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文档简介
玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题、填空题高端精品一、方法综述形如求等的问题称为“双重最值问题”.按其变元的个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题.在本文中,提供一个常用的结论,取不同的值可得到很多命题.一个结论:设,,,,为正常数,则(1);(2).证明:设,则,,,所以,当且仅当时取等,即.二、解题策略一、一元双重最值问题1.分段函数法:分类讨论,将函数写成分段函数形式,求函数值域即可.例1.对于a,bR,记Max{a,b}=,函数f(x)=Max{,}(xR)的最小值是()(A).(B).1(C).(D).2【答案】C【解析】f(x)=Max{,}=,其图象如下图,故答案为.2.数形结合法:分别画出几个函数图象,结合图象直接看出最值点,联立方程组求出最值.例2.已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max,H2(x)=min(max表示p,q中的较大值,min表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=()A.16B.-16C.a2-2a-16D.a2+2a-16【答案】B(2)当a﹣2≤x≤a+2时,H1(x)=max{f(x),g(x)}=g(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=f(x);(3)当x≥a+2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x),故A=g(a+2)=﹣[(a+2)﹣(a﹣2)]2﹣4a+12=﹣4a﹣4,B=g(a﹣2)=﹣4a+12,∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣(﹣4a+12)=﹣16.故选B.【解题秘籍】熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键.学&科网二、多元一次函数的双重最值问题1.利用不等式的性质例3.设(,,,,),,,求的最小值.2.利用绝对值不等式例4.求函数在区间上的最大值的最小值.解:注意到,且,所以,当且仅当,即时,取得最小值.3.利用均值不等式例5.设max{f(x),g(x)}=,若函数n(x)=x2+px+q(p,q∈R)的图象经过不同的两点(,0)、(,0),且存在整数n使得n<<<n+1成立,则()A.max{n(n),n(n+1)}>1B.max{n(n),n(n+1)}<1C.max{n(n),n(n+1)}>D.max{n(n),n(n+1)}>【答案】B4.利用柯西不等式例6.若,,且,求.解:设,则,,,由柯西不等式得,当且仅当取等,即.5.分类讨论例7.若,,求的值.解:设,则,,,=1\*GB3①当时,,,当且仅当时取等;=2\*GB3②当时,,,当且仅当时取等.综上,,当且仅当时取等,即.6.待定系数法例8.若,,求的值.7.构造函数例9.设,,,(),求.解:注意到为次函数且,联想到三倍角公式,因此先构造特殊函数,,若设,,则,从而,当且仅当,,,,即或时取等,故猜测.设,注意到(可用待定系数法求得),故,即,考虑到,时,,故.8.利用韦达定理例10.若,,且,,求.解:注意到,,的对称性,故可设,又,,所以方程有两个不大于的实根,故,当,时,.9.数形结合例11.【2019山西实验中学月考一】设f(x)=min{2x,16﹣x,x2﹣8x+16}(x≥0),其中min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则f(x)的最大值为()A.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】画出y=2x,y=16﹣x,y=x2﹣8x+16的图象,观察图象可知,当x≤2时,f(x)=2x,当2<x<7时,f(x)=x2﹣8x+16,当x7时,f(x)=16﹣x,f(x)的最大值在x=7时取得为9,故选D.三、强化训练1.【2019广东中山一中第一次段考】已知定义在上的函数在上是减函数,当时,的最大值与最小值之差为,则的最小值为()A.B.1C.D.2【答案】B2.【2019湖南衡阳一中10月月考】已知=min{},则的值域是()A.B.C.D.【答案】B【解析】,在同一坐标系中分别作出,,的图象,则,,的图象都过点,如图所示:则由图象可知函数的值域为,故选.3.记min{a,b}为a,b两数的最小值.当正数x,y变化时,令,则t的最大值为________.【答案】4.已知max(a,b)表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为________.【答案】【解析】f(x)=当x≥1时,f(x)=ex≥e(x=1时,取等号);当x<1时,f(x)=e|x-2|=e2-x>e,因此x=1时,f(x)有最小值f(1)=e.5.【2019浙江杭州学军中学期中考】设max{a,b}表示a,b两数中的最大值,若f(x)=max{|x|,|x-t|}关于x=1对称,则t=______.【答案】2【解析】f(x)=max{|x|,|x﹣t|},由函数y=|x|的图象关于x=0对称,函数y=|x﹣t|的图象关于x=t对称,即有函数f(x)的图象关于x对称,f(x)=max{|x|,|x﹣t|}关于x=1对称,即有1,求得t=2,故答案为:2.学&科网6.【2018广东汕头模拟】定义为中的最大值,函数的最小值为,如果函数在上单调递减,则实数的范围为__________【答案】7.对任意两实数a、b,定义运算“max{a,b}”如下:max{a,b}=,则关于函数,下列命题中:①函数f(x)的值域为[,1];②函数f(x)的对称轴为,;③函数f(x)是周期函数;④当且仅当x=2kπ(k∈Z)时,函数f(x)取得最大值1;⑤当且仅当时,f(x)<0;正确的是______________________(填上你认为正确的所有答案的序号)【答案】①②③8.【2015浙江高考】设,在上的最大值为,求证:当时,.【解析】,所以.9.设,若对任意的,存在使得,求的最大值.【解析】由题意即为的最大值.,等号当且仅当或时成立,又,所以,的最大值为.10.若,,,求的值.【解析】设,则,,,,当且仅当时取等,即时,.11.设,求的最小值.【解析】12.若实数,,满足,,求.【解析】注意到,,的对称性,不妨设,由
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