广东省深圳市福田区红岭教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年广东省深圳市福田区红岭教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）一元二次方程x2＝x的解为（）A．﹣x＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝x2＝02．（3分）由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A． B． C． D．3．（3分）已知2x＝3y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A． B． C． D．4．（3分）随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（）A． B． C． D．5．（3分）如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是（）A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定6．（3分）菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分7．（3分）方程x2﹣8x+15＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）A．（x﹣6）2＝1 B．（x﹣4）2＝1 C．（x﹣4）2＝31 D．（x﹣4）2＝﹣78．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（）A．2 B． C．3 D．49．（3分）如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣10．（3分）如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为；③S△APD+S△APB＝；④S正方形ABCD＝2．其中正确结论的序号是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④二、填空题（每题3分，共15分）11．（3分）将方程（2x+1）（x﹣3）＝x2+1化为一般形式，可知一次项系数为．12．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE的长为．13．（3分）已知a是方程x2﹣3x﹣1011＝0的一个根，则代数式2a2﹣6a+1的值是．14．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球个．15．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积．三、解答题（共55分）16．（8分）解方程：（1）x（x+2）＝2（x+2）；（2）3x2﹣x﹣1＝0．17．（6分）已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）．①画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；②以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；③△A3B3C3与△A1B1C1是位似图形，位似中心为原点，位似比为3：2，若M（a，b）为线段A1C1上任一点，写出点M对应点M2的坐标．18．（7分）某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为150°．请结合图中所给信息解答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AB，延长AB至点E，使BE＝AB，连接EC．（1）求证：四边形BECD是矩形．（2）连接AC，若AD＝3，CD＝2，求AC的长．20．（8分）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？（2）能否通过降价使商店每天盈利达到1600元？请说明理由．21．（8分）已知：RT△ABC与RT△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC＝16cm，BC＝12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；运动二：在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为，当QC⊥DF时暂停旋转；运动三：在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时s；（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．22．（10分）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP；（3）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．

2023-2024学年广东省深圳市福田区红岭教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）一元二次方程x2＝x的解为（）A．﹣x＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝x2＝0【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．故选：C．2．（3分）由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：俯视图有3列，从左到右小正方形的个数是2，1，1，故选：D．3．（3分）已知2x＝3y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据等式性质2，可判断出只有B选项正确．故选：B．4．（3分）随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：至少有一次正面朝上的概率是．故选：B．5．（3分）如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是（）A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定【解答】解：如图所示：当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是变小．故选：B．6．（3分）菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．故选：D．7．（3分）方程x2﹣8x+15＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）A．（x﹣6）2＝1 B．（x﹣4）2＝1 C．（x﹣4）2＝31 D．（x﹣4）2＝﹣7【解答】解：∵x2﹣8x＝﹣15，∴x2﹣8x+16＝﹣15+16，即（x﹣4）2＝1，故选：B．8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（）A．2 B． C．3 D．4【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，∵AC＝6，BD＝8，∴OC＝3，OB＝4，∴CB＝＝5，∵E为边BC的中点，∴OE＝BC＝．故选：B．9．（3分）如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣【解答】解：如图，连结OB，作BD⊥x轴于点D，则∠ODB＝90°，∵四边形OABC是边长为1的正方形，∴OC＝BC＝1，∠C＝90°，∴OB＝＝＝，∵∠COB＝∠CBO＝45°，∠COD＝15°，∴∠DOB＝∠COB﹣∠COD＝45°﹣15°＝30°，∴BD＝OB＝×＝，∴点B的纵坐标为﹣，故选：B．10．（3分）如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为；③S△APD+S△APB＝；④S正方形ABCD＝2．其中正确结论的序号是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°，∵AE⊥AP，∴∠EAP＝90°，∴∠BAE+∠BAP＝∠BAP+∠DAP＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，∵AE＝AP＝1，∴△ABE≌△ADP（SAS），∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP，∵△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝AE＝，∴∠APD＝180°﹣∠APE＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝135°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，∴①正确；∴BE＝＝＝1＝AE，∴②不正确；∵△ABE≌△ADP，∴S△ABE＝S△ADP，∵∠BAP＝90°，AE＝AP＝1，PB＝，∴EP＝，∠AEP＝45°，∵∠AEB＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△EPB＝AE×AP+EP×BE＝×1×1+××1＝，∴③正确；如图，过点B作BO⊥AE，交AE的延长线于点O，则∠O＝90°，∵∠BEO＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，∴△BOE是等腰直角三角形，∴OE＝OB＝BE＝，∴AO＝AE+OE＝1+，在Rt△ABO中，∵AB2＝AO2+OB2＝（1+）2+（）2＝2+，∴S正方形ABCD＝AB2＝2+；∴④正确；故选：A．二、填空题（每题3分，共15分）11．（3分）将方程（2x+1）（x﹣3）＝x2+1化为一般形式，可知一次项系数为﹣5．【解答】解：（2x+1）（x﹣3）＝x2+1，∴2x2﹣5x﹣3＝x2+1，∴x2﹣5x﹣4＝0．故答案为：﹣5．12．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE的长为8．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝6，BC＝3，DF＝12，∴＝，∴DE＝8，故答案为：8．13．（3分）已知a是方程x2﹣3x﹣1011＝0的一个根，则代数式2a2﹣6a+1的值是2023．【解答】解：∵a是方程x2﹣3x﹣1011＝0的一个根，∴a2﹣3a﹣1011＝0，a2﹣3a＝1011，∴2a2﹣6a+1＝2（a2﹣3a）+1＝2×1011+1＝2022+1＝2023，故答案为：2023．14．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球16个．【解答】解：设红球有x个，根据题意得，＝＝0.2，解得x＝16．经检验x＝16是分式方程的解．故答案为16．15．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积12．【解答】解：过点M作ME⊥CD，垂足为E，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，∴CM＝DM＝AB＝5，∴DE＝CD＝3，在Rt△DEM中，EM＝＝＝4，∴△MCD的面积＝CD•EM＝×6×4＝12，故答案为：12．三、解答题（共55分）16．（8分）解方程：（1）x（x+2）＝2（x+2）；（2）3x2﹣x﹣1＝0．【解答】解：（1）方程移项得：x（x+2）﹣2（x+2）＝0，分解因式得：（x+2）（x﹣2）＝0，所以x+2＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2；（2）方程3x2﹣x﹣1＝0，∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13＞0，∴x＝，解得：x1＝，x2＝．17．（6分）已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）．①画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；②以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；③△A3B3C3与△A1B1C1是位似图形，位似中心为原点，位似比为3：2，若M（a，b）为线段A1C1上任一点，写出点M对应点M2的坐标．【解答】解：①如图，△A1B1C1为所作；②如图，△A2B2C2为所作；③点M对应点M2的坐标为（a，b）或（﹣a，﹣b）．18．（7分）某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为150°．请结合图中所给信息解答下列问题：（1）这次被调查的学生共有360人；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．【解答】解：（1）∵D所占扇形的圆心角为150°，∴这次被调查的学生共有：（人）；故答案为：360．（2）C组人数为：360﹣120﹣30﹣150＝60（人），故补充条形统计图如下图：（3）（人），答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团，（4）设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：∵一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，∴．19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AB，延长AB至点E，使BE＝AB，连接EC．（1）求证：四边形BECD是矩形．（2）连接AC，若AD＝3，CD＝2，求AC的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵AB＝BE，∴BE＝DC，BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝∠DBE＝90°，∴平行四边形BECD是矩形；（2）解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝3，AB＝CD＝2，由（1）可知，四边形BECD是矩形，∴∠E＝90°，BE＝CD＝2，∴AE＝AB+BE＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，∴AC＝＝＝，即AC的长为．20．（8分）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？（2）能否通过降价使商店每天盈利达到1600元？请说明理由．【解答】解：（1）设每件工艺品单价应降x元（x＜40），则当天销售量为（20+2x）件，依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1050，整理，得x2﹣30x+125＝0，解得：x1＝25，x2＝5（不合题意，舍去）．答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，每件工艺品单价应降25元；（2）不能，理由如下：设每件工艺品单价应降为y元（y＜40），则当天的销售量为（20+2y）件，依题意，得：（40﹣y）（20+2y）＝1600，整理，得：y2﹣30y+400＝0．∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，∴该方程无实数根，即不能通过降价使商店每天盈利达到1600元．21．（8分）已知：RT△ABC与RT△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC＝16cm，BC＝12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；运动二：在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为，当QC⊥DF时暂停旋转；运动三：在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时10s；（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得，运动一：∵△DEF是等腰三角形，∠ACB＝90°，EF＝8cm，∴EC＝4cm，∴运动一所用时间为：4÷1＝4（秒），运动二：∵当QC⊥DF时暂停旋转，∵CD＝CF，∴DQ＝QF＝2cm∴运动二所用时间为：2＝2（秒），运动三：∵CF＝4cm，∴运动三所用的时间为：4÷1＝4（秒），∴整个过程共耗时4+2+4＝10（秒）；故答案为：10；（2）运动一：如图2，设EC为tcm，则CQ为tcm，∴S△ECQ＝×t×t，∴S与t之间的函数关系式为：y＝t2（0≤t≤4），运动二：如图3，连接CD，在△ECP和△DCQ中，∵∴△ECP≌△DCQ（ASA），∴S与t之间的函数关系式为：y＝8（4＜t＜6），运动三：如图4，四边形QDPC为矩形，∴CF＝4﹣（t﹣6）＝10﹣t，EC＝8﹣CF＝t﹣2，∴S矩形