层次分析法介绍

2层次分析法2.1层次分析法的简单介绍层次分析法〔AnalyticHierarchyProcess简称AHP〕，是20世纪80年代由美国运筹学教授T.L.Satty提出的一种简便、灵活而又实用的多准那么决策方法，它根据问题的性质和要到达的目标分解出问题的组成因素，并按因素间的相互关系将因素层次化，组成一个层次结构模型，然后按层分析，最终获得最低层因素对于最高层〔总目标〕的重要性权值。在经营决策中经常会遇到多指标、多方案的综合比拟问题,由于经常出现多个方案互有好坏的情况。因此要从成百上千个指标、方案中选择最正确的组合方案就成了一个较为麻烦的问题。在实际应用中,尽管人们还不能解决多个方案的综合比拟问题,但是如果就2个方案之间进行比拟还是可以判断出相对好坏的。于是,设法在数学上找到1种方法,使之从多方案比拟过渡到两两之间的比拟,从而解决多方案比拟的问题,这就是AHP法的根本思想。2.2层次分析法的根本层次结构第一类：最高层，又称顶层、目标层。第二类：中间层，又称准那么层。第三类：最底层，又称措施层、方案层。层次结构图AA层次之间的支配关系是完全的结构模型层(二)层次之间的支配关系是不完全的结构模型2.3判断矩阵设要比拟个因素对目标的影响，从而确定它们在中所占的比重，每次取两个因素和用表示与对的影响程度之比，按1～9的比例标度来度量，个被比拟的元素构成一个两两比拟〔成比照拟〕的判断矩阵显然，判断矩阵具有性质：所以又称判断矩阵为正互反矩阵〔简称正互阵，又称成比照拟阵〕。现在，来看看如何确定的取值？T.L.Satty的做法是用数字1～9及其倒数作为标度〔见表2-1〕。选择1～9方法是基与下述根据：〔1〕在估计事物质的区别时，人们常用五种判断表示，即相等、较强、强、很强、绝对强。当需要更高精度时，还可以在相邻判断之间做出比拟，这样，总共有九个等级，它们有连贯性，便于在实践中应用。〔2〕心理学家认为，人们同时在比拟假设干个对象时，能够区别差异的心理学极限为个对象，这样它们之间的差异正好可以用九个数字表示出来。Satty还将1～9标度方法同另外一种26标度方法进行过比拟，结果说明1～9标度是可行的，并且能够地将思维判断数量化。表2-1判断值比拟关系强烈程度1相等3稍好于5明显好于7比好得多9极端好于1/3稍次于1/5明显次于1/7比次得多1/9绝对次于2，4，6，8及1/2，1/4，1/6，1/8表示强烈程度在相应相邻等级之间2.4一致性检验虽然通过两两成比照拟得到的判断矩阵不一定满足一致性，但人们还是希望能找到一个数量标准，用它来衡量矩阵A不一致的程度。假设，把一块单位重量的分成块，其重量分别为,那么在中所占的比重可按其重量排序，即为，与的相对重量为，这样就能得到判断矩阵显然，矩阵是满足一致性的互反矩阵，并且有记，那么即对于一致的判断矩阵而言，排序向量就是的特征向量。反之，假设是一致性的正互反矩阵，那么有性质：，，因此，即，这样的话，就有类似地可以证明是的属于特征根的特征向量，并且由于是相对变量关于目标的判断阵，故为诸对象的一个排序。除了以上性质外，一致的正互反矩阵还具有性质：的转置也是一致的；的每一行均为任意指定的一行的倍数，从而的最大特征根，其余的特征根为0；设的最大特征根对应有特征向量，那么由上面的性质有，当是一致阵时，，将对应特征向量标准化后，仍记为，即满足称为权向量。权向量在层次分析法中有很重要的作用，他表示在目标中的比重。关于正互反矩阵，根据Perron-Frobenius定理有结论：正互反阵存在正实数的最大特征根，这个特征根是单根，其余的特征根的模均小于它，并且这个最大的特征根有正的特征向量〔特征向量的每一分量皆为正〕。阶正互反矩阵是一致阵的充分必要条件是。这样假设判断矩阵不具有一致性，那么并且这时的权向量就不能真实地反映在目标中所占的比重，衡量不一致程度的数量指标被称作一致性指标，为由于，实际上相当于个特征根〔最大特征值除外〕的平均值。当然对于一个阵来说，一致性指标等于0，并且由此可以知的值越小越好。但是仅仅依靠值来作为判断矩阵是否具有较好的一致性的指标是不够的，因为可能产生的片面性跟问题的因素多少、规模大小有关，即随着值的增大误差将增大。为此，Satty又提出平均随机一致性指标对于固定的，随机构造正互反矩阵，其中，是从中随机抽取的，这样的最不一致，取充分大的子样〔500个样本〕得到的最大特征根的平均值定义令，称为随机一致性比率，当时，认为判断矩阵具有满意的一致性，否那么就需要调整判断矩阵，使之具有满意的一致性。组合的随机一致性比率其中为准那么层-目标层的随机一致性比率是准那么层-目标的权数向量，是方案层对准那么层各元素的值2.6层次单排序和层次总排序当判断矩阵为一致性矩阵时，可以用它对应于特征根入的特征向量作为被比拟因素的权向量，当判断矩阵根本符合完全一致性条件，不一致程度可接受，能够允许其特征向量作为权数向量，否那么要重新成比照拟，对判断矩阵加以调整。当方案小于等于两个时不用考虑一致性问题，当方案越多，其不一致程度就越大，越大判断矩阵的不一致程度越严重。所谓层次单排序是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权数。它是本层次所有因素相对于上一层次而言的重要性进行排序的根底。层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题即对判断矩阵，计算满足的特征根与特征向量。式中为的最大特征根；为对应于的正规化特征向量；的分量只是相应因素单排序的权值。层次总排序利用同一层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言本层次所有因素重要性的权数，这就是层次总排序。层次总排序需要从上而下逐层顺序进行，对于最高层下面的第二层，其层次单排序即为总排序，假定上一层所有因素得到的总排序已完成，得到的权数分别为：，与对应的本层因素单排序结果为：这里，假设与无关那么层次总排序如表2-2所示。显然即层次总排序仍然是归一化正规向量。表2-2层次层次的总排序此外最后的层次总排序及一致性检验还可以