方程，得__________．【变式6-2】（2022·陕西汉中·七年级期末）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个．(1)该工厂有男工、女工各多少人？(2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？【变式6-3】（2021·上海市南洋模范初级中学期末）某家具厂的设计师根据1:10的比例尺，并按斜二侧画法在图纸上设计了一套柜子，柜子由一个框架、三个抽屉、两扇门组成．一个工人每天可以制作2个框架、或者制作3个抽屉、或者制作5扇门．(1)由刻度尺在图纸上测量可得，AB=4cm、BC=1.5cm、BD=6cm，所以这个柜子的表面积是______dm(2)工人有38名工人，如何分配工人的工作才能使每天恰好配套完成一定数量的柜子，并写出每天完成的柜子数量是多少只？【题型7调配问题】【例7】（2021·全国·七年级专题练习）甲车队有汽车56辆，乙车队有汽车32辆，要使两车队汽车一样多，设由甲队调出x辆汽车给乙队，则可得方程（

）A．56+x=32−x B．56−x=32+x C．56−x=32 D．32+x=56【变式7-1】（2021·湖北省麻城市华英学校七年级阶段练习）某工厂甲车间有54人，乙车间有48人，要使甲车间人数是乙车间人数的2倍，则需要从乙车间调往甲车间_____人．【变式7-2】（2022·河北保定·七年级期末）在手工制作课上，老师组织七年级2班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级2班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．(1)七年级2班有男生、女生各多少人？(2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗?如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？【变式7-3】（2020·浙江杭州·七年级期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有220人，在乙处植树的有96人.（1）若要使甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，应从乙处调多少人去甲处?（2）为了尽快完成植树任务，现调m人去两处支援，其中90<m<100，若要使甲处植树的人数仍然是乙处植树人数的3倍，则应调往甲，乙两处各多少人?【题型8水流问题】【例8】（2022·全国·七年级专题练习）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了4小时，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了6小时，已知船在静水的平均速度是30千米/小时，求水流速度．【变式8-1】（2022·全国·七年级专题练习）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了4h．已知水流的速度是【变式8-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，是学习列方程解应用题时，老师板书的问题和两名同学列的正确方程．例2．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度．兵兵：2(x+3)=2.5(x−3)

倩倩：x根据以上信息，有下列四种说法：①兵兵所列方程中的x表示船在静水中的平均速度；②倩倩所列方程中的x表示船在静水中的平均速度：③兵兵所列方程中的x表示甲乙两码头的路程；④倩倩所列方程中：x表示甲乙两码头的路程；其中，正确的是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【变式8-3】（2020·贵州·沿河县第五中学七年级阶段练习）“绿水青山就是金山银山”的科学论断，强调不以环境为代价推动经济增长．2017年10月“树立和践行绿水青山就是金山银山的理念”写入中国共产党的党代会报告，且在表述中与“坚持节约资源和保护环境的基本国策”一并成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的思想和基本方略．某游客乘坐一艘轮船在A，B两个码头之间航行旅游，顺水航行需4h，逆水航行需5h．已知水流速度为2km/h．（1）求轮船在静水中的航行速度．（2）求轮船在A，B两个码头之间航行旅游往返一次的平均速度．（3）若游客从A码头轮船启动顺水出发时，其中携带的一个旅游包不慎掉入水中，游客到达B码头后才发现旅游包不见了，立刻恳请船长将船调头按船在静水中的速度原路返回查找，（假设旅游包能从A码头自由漂流到B码头），请问游客从B码头出发多少时间与旅游包相遇？【题型9隧道或过桥问题】【例9】（2022·全国·七年级专题练习）已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．【变式9-1】（2022·全国·七年级）问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在挢上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度．合作探究：（1）请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程为x米，所以动车的平均速度可表示为米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为（x﹣120）米，所以动车的平均速度还可以表示为米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程．（2）小颖认为：也可以设动车的平均速度为v米/秒，列出方程解决问题．请你按照小颖的思路求动车经过的这座大桥的长度．【变式9-2】（2023·江苏·七年级专题练习）一列火车长110米，现在以30km/h的速度向北缓缓行驶，9：20追上向北行走的路人甲，15秒离开甲，9：26迎面遇上向南行走的路人乙，12秒钟后离开乙．若路人甲、乙行走速度不变，请问路人甲和乙相遇时间是火车迎面遇上路人乙后_______分钟．【变式9-3】（2022·广东·九年级专题练习）一列火车匀速行驶，经过（从车头进人到车尾离开）一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．求这列火车的长度．【题型10几何图形问题】【例10】（2021·全国·七年级单元测试）如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块小正方形以及另两块长方形的纸板，恰好拼成一个大正方形，求大正方形的面积.【变式10-1】（2022·全国·七年级专题练习）一个长方形的周长为28cm，若把它的长减少1cm，宽增加3cm，就变成一个正方形，则这个长方形的面积是（

）A．48cm2 B．45cm2 C．40cm2【变式10-2】（2022·全国·七年级专题练习）在边长为9cm的正方形ABCD中，放置两张大小相同的正方形纸板，边EF在AB上，点K，I分别在BC，CD上，若区域I的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大6cm，则正方形纸板的边长为______【变式10-3】（2022·全国·七年级单元测试）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【题型11分段收费问题】【例11】（2022·四川德阳·七年级期末）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是（

）元．汽车修理费x元赔偿率0＜x≤50060%500＜x≤100070%1000＜x≤300080%……A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5【变式11-1】（2022·山东滨州·八年级期末）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg．如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折．若王大叔一次付款90元，则能购买到___kg的种子．【变式11-2】（2022·江苏无锡·七年级期末）近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整．气量分档用气量（立方米）价格（元/立方米）调整前调整后第一档年用气量≤300年用气量≤4002.73第二档300＜年用气量≤600400＜年用气量≤10003.28第三档年用气量＞600年用气量＞10003.82人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档上限增加60立方米、120立方米）．(1)若小明家有5口人，年用气量1000立方米．则调整前气费为元，调整后气费为元；(2)小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？【变式11-3】（2019·全国·七年级单元测试）某市为促进节约用水，提高用水效率，建设节水型城市，将自来水划分为“家居用水”和“非家居用水”．根据新规定，“家居用水”用水量不超过6t，按每吨1.2元收费；如果超过6t，未超过部分仍按每吨1.2元收费，而超过部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份水费平均为每吨1.4元，那么该用户5月份应交水费多少元？【题型12方案选择问题】【例12】（2021·浙江·九年级专题练习）某班级想购买若干个篮球和排球，某文具店篮球和排球的单价之和为35元，篮球的单价比排球的单价的2倍少10元．（1）求篮球和排球的单价各是多少元；（2）该文具店有两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案．方案一：所有商品打7.5折销售；方案二：全场购物每满100元，返购物券30元（不足100元不返券，使用购物券消费不再返券），购物券全场通用，若该班级需要购买15个篮球和10个排球，则哪一种方案更省钱，并说明理由．【变式12-1】（2022·新疆塔城·七年级期末）北京某景区，门票价格规定如下表：购票张数1～50张（包含50张）50～100张（不包含50张）100张以上每张票的价格60元50元40元某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元．(1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？(2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？【变式12-2】（2022·全国·七年级期中）为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好教室消毒和师生的测温工作。(1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要400元，已知一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的6倍还贵15元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格．(2)由于采购量大，厂家推出两种购买方案（如下表）：若学校有75个班级，计划每班配置1支红外线测温枪和20瓶消毒剂，则学校选择哪种购买方案的总费用更低？购买方案红外线测温枪消毒剂优惠A9折8.5折每购100瓶消毒剂送1支测温枪B8折8.5折无【变式12-3】（2021·福建省仙游县度尾中学七年级阶段练习）元旦节期间，长沙市各大商场纷纷推出优惠政策吸引顾客，下面是德思勤和奥特莱斯各自推出的优惠办法：德思勤：1．若一次购物不超过500元（不含500），不予优惠．2．若一次购物满500元（含500），但不超过1000元（不含1000），所有商品享受9折优惠．3．若一次购物超过1000元（含1000），超过部分享受6折，其余的一律9折；奥特莱斯：1、若一次购物不超过500元，不予优惠．2、若一次购物满500元，则所有商品享受8折．问：（1）小雄哥想到德思勤买件标价为1800元的衣服，他应该付多少钱？（2）请问当我们购买多少钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠？（3）小雄哥元旦节打算消费3000元购买自己想要的商品，已知这些商品德思勤和奥特莱斯都有，没有说一定去哪个商场，只是倘若去两个商场各买一部分的话，去德思勤购买商品的原价是奥特菜斯购买商品原价的2倍．请帮小雄哥预算一下，他能买到原价为多少的商品，并指出哪种方案最香．专题3.3一元一次方程的应用【十二大题型】【沪科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1和、差、倍、分问题】 1【题型2数字问题】 3【题型3行程问题】 6【题型4销售问题】 10【题型5工程问题】 13【题型6配套问题】 15【题型7调配问题】 19【题型8水流问题】 22【题型9隧道或过桥问题】 24【题型10几何图形问题】 27【题型11分段收费问题】 31【题型12方案选择问题】 34【题型1和、差、倍、分问题】【例1】（2019·全国·七年级课时练习）一群学生参加夏令营活动，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象：每位男生看到的白色与红色的帽子一样多，而每位女生看到的白色帽子数量是红色的2倍.根据信息，这群学生共有______人.【答案】7【分析】设其中的男生有x人，根据每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，可以表示出女生有（x-1）人．再根据每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍列方程求解．【详解】设男生有x人,则女生有(x−1)人，根据题意得x=2(x−1−1)解得x=4x−1=3.4+3=7人.故答案为7.【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于列出方程.【变式1-1】（2021·全国·七年级课时练习）儿子今年13岁．父亲今年40岁，是否有一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍？【答案】当儿子9岁时，父亲的年龄是儿子年龄的4倍．【分析】设当儿子x岁时，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，根据父子的年龄差不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设当儿子x岁时，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，根据题意得：4x﹣x＝40﹣13，解得：x＝9，答：当儿子9岁时，父亲的年龄是儿子年龄的4倍．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式1-2】（2021·全国·七年级单元测试）学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地的草割完已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加社会实践活动的人数为_______人．【答案】8【分析】设共有x人，每个工人一天的工作量为1，根据大的一片草地的工作量是小的一片的两倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设共有x人，一个人一天的工作量为1，由题意可得：1×1解得：x=8，∴此次参加社会实践活动的人数为8人，故答案为：8．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式1-3】（2021·全国·七年级专题练习）某初级中学初一年级学生在期中测试中，总成绩不达标的人数A校区和B校区共有600人，其中不达标的人数中，A校区人数比B校区人数的3倍还多40人．辅差工作任重而道远，年级组领导要求在期末测试中两区总成绩不达标的人数必须共减少120人，减少后使得两区总成绩不达标的人数中A校区人数是B校区人数的3倍．（1）期中测试中两个校区分别有多少名总成绩不达标的学生？（2）要完成年级期末测试要求，两个校区应该分别减少多少名总成绩不达标的学生？【答案】（1）期中测试中B校区总成绩不达标的有140人，A校区总成绩不达标的有460人；（2）B校区应该减少20名总成绩不达标的学生，A校区应该减少100名总成绩不达标的学生．【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，即可求得期中测试中两个校区分别有多少名总成绩不达标的学生；（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，即可求得要完成年级期末测试要求，两个校区应该分别减少多少名总成绩不达标的学生．【详解】解：（1）设期中测试中B校区总成绩不达标的有x人，则A校区总成绩不达标的有(3x+40)人，根据题意，得x+3x+40=600，解得x=140，则3x+40=460，答：期中测试中B校区总成绩不达标的有140人，A校区总成绩不达标的有460人．（2）设期末测试中B校区减少了y名总成绩不达标的学生，则A校区减少了(120−y)名总成绩不达标的学生，据题意，得3(140−y)=460−(120−y)，解得y=20，则120−y=100．答：要完成年级期末测试要求，B校区应该减少20名总成绩不达标的学生，A校区应该减少100名总成绩不达标的学生．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应总成绩不达标的学生．【题型2数字问题】【例2】（2022·黑龙江绥化·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（

）A．63 B．70 C．91 D．105【答案】C【分析】设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x-8，x-6，x-1，x+1，x+6，x+8，表示出这7个数之和，然后分别列出方程解答即可．【详解】解：设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x-8，x-6，x-1，x+1，x+6，x+8，这7个数之和为：x-8+x-6+x-1+x+1+x+x+6+x+8=7x．由题意得A、7x=63，解得：x=9，能求得这7个数；B、7x=70，解得：x=10，能求得这7个数；C、7x=91，解得：x=917，xD、7x=105，解得：x=15，能求得这7个数．故选：C【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握“H”型框中的7个数的数字的排列规律是解决问题的关键．【变式2-1】（2022·全国·七年级专题练习）把9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中a的值为（

）

A．2 B．4 C．6 D．1【答案】D【分析】根据题意设左边中间位置为b，左上为c．求出“九宫格”中的b、c，再求出a即可求解．【详解】如图，依题意可得2+5+8=3+5+b，解得b=7．∴2+5+8=2+7+c，解得c=6．∴2+5+8=6+8+a，解得a=1．故选：D．【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．【变式2-2】（2022·山东青岛·七年级期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位与十位上的数字对调，得到的新数比原数大9，设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意，可列方程为：______．【答案】y=x+1或10y+x+9=10x+y【分析】列代数式写出原数和新数，通过新数比原数大9列方程即可．【详解】解：①∵十位上的数字比个位上的数字大1，∴y=x+1，②∵对调前个位上的数字为x，十位上的数字为y，∴原数为：10y+x，∵对调后个位上的数字为y，十位上的数字为x，∴新数为：10x+y，∵新数比原数大9，∴10y+x+9=10x+y，故答案为：y=x+1或10y+x+9=10x+y．【点睛】本题考查列方程，正确写出原数和新数的代数式是解题的关键．【变式2-3】（2022·全国·七年级）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.3•转化为分数时，可设0.3•＝x，则x＝0.3＋110x，解得x＝13，即0.3•＝1【答案】5【分析】设x=0.4•5【详解】设x=0.4•5根据等式性质得：100x=45.4545…②，由②-①得：100x-x=45.4545…-0.4545…，即：100x-x=45，99x=45解方程得：x=4599=故答案为511【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，看懂例题的解题方法．【题型3行程问题】【例3】（2022·上海民办民一中学期中）甲、乙两车同时从A地出发，沿同一条笔直的公路匀速前往相距360km的B地，半小时后甲发现有东西落在A地，于是立即以原速返回A地取物品，当甲车到达A地时，两车相距60千米，取到物品后立即以比原来速度每小时快10km继续前往B地（所有掉头时间和领取物品的时间忽略不计），当乙车行驶了3小时的时候被甲车追上，则甲车到达B地时，乙车离B地的距离是________km．【答案】60【分析】先求出乙的速度，再列方程求出甲重新出发后的速度，然后计算出甲行走的总时间，可得此时乙行驶的路程，然后可得结果．【详解】∵甲出发到返回用时0.5小时，返回后速度不变，∴返回到A地的时间为1，此时乙跑了60km，∴乙的速度为60千米/时．设甲重新出发后的速度为v千米/时，列得方程：（3﹣1）（v﹣60）＝60，解得：v＝90．设甲在第t小时到达B地，列得方程：90（t﹣1）＝360，解得：t＝5．∴此时乙行驶的路程为：60×5＝300（千米）．离B地距离为：360﹣300＝60（千米）．故答案为60【点睛】本题考查了列一元一次方程解决行程问题的应用，找出等量关系是解题关键．【变式3-1】（2022·四川巴中·七年级期中）甲、乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的3倍，则甲运动32周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的4倍，则甲运动4【答案】12【详解】设分针旋转x周后，时针和分针第一次相遇，则时针旋转了（x﹣1）周，根据题意可得：60x=720（x﹣1），解得：x=1211所以分针旋转1211【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）阅读下列材料，完成相应任务．学习了一元一次方程之后，数学兴趣小组了解到如下信息：我国的铁路旅客列车，按不同的进行速度、运行范围、设备配置、作业特征等，分为不同的级别，列车的级别由车次开头的字母来表示（部分是纯数字）．如G字头，表示高速动车组旅客列车；D字动，表示动车组旅客列车；C字头，表示城际旅客列车；K学头，表示快速旅客列年，等等．随着交通的发展吕梁站至太原南站已并通了多次列车，其中“C150”次列车的平均速度是120km/h，“K1334”次列车的平均速度是90km/h，并且“C150”次列车从吕梁站至太原南站所时间比“K1334”次列车少用30分钟（两列车中途停留时间均除外）．兴趣小组提出了以下两个问题：(1)“C150”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时同分别是多少？(2)吕梁站至太原南站的路程为多少km？小彬列的方程是“x90任务一：①小彬同学所列方程中的x表示，②小彬同学列方程所用的数量关系为（“路程÷速度＝时间“除外）；任务二：小亮的做法是：设“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为y小时，请你帮助小亮解决上述两个问题，写出解答过程．【答案】(1)“C150”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间分别是32(2)任务一：①吕梁站至太原南站的路程，②“C150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间比“K1334”次列车少用30分钟；任务二：见解析【分析】（1）设“C150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间是m小时，则“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为(m+3060)（2）任务一：①x表示吕梁站至太原南站的路程，②在x90−3060=任务二：设“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为y小时，则“C150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为(y−3060)（1）设“C150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间是m小时，则“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为(m+30根据题意得：120m=90(m+30解得m=1.5，∴m+30答：“C150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间是1.5小时，“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为2小时；（2）任务一：①在x90−30故答案为：吕梁站至太原南站的路程；②在x90−3060=故答案为：“C150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间比“K1334”次列车少用30分钟；任务二：设“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为y小时，则“C150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为(y−30根据题意得：90y=120(y−30解得y=2，∴y−30答：“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为2小时，“C150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间是1.5小时．【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．【变式3-3】（2021·全国·七年级单元测试）问题一：如图①，甲，乙两人分别从相距30km的A，B两地同时出发，若甲的速度为40km/h，乙的速度为30km/h，设甲追到乙所花时间为xh，则可列方程为；问题二：如图②，若将线段AC弯曲后视作钟表的一部分，线段AB对应钟表上的弧AB（1小时的间隔），已知∠AOB＝30°．（1）分针OC的速度为每分钟转动度；时针OD的速度为每分钟转动度；（2）若从1：00起计时，几分钟后分针与时针第一次重合？（3）在（2）的条件下，几分钟后分针与时针互相垂直（在1：00～2：00之间）？【答案】问题一：（40-30）x=30；问题二：（1）6，0.5；（2）从1：00起计时，6011分钟后分针与时针第一次重合；（3）24011或【分析】问题一：根据等量关系：路程差=速度差×时间，即可列出方程求解；问题二：（1）根据分针每分钟转动6度，时针每分钟转动0.5度的特点即可求解；（2）可设从1：00起计时，y分钟后分针与时针第一次重合，根据角度差是30°，列出方程即可求解；（3）可设在（2）的条件下，z分钟后分针与时针互相垂直（在1：00～2：00之间），根据角度差是30°，列出方程即可求解．【详解】解：问题一：依题意有（40-30）x=30；故答案为：（40-30）x=30；问题二：（1）分针OC的速度为每分钟转动6度；时针OD的速度为每分钟转动0.5度；故答案为：6，0.5；（2）设从1：00起计时，y分钟后分针与时针第一次重合，依题意有（6-0.5）y=30，解得y=6011故从1：00起计时，6011（3）设在（2）的条件下，z分钟后分针与时针互相垂直（在1：00～2：00之间），依题意有（6-0.5）z=90+30或（6-0.5）z=270+30，解得z=24011或z=600故在（2）的条件下，24011或600【点睛】本题考查了一元一次方程的应用中的行程问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【题型4销售问题】【例4】（2022·重庆巴蜀中学二模）某商家为母亲节促销活动做准备，采购了一批三种品牌的燕窝：小仙炖、燕之屋、仰燕堂，它们的数量（盒）之比为2：3：1．由于品质优良宣传力度大，预订量暴增，于是加紧采购了第二批同种类型的燕窝，其中小仙炖增加的数量占总增加数量的12，此时小仙炖总数量达到三种燕窝总量的49，而燕之屋和仰燕堂的总数量恰好相等．若小仙炖、燕之屋、仰燕堂三种燕窝每盒的成本分别为500元、420元，380元，小仙炖的售价为每盒640元，活动中将小仙炖的18【答案】480【分析】设仰燕堂单价为x元，则燕之屋的销售单价为37根据燕之屋的销售单价等于另外两种燕窝销售单价之和的37【详解】设仰燕堂单价为x元，则燕之屋的销售单价为37解：∵第一批采制的燕窝中小仙炖、燕之屋、仰燕堂的数量（盒）之比为2：3：1，第二批采制后小仙炖增加的数量占总增加数量的12，此时小仙炖总数量达到三种燕窝总量的49，而云燕之屋和仰燕堂的总数量恰好相等，即燕之屋、仰燕堂的数量各占∴增加后小仙炖、燕之屋、仰燕堂的数量（盒）之比为49：518：设总共有a盒燕窝，∴总成本为49×500a+518×420a＋518×380a＝总销售额应为40009×（1＋16%）a＝46409小仙炖的销售额为640×49×（1−18）a＝2240另外两种燕窝的销售总额为46409a−22409a＝800设仰燕堂单价为x元，则燕之屋单价为37因此可建立方程518xa＋518×37x+640a解得x＝480，因此仰燕堂单价为480元，故答案为：480．【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，根据售价−成本＝利润列出方程是解题的关键.【变式4-1】（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．【答案】八【分析】打折销售后要保证打折后利率为20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，设可以打x折，根据不等关系列出不等式求解即可.【详解】解：设应打x折，则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%，解得：x=8．故商店应打八折．故答案为：八．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．【变式4-2】（2022·山东滨州·八年级期末）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg．如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折．若王大叔一次付款90元，则能购买到___kg的种子．【答案】22【分析】设能购买到xkg的种子，根据2乘以5加上超过的重量乘以单价得到付款90元列方程解答．【详解】解：设能购买到xkg的种子，依题意有：5×2+5×0.8（x﹣2）＝90，解得x＝22．故能购买到22kg的种子．故答案为：22．【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．【变式4-3】（2022·江苏·九年级专题练习）某超市第一次以4450元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润＝售价－进价）甲乙进价（元/件）2030售价（元/件）2540(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次的2倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？【答案】(1)甲50件，乙115件(2)9折【分析】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品(2x+15)件，根据“第一次以4450元购进甲、乙两种商品”列方程求解即可；（2）设第二次甲商品是按原价打m折销售，根据“乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样”列方程求解即可．（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品(2x+15)件，由题意得：20x+30(2x+15)=4450解得x=502x+15=2×50+15=115所以，第一次购进甲种商品50件，则购进乙种商品115件．（2）设第二次甲商品是按原价打m折销售，根据题意得：50×2×(25×解得m=9答：第二次甲商品是按原价打9折销售．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找准等量关系是解题的关键．【题型5工程问题】【例5】（2021·全国·七年级单元测试）学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地的草割完已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加社会实践活动的人数为_______人．【答案】8【分析】设共有x人，每个工人一天的工作量为1，根据大的一片草地的工作量是小的一片的两倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设共有x人，一个人一天的工作量为1，由题意可得：1×1解得：x=8，∴此次参加社会实践活动的人数为8人，故答案为：8．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式5-1】（2021·江苏·无锡市太湖格致中学七年级阶段练习）挖一条水渠，甲、乙两队单独做分别需要20天、15天完成．现在先由甲队单独挖6天，然后两人合作挖一条水渠要用____天．【答案】6【分析】设他们合作挖一条水渠的时间是x天，根据总工作量为单位“1”，列方程求出x的值即可得出答案．【详解】解：设他们合作挖一条水渠的时间是x天，根据题意得：6×1解得：x=6，所以，他们合作挖一条水渠的时间是6天．故答案是：6．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间．【变式5-2】（2019·安徽·中考真题）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10天.【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x-2）米，利用甲、乙两工程队3天共掘进26米列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量，再求出结果即可.【详解】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x-2）米，由题意得2x+（x+x-2）=26，解得x=7，所以乙工程队每天掘进5米，146-答：甲乙两个工程队还需联合工作10天【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题关键.【变式5-3】（2022·全国·七年级专题练习）某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多12(1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？(3)已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程队每天施工费用为2000元，若该工程总费用政府拨款70000元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？【答案】(1)30天(2)9天(3)甲、乙两个工程队各需要施工天数分别是10天和15天【分析】（1）用甲工程队单独完成这项工程的天数乘以1+1（2）根据题意得：若甲工程队先做5天，还剩余1−5（3）甲工程队需要施工x天，再把两队的总费用加起来等于70000，即可求解．（1）解：20×1+答：乙工程队单独完成需要30天；（2）解：1−5答：还需要9天才能完成；（3）解：设甲工程队需要施工x天，4000x+2000×1−解得：x=10，乙工程队需要施工1−1答：甲、乙两个工程队各需要施工天数分别是10天和15天．【点睛】本题主要考查了分数乘除法的应用、一元一次方程的应用等知识点，明确题意、准确得到数量关系是解答本题的关键．【题型6配套问题】【例6】（2021·全国·七年级课时练习）某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月饼．制作1块大月饼要用0.05kg面粉，1块小月饼要用0.02kg面粉．现共有面粉【答案】制作大月饼要用2500kg面粉，小月饼要用2000【分析】方法1

设大月饼要用xkg面粉，根据大月饼数量：小月饼数量=2:4方法2

设大月饼做了x块，则小月饼做了2x块，根据等量关系：大月饼所需的面粉质量+小月饼所需的面粉质量=现共有面粉4500kg方法3

用算术方法解决．先计算出一盒月饼的面粉用量：一盒月饼面粉用量＝2块大月饼面粉用量＋4块小月饼面粉用量，则4500kg方法4

用比来解．先求得每盒月饼中，大月饼和小月饼的面粉用量比为5：4，然后按比分配即可解决；方法5

设一共制作x盒月饼，则可分别表示出制作大月饼和小月饼所需的面粉用量，根据等量关系：制作大月饼所需的面粉用量+小月饼所需的面粉用量=4500，列出方程，解方程即可．【详解】【方法1】设大月饼要用xkg面粉，小月饼要用4500−x大月饼的数量为x0.05块；小月饼的数量为4500−x依题意列方程：2x0.05=4500−x4500−x=2000．∴制作大月饼要用2500kg面粉，小月饼要用2000【方法2】设大月饼做了x块，则小月饼做了2x块．大月饼用了0.05xkg面粉，小月饼用了0.04x依题意列方程：0.05x+0.04x=4500；解得：x=50000；0.05x=2500；0.04x=2000．∴制作大月饼要用2500kg面粉，小月饼要用2000【方法3】一盒月饼面粉用量＝2块大月饼面粉用量＋4块小月饼面粉用量=2×0.05+4×0.02=0．184500kg面粉可制作月饼：4500÷0.18=25000其中用于制作大月饼的面粉有：每盒月饼中大月饼的数量×总盒数×每块大月饼的面粉用量=2×25000×0．05=2500其中用于制作小月饼的面有：每盒月饼中小月饼的数量×总盒数×每块小月饼的面粉用量=4×25000×0.02=2000【方法4】每盒月饼中，大月饼和小月饼的面粉用量比为：2×0.05∴用于制作大月饼的面粉有：4500×5用于制作小月饼的面粉有：4500×4【方法5】设一共制作x盒月饼，面粉用量为：大月饼0.05×2x=0.1xkg；小月饼依题意列方程：0.1x+0.8x=4500；解得x=25000；0.1x=2500；0.8x=2000，∴制作大月饼要用2500kg面粉，小月饼要用2000【变式6-1】（2022·全国·七年级专题练习）一张方桌由一个桌面、四条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面40个或做桌腿240条，现有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配套？设用x立方米木料做桌面，由题意列方程，得__________．【答案】4×40x=240【分析】设用x立方米木料做桌面，则用6−x立方米木料作桌腿，根据一个桌面配四个桌腿列出方程即可．【详解】解：设用x立方米木料做桌面，则用6−x立方米木料作桌腿，由题意得：4×40x=2406−x故答案为：4×40x=2406−x【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意是解题的关键【变式6-2】（2022·陕西汉中·七年级期末）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个．(1)该工厂有男工、女工各多少人？(2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？【答案】(1)该工厂有男工36人，有女工52人(2)调12名女工帮男工制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套【分析】（1）设该工厂有男工x人，则女工有（2x－20）人，根据该工厂共有88名工人列方程求解即可；（2）根据题意可知：盒身的数量×2=盒底的数量，然后列出方程即可．(1)设该工厂有男工x人，则女工有（2x－20）人，由题意得：x＋2x－20＝88，解得：x＝36，女工：2×36－20＝52（人），答：该工厂有男工36人，有女工52人．(2)设调y名女工帮男工制作盒底，由题意得：50（36＋y）×2＝（52－y）×120，解得：y＝12，答：调12名女工帮男工制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程．【变式6-3】（2021·上海市南洋模范初级中学期末）某家具厂的设计师根据1:10的比例尺，并按斜二侧画法在图纸上设计了一套柜子，柜子由一个框架、三个抽屉、两扇门组成．一个工人每天可以制作2个框架、或者制作3个抽屉、或者制作5扇门．(1)由刻度尺在图纸上测量可得，AB=4cm、BC=1.5cm、BD=6cm，所以这个柜子的表面积是______dm(2)工人有38名工人，如何分配工人的工作才能使每天恰好配套完成一定数量的柜子，并写出每天完成的柜子数量是多少只？【答案】(1)78，36(2)10人做框架，20个做抽屉，8人做门，使每天恰好配套完成20个柜子【分析】（1）由长方体的表面积和体积公式求柜子的表面积和体积．（2）通过设x个工人做框架，表示出框架数，再通过“恰好配套”得到抽屉数和门数，进而得到做抽屉和做门的工人数分别是2x、0.8x，最后通过工人总数是38人列方程求解即可．(1)解：因为比例尺是1:10，所以柜子实际长宽高为4dm，1.5dm，6dm，表面积：4×1.5×2+4×6×2+6体积：4×1.5×6=36dm(2)解：设x个工人做框架，则框架一共2x个，柜子一共2x个，抽屉6x个，门4x个，做抽屉的工人6x3做门的工人4x5根据工人数量列等式关系：x+2x+0.8x=38，解得：x=10，3x=20，0.8x=8答：10人做框架，20个做抽屉，8人做门，使每天恰好配套完成20个柜子【点睛】本题考查了长方体的表面积和体积公式、一元一次方程的实际应用，准确应用公式是第一问的解题关键，找准数量关系和等量关系是第二问的解题关键．【题型7调配问题】【例7】（2021·全国·七年级专题练习）甲车队有汽车56辆，乙车队有汽车32辆，要使两车队汽车一样多，设由甲队调出x辆汽车给乙队，则可得方程（

）A．56+x=32−x B．56−x=32+x C．56−x=32 D．32+x=56【答案】B【分析】表示出抽调后两车队的汽车辆数然后根据两车队汽车一样多列出方程即可．【详解】解：设由甲队调出x辆汽车给乙队，则甲车队有汽车（56-x）辆，乙车队有汽车（32+x）辆，由题意得，56-x=32+x．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，表示出抽调后两车队的汽车辆数是解题的关键．【变式7-1】（2021·湖北省麻城市华英学校七年级阶段练习）某工厂甲车间有54人，乙车间有48人，要使甲车间人数是乙车间人数的2倍，则需要从乙车间调往甲车间_____人．【答案】14【分析】设抽调了x人，根据“调人后甲车间人数是乙车间人数的2倍”列方程并求解．【详解】解：设抽调了x人，根据题意，得54+x=2(48−x)．解这个方程，得x=14．答：抽调了14人．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【变式7-2】（2022·河北保定·七年级期末）在手工制作课上，老师组织七年级2班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级2班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．(1)七年级2班有男生、女生各多少人？(2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗?如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？【答案】（1）七年级2班有男生有24人，女生有26人；（2）男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套．【分析】（1）设七年级2班有男生有x人，则女生有（x+2）人，根据男生人数+女生人数=50列出方程，再解即可；（2）分别计算出24名男生和26名女生剪出的筒底和筒身的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量=筒身的数量×2列出方程，求解即可．【详解】解：（1）设七年级2班有男生有x人，则女生有（x+2）人，由题意得：x+x+2=50，解得：x=24，女生：24+2=26（人），答：七年级2班有男生有24人，则女生有26人；（2）男生剪筒底的数量：24×120=2880（个），女生剪筒身的数量：26×40=1040（个），因为一个筒身配两个筒底，2880:1040≠2:1，所以原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套，设男生应向女生支援y人，由题意得：120（24-y）=（26+y）×40×2，解得：y=4，答：男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．【变式7-3】（2020·浙江杭州·七年级期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有220人，在乙处植树的有96人.（1）若要使甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，应从乙处调多少人去甲处?（2）为了尽快完成植树任务，现调m人去两处支援，其中90<m<100，若要使甲处植树的人数仍然是乙处植树人数的3倍，则应调往甲，乙两处各多少人?【答案】（1）应从乙处调7人去甲处；（2）当m=92时：则应调往甲处各86人，乙处6人当m=96时：则应调往甲处各89人，乙处7人【分析】（1）设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人，根据甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍得出方程，求出x的值；（2）设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+m-y）人，此时甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，由此可得方程：220+y【详解】解：（1）设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人，列方程得：220+x=3（96－x）

解得：x=17（2）设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+m-y）人，由此可得方程：220+∴4∴y∵90<m<100，y<m,m，y均为整数当m=91时：y=当m=92时：y当m=93时：y=当m=94时：y=当m=95时：y=当m=96时：y当m=97时：y=当m=98时：y=当m=99时：y=综上所述：当m=92时：则应调往甲处各86人，乙处6人当m=96时：则应调往甲处各89人，乙处7人答：（1）应从乙处调7人去甲处；（2）当m=92时：则应调往甲处各86人，乙处6人当m=96时：则应调往甲处各89人，乙处7人【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.【题型8水流问题】【例8】（2022·全国·七年级专题练习）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了4小时，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了6小时，已知船在静水的平均速度是30千米/小时，求水流速度．【答案】水流速度为6千米/小时【分析】设水流速度为x千米/小时，则轮船顺水速度为（30+x）千米/小时，轮船逆水速度为（30-x）千米/小时．根据路程相等列出方程并解答即可．【详解】解：设水流速度为x千米/小时，则轮船顺水速度为（30+x）千米/小时，轮船逆水速度为（30-x）千米/小时．所以有：4（30+x）=6（30-x）．解得：x=6．答：水流速度为6千米/小时．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键．【变式8-1】（2022·全国·七年级专题练习）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了4h．已知水流的速度是【答案】船在静水中的平均速度为21【分析】设船在静水中的平均速度为xkm/h，则顺流速度为(x+3)【详解】解：设船在静水中的平均速度为xkm/h，则顺流速度为(x+3)依题意，得3(x+3)=4(x−3)，解得x=21．答：船在静水中的平均速度为21km【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【变式8-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，是学习列方程解应用题时，老师板书的问题和两名同学列的正确方程．例2．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度．兵兵：2(x+3)=2.5(x−3)

倩倩：x根据以上信息，有下列四种说法：①兵兵所列方程中的x表示船在静水中的平均速度；②倩倩所列方程中的x表示船在静水中的平均速度：③兵兵所列方程中的x表示甲乙两码头的路程；④倩倩所列方程中：x表示甲乙两码头的路程；其中，正确的是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】根据静水速=顺水速-水流速、逆水速=静水速-水流速设未知数即可求解.【详解】解：设船在静水中的平均速度为xkm/h，由题意，得：2(x+3)=2.5(x−3)，故①正确；设甲乙两码头的路程为xkm，由题意，得x2故答案为：B【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式8-3】（2020·贵州·沿河县第五中学七年级阶段练习）“绿水青山就是金山银山”的科学论断，强调不以环境为代价推动经济增长．2017年10月“树立和践行绿水青山就是金山银山的理念”写入中国共产党的党代会报告，且在表述中与“坚持节约资源和保护环境的基本国策”一并成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的思想和基本方略．某游客乘坐一艘轮船在A，B两个码头之间航行旅游，顺水航行需4h，逆水航行需5h．已知水流速度为2km/h．（1）求轮船在静水中的航行速度．（2）求轮船在A，B两个码头之间航行旅游往返一次的平均速度．（3）若游客从A码头轮船启动顺水出发时，其中携带的一个旅游包不慎掉入水中，游客到达B码头后才发现旅游包不见了，立刻恳请船长将船调头按船在静水中的速度原路返回查找，（假设旅游包能从A码头自由漂流到B码头），请问游客从B码头出发多少时间与旅游包相遇？【答案】（1）18千米/时；（2）1609【分析】（1）设船在静水中的速度为x千米/时，则顺水速度为（x+2）千米/时，逆水速度为（x-2）千米/时，根据往返路程相等建立等量关系，求出其解就可以求出结论．（2）求出往返一次的时间和两地之间的距离，利用速度=路程÷时间可得结果；（3）设B码头出发y小时相遇，根据题意列出方程，求解即可．【详解】解：（1）设船在静水中的速度为x千米/时，则顺水速度为（x+2）千米/时，逆水速度为（x-2）千米/时，由题意得4（x+2）=5（x-2），解得：x=18．答：该船在静水中的速度是18千米/时．（2）∵往返一次需要4+5=9小时，两地之间的距离为5×（18-2）=80km，∴往返一次的平均速度为80×2÷9=1609（3）设B码头出发y小时相遇，由题意可得：2（4+y）+（18-2）y=80，解得：y=4，∴游客从B码头出发4小时与旅游包相遇．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解答本题的关键是设出未知数，根据等量关系建立方程．【题型9隧道或过桥问题】【例9】（2022·全国·七年级专题练习）已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．【答案】200【分析】设这列火车的长为x米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设这列火车的长为x米，根据题意得，1600+x90解得x=200，∴这列火车的长为200米．故答案为：200【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式9-1】（2022·全国·七年级）问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在挢上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度．合作探究：（1）请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程为x米，所以动车的平均速度可表示为米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为（x﹣120）米，所以动车的平均速度还可以表示为米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程．（2）小颖认为：也可以设动车的平均速度为v米/秒，列出方程解决问题．请你按照小颖的思路求动车经过的这座大桥的长度．【答案】（1）x150，x−120148，【分析】（1）根据等量关系即表示平均速度．从而列出方程．（2）设立未知数，根据路程关系即可求解．【详解】解：（1）设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程为x米，所以动车的平均速度可表示为x150从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为（x﹣120）米，所以动车的平均速度还可以表示为x−120148火车的平均速度不变，可列方程：x150故答案为：x150；x−120148；（2）设动车的平均速度为v米/秒．∴150v＝148v+120．解得：v＝60m/s．∴动车经过的这座大桥的长度：150×60＝9000m．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找到等量关系，属于基础题．【变式9-2】（2023·江苏·七年级专题练习）一列火车长110米，现在以30km/h的速度向北缓缓行驶，9：20追上向北行走的路人甲，15秒离开甲，9：26迎面遇上向南行走的路人乙，12秒钟后离开乙．若路人甲、乙行走速度不变，请问路人甲和乙相遇时间是火车迎面遇上路人乙后_______分钟．【答案】24【分析】先求出火车、路人甲、乙行走速度，然后计算出9:20时路人甲与路人乙的路程，再根据速度和×时间=路程，列出方程计算即可求解．【详解】解：火车速度：30×1000÷60=500（米/分），路人甲行走速度：(500×14−110)÷路人乙行走速度：(110−500×15)÷9:20时路人甲与路人乙相距(500+50)×6=3300（米)，设路人甲和乙相遇时间是火车迎面遇上路人甲后x分钟，依题意有：(60+50)x=3300，解得x=30，30−6=24（分钟）