内蒙古锡林郭勒盟2024届高三上学期第二次统一考试（12月月考）（全国乙卷）理科数学试题

2024届高三第二次统一考试（全国乙卷）理科数学本试卷共23题，共150分，共8页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整､笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用图改液､修正带､刮纸刀.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若（是虚数单位），则（）A. B.C D.2.若全集，则（）A B.C. D.3.造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，…，A10；B0，B1，.B10等标记来表示纸张的幅面规格，其中A系列的幅面规格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…如此对开至A8规格.若A4纸的面积为624cm2，则A8纸的面积为（）A.39cm2 B.78cm2 C.4992cm2 D.9984cm24.如图，在中，是直角，的内切圆与分别切于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则至少满足（）A. B.C. D.5.若，则（）A.2 B. C. D.6.已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，与交于两点、，，为的准线上的一点，则的面积为（）A.18 B.24 C.36 D.487.的展开式中有常数项，则不可能为（）A.6 B.8 C.9 D.128.已知四面体的体积为3，从顶点出发的三条棱两两垂直，若，则该四面体外接球表面积的最小值为（）A. B. C. D.9.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（素数即质数）猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数.则从不超过18的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（）A. B. C. D.10.甲、乙、丙做同一道题：已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，且满足，，，…．甲说：“”，乙说：“”，丙说：“”，如果三人说的均是正确的，以下判断正确的是（）A. B.C.直线，不一定垂直 D.直线，为异面直线11.如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道II绕月球飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为，圆形轨道III的半径为，则下列结论中正确的序号为（）①轨道II的焦距为；②若不变，越大，轨道II的短轴长越小；③轨道II的长轴长为；④若不变，越大，轨道II的离心率越大.A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④12.已知且，且，且，则（）A B.C. D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的三内角所对边的长分别是，设向量，若向量与向量共线，则角______.14.已知一组数据为，若在这组数据中插入一个自然数使得这组新数据满足中位数是7且平均数大于7，则满足上述条件的最小自然数是__________.15.已知函数的部分图象如图所示，下述四个结论：①；②；③是奇函数；④是偶函数中，其中所有正确结论的编号是_______.16.已知对一切上恒成立，则实数a的取值范围是______．三､解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设公差不为0的等差数列中，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和满足：，求数列的前项和.18.2023年，在第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议上教育部关于考试招生制度改革情况的报告中提出：改革考试内容和形式，实现从“考知识”向“考能力素养”转变；探索拔尖创新人才超常规选鉴通道，设立清华大学数学科学领军人才培养计划､北京大学物理卓越人才培养计划等专项计划，推进拔尖创新人才选拔培养.为此，各地区高中积极推进“强基计划”的落实，“强基培训”成为学生们热爱的课程之一.某高中随机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否参加“强基培训”的情况，经统计，“强基培训”与性别情况如下表：（单位：人）参加“强基培训”不参加“强基培训”男生2535女生525（1）根据表中数据并依据小概率值的独立性检验，分析参加“强基培训”与性别是否有关联？（2）用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中参加“强基培训”的人数为，求的分布列及数学期望.0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.87919.如图，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是菱形，平面平面.（1）证明：；（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE与平面CDF所成的二面角的正弦值.20.设分别是椭圆的左､右焦点.（1）求的离心率；（2）过的直线与相交于两点（与轴不平行）.①当为常数时，若成等差数列，求直线的方程；②当时.延长与相交于另一个点（与轴不垂直），试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由.21.已知函数，其中．（1）证明：恒有唯一零点；（2）记（1）中零点为，当时，证明：图像上存在关于点对称的两点．（二）选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参