计算机控制技术 王书锋 第3章 计算机控制基础理论

蓝缸第3章计算机捽制基础理论

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蓝泳第3章计算机捽制基础理论

内容提要

3.1计算机控制系统的信号变换理论

3.2计算机控制系统的数学描述

3.3连续系统的离散化方法及特点

3.4离散控制系统的特性分析

3.5离散控制系统的根轨迹设计法和频域设计法

3.6本章小结

庐跖城心面』在3-出

蓝缸第3章计算机捽制基础理论

3.1计算机控制系统的信号变换理论

1.计算机控制系统的信号形式

典型的计算机控制系统如图3」所示。图中，系统

的输入信号厂«）、输出信号y⑺等为连续时间信号；

而计算机的输入信号e*⑺与输出信号/«）均为离散时

间信号，并且是特殊的离散时间信号一一数字信号。

连续时间信号变换成数字信号通过A/D转换器完

成，

数字信号变为连续时间信号是通过D/A转换器完成的。

BfiJ.益—：i里，件

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

图3-1典型计算机控制系统结构

庐屈蜘心诙」叁；里/ZE

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

计算机控制系统分析与设计方法分两种O

(1)连续化设计方法：将计算机控制系统视为连续系统，用连续

系统的分析及设计方法进行研究。其基本思想是：当采样频率足够高

时，采样系统近似于连续变化的模拟系统，此时忽略采样开关和保持

器，用S域的设计方法先设计满足性能指标要求的连续控制器，再用s域

到Z域的离散化方法求控制器脉冲传函，最后验证，如性能指标不符

合，还需重新设计。

(2)离散化设计方法：其基本思想是：直接在Z域中用Z域根轨迹

法或频域设计法进行分析，设计出数字控制器，系统控制器的设计和性

能指标的计算都是依据离散控制理论并针对离散时间信号进行的。

(n/W2()ir

戚I常.裔一［里件

蓝缸第3章计算机捽制基础理论

2.信号的采样、量化、恢复及保持

1）信号的采样过程

计算机控制系统中，信号是以脉冲序列或数字序列的方式传递的，按一定的

时间间隔，把时间和幅值上连续的模拟信号变成在0、T、2T、……KT时刻的一

连串脉冲输出信号的集合的过程叫做采样过程。

实现采样动作的装置叫采样开关或采样器。

r

图3・2信号的采样过程

BfiJ.益—：i里，件

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

采样开关输入的原信号/⑺为连续信号，输出的采样信

号/*«）是离散的模拟信号。当采样开关的闭合时间很

短，则采样信号就可以认为是原信号在开关闭合瞬时

的值。整个采样信号就可看作是一个加权脉冲序列，用

理想脉冲函数将采样后的脉冲序列表示成：

/*«)=f(OW)+f(TW-T)+-2T)+L

oo(3-1)

k=0

庐屈蜘心诙」叁；里

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

从信号的采样过程可知，信号的采样不是取全部

时间上的信号值，而是取某些时刻的值。这样处理是

否会造成信号的丢失呢？

香农（Shannon）采样定理指出：对于一个具有有

限频谱同＜/a、的连续信号进行采样时，采样信号/⑴

唯一地复现原信号/⑺所需的最低采样角频率必须满

足0s22Omax或742»/0而的条件。其中，0max是

原信号频率的最高角频率。

采样角频率与采样频率、采样周期的关系为：

2万

叱二2初

庐屈蜘心诙」叁；里/ZE

第3章计算机捽制基础理论

对于实际系统，当时，＜of⑴=0

根据3函数的性质，有

00

(3-2)

k=-g

式中，心⑺为理想采样开关的数学模型,

00

况⑴,t=kT

k=s

（力翊26百

।国一时期_当....而」眷—：;里—林

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

采样定理给出了合理选择采样周期的理论指导原则，在计

算机控制系统中对采样周期的选择要折中考虑许多因素。

在实际中，采样频率通常取＞(5-10)fmax,或者更高。

对于工业过程，总结了如下经验数据可供参考:

温度流量压力液面成分

10〜20s1〜5s3〜10s6~8s15〜20s

庐屈蜘心诙」叁；里

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2)信号的量化

将时间上离散、幅值上连续变化的离散模拟信号/*«)

用一组二进制数码来逼近的过程称为信号的量化。

执行量化动作的装置是A/D转换器，把在Mn〜源x范围

内变化的采样信号/⑺通过字长为n的A/D转换器，变换

成o〜2〃-1范围内的某个数字量。

量化单位定义为：ff

「JmaxJmin

q二---------

2〃—1

q是二进制数的最低有效位对应的整量单位。量化过程是一

个小数归整过程，所以量化误差为土;“

BfiJ.益—：i里，件

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3）信号的恢复过程与采样/保持器

信号的恢复过程是从离散信号到连续信号的过

程，是采样过程的逆过程。

由于采样信号仅在采样时刻才有输出值，而在两

个采样点之间输出为零，为了使两个采样点之间的信

号恢复为连续模拟信号，以前一时刻的采样值为参考

基值作外推，使两个采样点之间的值不为零，这样来

近似采样信号。将数字信号序列恢复成连续信号的装

置叫采样保持器。

.当3—左-迪__

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

零阶保持过程是将前一采样时刻的采样值恒定地

保持到下一个采样时刻出现之前，即在区间内零阶保

持器的输出为常数，如图所示。

零阶保持器

f(kT)Ho(s)

\/(/)

0IT2T3T475TA0IT2r3T4r5TA

图3-3应用零阶保持器恢复的信号

庐屈蜘心诙」叁；里/zE

Q第3章计算机控制基础理论

4)零阶保持器特性分析

1-e-Ts

零阶保持器的传递函数为H0(s)=--------

.,coT.

sin(?)jo)

其频率特性为…rT—^-e2

an

~T

F.兀①

Tsin-

________吐

则幅频特性为风(加卜713

以

相频特性为/Hg(j①)=-4左］

而/«3/2。/

屿版—珈一当.—.照-卷一■；里比

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

图3-4零阶保持器的幅频特性及相频特性

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3.2计算机控制系统的数学描述

1.Z变换与Z反变换

1)Z变换的定义

设离散系统的采样信号为

00

/*«)=Z于(kT)B(t-kT)(3-3)

k=Q

对上式进行拉氏变换，即得采样信号的拉氏变换

/⑸=L[f(t)]=Cf(t)eTsdt(&4)

J-00

00+00

=Z—九型］=E于(kT)e-m

k=000k=0

庐屈蜘心诙」叁；里/ZE

箱区第3章计算机捽制基础理论

将采样信号/*«明拉氏变换中包含eL5的超越函数定义为一个新的复

变量Z,即Ts

z=e

则有5=-Inz

T

T为采样周期，并将尸⑸记为F（z），得到离散函数心）的z变

换：oo

/（z）丫Z"*。）］=Zf（kT）Rk（3-5）

k=0

尸⑵称为离散函数/*⑺的z变换，也叫离散拉氏变换或采

样拉氏变换。

.（直/6豫为百

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蓝泳第3章计算机捽制基础理论

几点说明:

⑴任意项/（左丁）2一人具有明确的物理意义：

/（仃）表示幅值，Z的鼎次表示该采样脉冲出现的时

亥！I;

/<0/*（0=0

⑵上述求取z变换方法称为单边z变换，当时，

00

而称F(z)=Z[f*(t)]=£f(kT)六

攵=-00

为双边Z变换，在控制系统中，通常只研究单边Z变

换；

庐屈蜘心诙」叁；里/ZE

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

（3）如果两个不同的时间函数力⑺和八。），力。）W于2（。

但其采样值完全重复，即力*⑺=/2*。）

则F«）=B（Z）,说明z变换尸⑶与离散函数/*⑺是

一一对应的，但是尸⑶与一⑺之间的对应关系却不唯一。

从这个意义上来说，连续时间函数/⑺与相应的离散

时间函数/*⑺具有相同的z变换，即

00

b(z)=Z"*。)]=Z[f(kT)]=Z[/(r)]=Zf(kT)z-k

k=0

庐屈蜘心诙」叁；里/ZE

第3章计算机捽制基础理论

2)Z变换的求法

求取离散时间函数/*⑺的z变换的三种方法

(1)级数求和法

例3”求单位阶跃函数的Z变换。

解：根据Z变换定义，有

00

F(z)=Z[l(k)]=Xz-k

k=0

=l+z~l+z~2+L+屋+L

1z

1-z-1Z-1

(r7/.W2(HT

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(2)部分分式展开法

例3.2已知函数小)=小，求人)

解：尸⑸有两个单极点P1=。、P2=—(2，则4=1、4=T

展开为部分分式之和

乙、6111

F(5)二------------------二---------------------

s(s+〃)SS+4

ZZ

/(z)=

z-1z-e

zi八一aT\

(1-e)z—1

izi.-aT\-1.-aT-2

i-(l+e)z+ez

庐屈蜘心诙」叁；里/zE

第3章计算机捽制基础理论

⑶留数法

如果函数产⑸为严格的真有理分式，则R(s)的Z

变换尸⑴可直接由下式求得

〃1

尸⑵=Z［"s）］二,Res［尸初）匚可］

p=pi

jn1n1（fl

+£KPF"⑺4%，

Z=/72+l（仁1）!M

(r7/W2()iT

场当标j卷迎计

。氤第3章计算机捽制基础理论_______________________

3)z反变换

已知Z变换表达式F(z),求相应离散序

列了(左丁)或/*«)的过程称为Z反变换，记为

/(S=Z”(z)]

常用的Z反变换方法有长除法、部分分式

法和留数计算法。

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

7

例3.3求F(z)=-----------的---Z-反变换/(U)

(z—l)(z—2)

/(z)二----1----

z-1z-2

f(kT)=-l+2k

即/*⑺=S(t-T)+3M-27)+7M-3T)+15SQ-47)+L

可以看到，经反变换得到〃⑺的只是在采样时刻kT与f3在

该时刻AS的值相等，而在其他时刻的值可以任意。常用

函数的Z变换列教材表3・2中。

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4）z变换的基本定理

包括线性定理、位移滞后定理、位移超前

定理、初值定理、终值定理、时域离散卷积定

理、复位移定理、复域微分定理和复域积分定

理。可以简化z变换计算和离散控制系统分

析。

（行/（谆2。1笋

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蓝泳第3章计算机捽制基础理论

2线性定常离散系统的差分方程及其求解

1）差分的定义

一阶前向差分的定义为N（k）=f（k+D-f（k）

n阶前向差分的定义为△〃//）=+1）-△〃"/）

同理，

一阶后向差分的定义为q（k）=f（k）-以k-»

n阶后向差分的定义为Vf（k）=5f（k）7，（k-。

1sM蛤心iffi」叁洞/ZE

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

2)线性定常离散系统的差分方程

设单输入单输出计算机控制系统某一时刻输/为，"输庙

为，则描述线性定常离散系统动态过程的n阶非奇次后向差分方程

的一般形式为

y(左)+axy(k-1)+L+an_xy(Jc+1—〃)+any(k-〃)

=bGu(k)+b1u(k-1)+L++l-m)+bmu(k-m)

3)差分方程的求解

用Z变换求解常系数线性差分方程和用拉氏变换解微分方程很相

似。先利用初始条件，将差分方程转换成为变量的代数方程，再求出

Z反变换。

庐屈蜘心诙」叁；里

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

3.计算机控制系统的脉冲传递函数

D脉冲传递函数的定义G（z）=器

2）脉冲传递函数的代数运算规则

G（Z）=^3=G］（Z）G2（Z）

开环串联运算

GQ）=^y（^z）=G（Z）±G2（Z）

并联环节运算U（z）

庐屈蜘心诙」叁；里/zE

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

典型计算机控制系统的闭环脉冲传递函数

w(z)=agz)”

R⑶l+HG(z)Q⑶

式中,5z)=Z[±G°(s)]称为广义对象脉冲传递函数

S

HG(z)=Z[H(s)G(s)]

。⑵=Q*(s)“为计算机执行的数字控制器的脉冲传递函数

z=e

庐屈蜘心诙」叁；里/zE

海缸第3章计算机捽制基础理论____________________

3)离散状态空间方程

fx(k+1)=Ax(左)+Bu(k)

(左)=Cx(k)+Du(k)

式中，x(k)为n维状态向量；"(Q为〃维控制向量；

y(左)为机维输出向量；A为的系统状态矩阵；

8为的输入矩阵；C为机的输出矩阵；

D为mx厂的前馈矩阵(或称直接传输矩阵)

则描述离散输入输出关系的脉冲传递函数矩阵为

G(z)==C(zl-A)-1A+D

U⑺

1sM:fefr心诙」叁-JB1/i-

—aJovcro第3章计算机捽制基础理论

4.S平面到Z平面的变换

S平面与Z平面的映射关系可由z=*来确定,

设s=a+jco,则有

图3-9S平面与Z平面的映射关系

原版教学配套上住

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3.3连续系统的离散化方法及特点

连续化设计法是一种离散系统的等效设计方法，假设

系统为一个连续系统，且没有采样开关，先设计一个模拟

控制器，再经过离散化得到数字控制器。当采样频率足够

高时，采样系统的特性接近于连续系统，因而可将整个系

统近似成一个连续系统。

离散化法的目的就是由模拟调节器的传递函数求得等

效的脉冲传递函数。“等效”是指两个传递函数的脉冲响应

特性、阶跃响应特性、频率特性、稳态增益等特性相似。

常用的离散化方法有六种，下面简单介绍各种离散化

方法及其特性和适用范围。

（n/W2t）iT

BfiJ.益—：i里，件

蓝虬.第3章计算机捽制基础理论____________________

L差分变换法

差分变换法亦称也称为差分反演法。其变换方法是：把原连续

传递函数转换成微分方程，再利用差分方程近似该微分方程。

1)后向差分变换法

一阶后向差分离散化方法为O(z)=O(s)［上2

图3-10后向差分法的映射关系

庐屈蜘心诙」叁；里

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

特点：

后向差分法的s平面与Z平面的映射关系如图3・10所示。s

平面的虚轴映射为z平面上半径为0.5的圆周，s左半平面映射

到该圆内部。说明。⑶稳定，经后向差分变换后。(z)也是稳

定的。其次，后向差分变换在。从0->+8时，惟一映射到

半径为0.5的单位圆上，没有出现频率混叠现象，但频率被严

重压缩了，因此不能保证频率特性不变。因其变换精度较

低，工程应用上受限制。

它的优点是简单易做。

庐屈蜘心诙」叁；里

ZiF^\第童计萱机捽制基础理论

-otoLwJu3

2）前向差分变换法

一阶后向差分离散化方法为Q（z）=Q（s）l

s平面

0CT

图3.11前向差分法的映射关系

07/03/2013

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

特点：

前向差分法的s平面与Z平面的映射关系如图3・11所示。

如果令s=o+j①,

则|z|=J(l+b)2+(W)2,要使闫<1,除。<0外，

还要cor较小才行，可见这种变换会产生不稳定的。⑵，要

稳定应减小采样周期，且不能保证有相同的脉冲响应和频

率响应。

该方法优点是简单易用，但应保证。⑶稳定。

滥虬第3章计算机捽制基础理论

2.双线性变换法

双线性变换又称图斯汀变换，其离散化方法为

5=2_£z!

T7+I

特点:

经过双线性变换，S平面的虚轴惟一映射到Z平面的单位

圆上，而整个左半S平面映射到Z平面的单位圆内部。因

此，如果。⑶稳定，经过双线性变换后的。（Z）也是稳定

的，并且不会出现频率混叠现象，但会产生频率畸变。

这种变换方法较为适合工程应用。

缺点是高频特性的频率失真较严重，因此不宜用于高通

图3-12梯形积分法

环节的离散化。

庐屈蜘心诙」叁；里

酒缸一第3章计算机捽制基础理论_____________________

3.频率预畸变的双线性变换法

双线性变换时，模拟频率与离散频率之间的非线性关系如图示。

步骤L在期望零点或极点中，用Q，

代替s+〃ns璃』/预…畸

变，DGH),得到

步骤2:将。(s，〃)转换成O(z，。)，

令Q(Z,Q)=KD(S,优)1一1)/5，考虑变

换前后直流增益保持不变，放大系数K

可通过limD(z)=l求出。

z-»l

特点：频率预畸变的双线性变换本质上仍为双线性变换，但由于进行了频

率预先修正，只能保证断点处频率特性在变换前后不变，其他频率处仍存

在频率畸变。主要应用在要求在某些特征频率处离散前后频率特性保持不

变的场合。

.由屈切1■必访」叁-JH灶

滥虬第3章计算机捽制基础理论

4.脉冲响应不变法

所谓脉冲响应不变，是指变换后的。(z),其单位脉冲响应与变

换前的Z)(s)单位脉冲响应的采样值相等。按照这一原则来实现

把离散成的方法，就是脉冲响应不变法。

特点：离散控制器。⑶与连续控制器。⑸的脉冲响应相

同；若。⑸稳定，则。⑵也稳定，但。(环能保持。⑸

的频率响应；。⑶将模拟频率整数倍的频率变换到z平

面上同一个点的频率，因而出现了频率混叠现象。主

要应用于。⑶能较容易分解为并联结构，且具有陡衰减

特性、信号为有限带宽的场合。这时采样频率足够

高，可消弱频率混叠现象。

庐屈蜘心诙」叁；里

蓝虬.第3章计算机捽制基础理论____________________

5.具有零阶保持器的脉冲响应不变法

假如环节前具有采样开关和保持器，可以通过Z变换求其脉冲

传递函数。采用零阶保持器，则

G(z)=Z[——G(s)]=(1—zT)Z[-^]

ss

特点：这种方法本质上仍然是z变换法，因此若Q(s)稳定，则。⑶

也稳定；由于零阶保持器的低通特性，会使信号最大频率降低，

因此频率混叠现象比单纯采用脉冲响应不变法有所改善；此外，

由于加入零阶保持器而引入的相位滞后会造成稳定裕度较差。

庐屈蜘心诙」叁；里

蓝虬.第3章计算机捽制基础理论____________________

6.具有零阶保持器的脉冲响应不变法

又称为根匹配法。零点极点匹配法是将S平面的零点或极点用

Z=J关系映射到z平面上，对实数零极点，其变换关系为

O（z）nO（s）L-7

特点：在变换过程中，同一个。⑶，用零极点匹配法和

脉冲响应不变法变换后的。⑶,其极点相同而零点不

的零点数少于极点数，根据的映射关

系，对于具有低通滤波野性的把无穷远处的零点映

射至上-1;因为是直接进行零极点对应，并没有顾及到

增益关系，所以应使S）和Z）在某一临界频率处具有相

同增益。对于具有低通滤波特性的）,要保证直流增益

不变，应使⑵*=。（砒=0

庐屈蜘心诙」叁；里

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

总结:

上述6种离散化方法中，除前向差分法外，只要原连续系统是稳

定的，则变换后得到的离散系统也是稳定的。采样频率对设计结果有

影响，当采样频率远远高于系统的截止频率时（100倍以上），用任

何一种设计方法所构成的系统特性与连续系统相差不大；随着采样频

率的降低，各种方法显现出差别。

按实际结果的优劣进行排序，以双线性变换为最好，即使在采样

频率较低时，得到的结果也还是稳定的，其次是零极点匹配法和后向

差分法，再次是脉冲响应不变法。

这6种方法有各自特点，脉冲响应不变法可以保证离散系统的响应

与连续系统相同；零点极点匹配法能保证变换前后直流增益相同；双

线性变换法可以保证变换前后特征频率不变。

以上各种设计方法在实际工程中都有应用，可以根据需要选择使用。

庐屈蜘心诙」叁；里

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3.4离散控制系统的特性分析

1.离散控制系统的稳定性分析

1）离散系统的稳定性概念和稳定条件

【定义】所谓稳定性，对于线性定常连续系统和线性定常离散系

统，就是在有界输入作用下，系统的输出也是有界的。

不

稳

稳

稳

定

定

-定O-

域

域O

域

图3-15连续系统与离散系统的极点分布稳定域

BfiJ.益—：i里，件

「彘k第3章计算机捽制基础理论____________________

2）离散系统稳定性的判定方法

可以采用直接求取方法和劳斯稳定判别法

劳斯稳定判据用于判定线性定常连续系统中闭环系统的根是

否全在S左半平面，从而确定系统的稳定性。然而离散系统的稳定

边界为单位圆，不能直接用劳斯判据。我们引入双线性变换（又称

W变换），使得Z平面的单位圆映射到W平面的左半平面，就可以直接

应用劳斯稳定判据了。

双线性变换定义为

W+1/2、1+W

z=-------（或）Z=--------

w—11-W

（行/疝琴2市彳

_熟一4—皿花

酒露一第3章计算机捽制基础理论

2.计算机控制系统的过渡过程分析

【定义】计算机控制系统的过渡过程是指系统在外部信号作用

下从原有稳定状态变化到新的稳定状态的整个动态过程。

计算机控制系统的闭环Z传递函数可以写成两个多项式之比的形

式，即

丫⑶用”,）

W(z)=

《）口（…）一。⑶

1=1

假定W（Z）无重极点，则系统在单位阶跃输入信号作用下,

输出的Z变换为y（z）=W（Z）R（Z）=长£@・上

D（z）z-1

庐屈蜘心诙」叁；里/zE

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

取丫⑵的z反变换，即可求得系统输出在采样时刻的

离散值的一般式为

“下、⑴vZI*"八八、

y(kT)=K--+£------K--P--(zrG---z”k+£----K-P-(rQ---1|cos(k，.+4)(k>n-m)

〃⑴i(z“-l)O(z“)I。-1)。心)

式中，.为实极点，々为实极点个数

为复极点，生为复极点对数

4=tan-1(丹/%)4=荷+四2

ggdO(z)

DUG=Q(zQ=

7—7.dz7=7.

庐屈蜘心诙」叁；里/zE

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

图3-17实数极点对应的暂态响应分量

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第3章计算机捽制基础理论

图3-18复数极点对应的暂态响应分量

（n/W2（）ir

盾版物一当一曲J在，坦拉

蓝缸第3章计算机捽制基础理论

结论：

从图中可以看出，位于左半z平面单位圆外、单位圆上和单

位圆内的复极点，其暂态响应分量同位于右半z平面单位圆外、单

位圆上和单位圆内相应复数极点的暂态响应情况类似，不同的是

其振荡频率要高于右半Z平面复极点暂态响应分量的振荡频率。通

过以上分析可知，闭环极点最好配置在Z平面右半部的单位圆内，

而且是越靠近原点的地方。这样，系统的过渡过程振荡小且衰减

快。

（n/W2t）iT

BfiJ.益—：i里，件

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3.计算机控制系统的稳态误差分析

【定义】所谓稳态误差是指计算机控制系统从过渡过程结束后到

达稳态以后，系统的输出采样值与输入采样值的偏差。它是衡量系

统准确性的一项重要指标。

图3-19典型计算机控制系统结构图

庐屈蜘心诙」叁；里

滥虬第3章计算机捽制基础理论

系统的开环Z传递函数为

①。(z)=G(z)O(z)

系统的误差Z传递函数为

矶Z)11

①e(z)=(3-10)

H(z)l+G(z)Q(z)1+①。(z)

误差信号的Z变换为

£(z)=①e(z)R(z)=「」)R(z)

1+①。(z)(3-11)

假定系统是稳定的，则可用终值定理求出采样瞬时的稳态误差为

二e(oo)=lime*⑺=lim(z-l)£(z)

zf1

(3-12)

lim(z-1)「R⑺

zf1+①。⑵

庐屈蜘心诙」叁；里/zE

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

(1)单位阶跃输入信号作用下的稳态误差

由单位阶跃输入信号r(0=1(0R⑺

z-i

代入式(3・12),得稳态误差为

Z「z1

“s=lim(z-l)----------=--l-im

-I1+①。(Z)Z-lZfl1+②⑶-Kp3一

1OZ

定义Kp=lim[l+①。(z)]为静态位置误差系数,

Zf1

1

则稳态误差为e

ssKp

庐屈蜘心诙」叁；里/ZE

蓝缸第3章计算机捽制基础理论

设控制系统的开环Z传递函数形式为中。

(1—沙

w“(z)的分母中没有(1—2一)因子

根据系统中的积分环节的阶次q来定义系统的类型:

把q=0的系统称为o型系统

把q=1的系统称为I型系统

把4=2的系统称为II型系统

Mcitric脊一'里件

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

(2)单位斜坡输入信号作用下的稳态误差

由单位斜坡输入信号r(r)=tH(z)=—J

')(z-1)2

代入式(3-12),得稳态误差为

1TzTzT

.二lim(z-l)-----------------=lim-----------------------.二lim--------------

-i]+①。(z)(z-1)z_i仁-1)[1+①。⑵]-iq_1)①。(z)(3-14)

定义仆=lim(Z-1)①。(z)为静态速度误差系数，则稳态误差为

庐屈蜘心诙」叁；里/ZE

酒露一第3章计算机捽制基础理论____________________

（3）单位抛物线输入信号作用下的稳态误差

19»、片2（2+1）

由单位斜坡输入信号厂⑺=-tE（Z）=――

22（z--l）r

代入式（3-12）,得稳态误差为

1r2zg+i)

=吧(1)二lim(3-15)

1+①。⑶2(z—z->l(z—I)?①。⑶

定义7^=11111(2_1)2屯。(2)为静态加速度误差系数，则稳态误差为

zf1

evv

庐屈蜘心诙」叁；里/zE

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

0.368(^+0.718)

例3-5已知以计算机控制系统的开环Z传递函数中“⑶=(z-l)(z-0.368)

为采样周期T=ls,试确定系统分别在单位阶跃、单位斜坡和

单位抛物线函数输入信号作用下的稳态误差。

解：按照系统稳态误差的定义

0.368(^+0.718)

K=1+lim[l+①。(z)]=1+lim[l+]=00

Pnzf1(z-l)(z-0.368)

-0-.3-6-8-(-^-+-0-.-7-1-8-)二1

Kv=lim[(z一1)①。(z)]=Iim(z-1)1

z—1z—1(z-l)(z-0.368)

0.368(z+0.718)

K0=lim[(z—Ip①。(z)]=lim[(z—l)21-0

z-1z—1(z-l)(z-0.368)

庐屈蜘心诙」叁；里/ZE

蓝缸第3章计算机捽制基础理论

1八

单位阶跃输入信号作用下ess=—=O

Kp

T1

单位斜坡输入信号作用下%=鼠=I=1

Tz

单位抛物线输入信号作用下Gs==8

Ka

结论：

♦该系统为I型系统，能够准确复现单位阶跃信号；

♦对于单位斜坡信号存在恒定稳态误差1；

♦在抛物线输入信号下其稳态误差为00,所以I型系统不能跟踪抛

物线函数信号。

（n/W2t）iT

Mcitric脊一'里件

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4.线性定常离散控制系统的可控性、可观性和可达性

1)线性定常离散控制系统的状态空间描述

对于线性定常连续系统，其动态方程可表示为

坨)=Ax(t)+Bu(t\x(r)

cc0(3-

y⑺=Cx(O+Du(t)

cc16)

对于线性定常离散系统，其动态方程可表示为

x(k+1)=Ax(左)+Bu(k),x(0)

y(k)=Cx())+D"(k)(3-

17)

庐屈蜘心诙」叁；里/zE

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

线性定常离散系统的动态方程可由线性定常连续系统经过采样

进行离散化后得到。若使用零阶保持器进行离散化，则式(3-16)

和式(3-17)中各系数间存在如下关系：

AcT

A=产5=([edt)Bc,C=Cc,D=Dc(3-18)

设单入单出线性定常离散系统的差分方程为

y(k+n)+an_xy(k+n-l)+L+a{y(Jc+1)+gy(左)=%-(3-19)

如果选取状态变量%*)=y(k),x2(k)=y(k+1),L,xn(k)=y(k+n-l)

那么，可以得到系统的动态方程为

X](左+1)=x2(k)

%2/+1)=%3(上)

L

(左+D=%”(％)

xn(k+1)=—a0X](k)—a1x2(k)-L—an_xxn(k)+bou(k)

y(k)=%(k)

庐屈蜘必诙」叁•:电小

蓝缸第3章计算机捽制基础理论

上述动态方程表述为向量•矩阵的形式为

再伙+1)010L0X(Z)0

x2(k+1)001L0%2(&)0

MMMMLMM+Mii(k)

%(2+1)000L1x,i(k)0

七,(女+1)—4-qL-an-\__xn(k)?o_

X]⑹

々（女）

y(k)=[l0L0]M(3-

七一伏）20)

x/k）

式（3-20）可记为

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),x(0)

y(k)=Cx{k}+Du(k)(3-21)

式中，A,8为能控标准型，。为零矩阵。

庐屈蜘心诙」叁；里/zE

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将式(3-19)用差分方程表示的线性定常离散系统扩展为一般形式

y(k+〃)+an_xy(k+n-l)+L+axy{k+1)+aoy(k)

=b〃u(k+n)++n-l)+L+b[u(k+1)+bQu(k)(3-22)

可以通过引入中间变量将式(3-22)转换成

x(k+1)=Ax(k)+B忧(k),x(0)

y(k)=Cx(k)+Du(k)(3-23)

式中，A、3仍为能控标准型。D表示输入对输出的直接传递作用的

强弱，不影响系统状态和动态响应特性，如果在状态空间描述中，不考

虑D的影响，系统的状态空间描述可表示为

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),x(0)

(3-24)

y(Z)=Cx(k)

庐屈蜘心诙」叁；里/zE

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2）线性定常离散控制系统的可控性、可观性分析

【定义3T】设n阶线性定常离散系统的状态空间表达式为

x(k+1)=Ax(左)+5u(^);x(0)=x

0(3-32)

y(k)=Cx(k)+Du(k)

若存在有限个输入向量序列"（幻（左=°，L2,L〃-1）,能在有限步数NT

内驱动系统从任意初始状态x（0）转移到期望状态x（N）=O，则称该系统是

状态完全可控的（简称可控）。

若系统可以通过有限次的测量值y«（^0,l,2,L/i-l）,能惟一确定系统

的初始状态元（0）,则称系统是完全能观的（简称能观）。

庐屈蜘心诙」叁；里

蓝泳第3章计算机捽制基础理论

【定义3・2】对线性定常离散系统，如果存在着一组无约束的控

制序列"/)，左=(M2L,N-1,能把任意的初始输出值y(0),在

有限时间N内转移到任意的终值输出值，则称该系统是输出完

全能控的。

【定理3-1】由式(3-32)描述的线性定常离散系统，其状态

n}

完全能控的充分必要条件是能控性矩阵Wc=[BABLA-B]

的秩为n(即满秩)。

【定理3-2】由式(3-32)描述的线性定常离散系统，其输出

完全能控的充分必要条件是rank[CBCABLCAnlB]=m

【定理3-3】由式(3-32)描述的线性定常离散系统，其状态

完全能观的充分必要条件是能观性矩阵以=[CCBLC^B]

的秩为n(即满秩)。

(疗/岸斯亍

庐屈蛤一心曲」叁:电/Zk

酒露一第3章计算机捽制基础理论____________________

3)线性定常离散控制系统的可达性分析

【定义3-3]：对式(3-32),如果可以找到控制序列"(k),能在有限

时间NT内驱动系统从任意初始状态武0)到达任意期望状态x(N),则称该系统

是状态完全可达的。

应当指出，可控性并不等于可达性，可控性是可达性的特殊情况。如果系统

可达则一定可控，反之，如果系统状态可控则不能保证可达性。不加证明地直

接给出可达性的充分必要条件：

(1)对任何的n维系统，为使系统从以0到达％3),必须经过n步控制N=〃

(2)该方程系数矩阵必须满足下列条件：

NxN2

rankWR=rank[A-BA-BLB]=n

即%=[心血建-23匕例为非奇异，称％为可达性矩阵。离散系统可达