卷04（北京卷）-2021届高考数学冲刺模拟测试卷（解析版）

卷04（北京卷数学）-2021届高考数学冲刺模拟测试卷

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,

选出符合题目要求的一项。

若集合2则

1.A={xeZ|-l<x<2},B={X|X-2X=0},AB=（）

A.{0}B.{0,1}C,{0,1,2}D.{-1,0,1,2）

【答案】C

【分析】

化筒集合，再求并集即可.

【详解】

A={0,l},8={0,2}AB={0,l,2}

故选：C

【点睛】

本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.

2.若复数z满足二=i,则z对应的点位于（）

1+z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】

利用复数的四则运算化简复数z,确定对应复平面的点，即可得出答案.

【详解】

Z=i（l+i）=-1+i,其对应复平面的点为（一1,1）,在第二象限

故选：B

【点睛】

本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题.

3.圆（x-iy+y2=2的圆心到直线x+y+l=O的距离为（）

A.2B.J2C.1D.—

2

【答案】B

【分析】

由圆的方程得出圆心坐标，利用点到直线的距离公式得出答案.

【详解】

圆（x-1了+V=2的圆心坐标为（1,0）

I1+0+1IFT

则圆心（1,0）到直线x+y+1=0的距离d=,-二_=V2

VI2+12

故选：B

【点睛】

本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，属于中档题.

4.下列函数中，既是奇函数又在区间（0,+8）上单调递减的是（）

,1

A.y=-jc+2B.y=2~xC.y=lnxD.y=-

【答案】D

【分析】

根据函数的奇偶性及单调性对4个选项一一判断，即可得出答案.

【详解】

2

由基本函数的性质得：y=—V+2为偶函数，丁=2-'为非奇非偶函数，y=lnx为非奇非

偶函数，y=：为奇函数，且在区间（O,"）上单调递减.

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题目.

5.已知圆C与圆（万-1）2+丁=1关于原点对称，则圆C的方程为（）

A.x2+y2=lB.?+（y+l）2=l

C.Jt2+（y-l）2-lD.（x+l）2+y2=i

【答案】D

【分析】

利用对称性，可得点。坐标以及圆c的半径，然后可得结果.

【详解】

由题可知：圆C的圆心。（一1,0）,半价为1,所以圆C的方程为：（x+iy+y2=l

故选：D

【点睛】

本题考查圆的方程，直观形象，简单判断，对圆的方程关键在于半径和圆心，属基础题.

6.“割圆术”是我国古代计算圆周率乃的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家

刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求4.当时刘微就

是利用这种方法，把R的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率左

的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的,

用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不

可割，则与圆合体，而无所失矣这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这

种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率乃，则乃

的近似值是（）（精确到（）.01）（参考数据sin15°«0.2588）

S26¥

951

嘉

、

"、

秀00

64

6'2

>V6

34

-*2

冤$

*3

S

O

A.3.05B.3.

c1D4

3.13.

【分析】

假设圆的半径为r,根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，顶

角为随，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果.

24

【详解】

设圆的半径为r,

以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形且顶角为也=15

24

1,

所以正二十四边形的面积为24・一"・r・sinl5=12户sinl5

2

所以12/sin15=%r2=%=5sinl5»3.11

故选：c

【点睛】

本题考查分割法的使用，考验计算能力与想象能力，属基础题.

7.已知点A（2,a）为抛物线y2=4x图象上一点，点尸为抛物线的焦点，则目等于（）

4

A.3B.2V2C.2D.V2

【答案】A

【分析】

由抛物线焦半径公式可直接求得结果.

【详解】

由抛物线方程知：F(1,O),.'.|AF|=2+1=3.

故选：A.

【点睛】

本题考查抛物线焦半径的求解，关键是熟练应用抛物线的定义得到焦半径公式.

8.若函数〃x)=sin2x的图象向右平移2个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)

在区间［0,可上单调递增，则a的最大值为()

5不n7兀2乃

A.----B.—C.----D.—

122123

【答案】A

【分析】

根据三角函数平移变换可求得g(x),利用代入检验的方式得到整体的范围，根据正

弦函数单调区间可构造不等式求得结果.

【详解】

/(X)向右平移?个单位得：^(x)=/X--=sin2x~~,

1兀万冗

当x£r［0,a］时，2天一耳£——,2a——,

33

g(x)在［0,a］上单调递增，.，.一耳v2a—］K］,解得：0<〃<法",

・••”的最大值为一.

12

故选：A.

【点睛】

本题考查根据正弦型函数的单调性求解参数范围的问题，涉及到三角函数的平移变换问题;

关键是能够熟练应用整体对应的方式，结合正弦函数的单调区间来构造不等式求得结果.

9.如图，阴影表示的平面区域W是由曲线x-y=O,/+：/=2所围成的.若点P（x,y）

在W内（含边界），则z=4x+3y的最大值和最小值分别为（）

A.5VLTB.572--572C.7,-572D.7,-7

【答案】A

【解析】

【分析】

根据目标函数表示直线，结合图象确定可行域，确定最优解，即得结果.

【详解】

41_4

目标函数z=4x+3y化为：y=--x+-z,回出y=的图象，并平移，如图，

当平移到与圆相切时，目标函数在y釉上的截距最大，由圆心0到直线z=4x+3y距离d

=H=|=V2.得z的最大值为5JL

6

冗一y=0

当平移到直线与圆的交点B时，目标函数在y轴上的截距最小，由+得B点坐

标为(-1,—1),所以，z的最小值为一7,

故选：A

【点睛】

本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基本题.

「9~

10.函数/(x)=x,g(x)=%2-x+2.若存在百,工2,…,X”C0,-，使得

〃与)+/(%2)+…+/(/T)+g(x.)=g(%)+g(W)++g(x.T)+/(X")，则〃的最

大值是()

A.8B.1]C.14D.18

【答案】C

【分析】

「9

令7?(%)=/-2*+2,原方程可化为存在芯,々，…,X”e0,-,使得

为(％)+/?(W)+…+〃(4_1)=7?(玉)，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得〃的

最大值.

【详解】

-9一

因为存在玉,刀2,…,X”€0,-,

使得/(x)+/(w)+…+/(x,i)+g(x,J=ga)+g(w)++g(ZT)+/(x”)，

故片-2x,+2++x：i-2x〃[+2=x；—2x+2.

「9l53

令〃(%)=幺-2x+2,xe0,—,则14〃(％)4彳，

5353

故〃一1<x；—2玉+2++—2xn_t+2<—(/?-1),因为

53

—,故〃皿=14・

故选：C.

【点睛】

本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到

〃满足的条件，本题属于较难题.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.在等差数列｛叫中，=3,«2+«5=16,则数列｛%｝的前4项的和为.

【答案】24

【分析】

利用等差数列基本量关系求通项.利用等差数列前〃项和公式求出s„.

【详解】

设等差数列的公差为

%+%=16,4+d+4+4d=16,4=3,

:.d=2,\=4+(〃-l)d=3+(〃-1)?22〃+1,

8

=4（…）=g=24.

422

故答案为：24

【点睛】

本题考查解决等差数列通项公式及前〃项和S“.

（1）等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项

公式4=4+（〃—l）d和前〃项和公式S”=幽詈1=〃4+四产■,在两个公式中共

涉及五个量：%,d,n,an,S„,已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程（组）可求出

剩余的两个量.

12.能够说明“设。，匕是任意非零实数"，若"a＞b,则工＜?”是假命题的一组整数a,匕的

ab

值依次为.

【答案】2,一1；（答案不唯一）

【分析】

取。=2/=-1,再使用反证法即可得出答案.

【详解】

取。=2,6=-1,则。＞匕，但是，＞—,即一＞—.

2-1ab

故答案为：2,-1.

【点睛】

本题考查了真假命题的定义及反例的应用，属于基础题目.

13.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，

记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教

师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级

教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否

把我计算在内，以上条件都成立.”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是—.

【答案】小学中级

【分析】

设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a,b,Gd，根据条件列不等式组,

推出a,bed取法，根据取法推测队长的学段及职称.

【详解】

设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为

则a+6+c+d=13,dNl,c+d«a+b,b<c,a<6

所以13—（。+方）Wa+）,：.。+方27,c+dW6,

若。+0=7,则。+”=6,a<b:.a=3,b=4,c=5,d=1,

若。+匕28,则c+dW5,</>1c<4,匕（c.•.匕《3,a25）。矛盾

队长为小学中级时，去掉队长则a=2/=4,c=5,d=l,

满足d=\>\,c+d=6<a+b=4,b=4<c=5,a—2<b=4-

队长为小学高级时，去掉队长则a=3,〃=3,c=5,d=l,不满足。<匕；

队长为中学中级时，去掉队长则a=3,b=4,c=4,"=l,不满足8<c；

队长为中学高级时，去掉队长则。=3,匕=3,c=5,Q=0,不满足dNl；

综上可得队长为小学中级.

【点睛】

本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.

14.二项式（2x—的展开式共有7项，则〃=；常数项为

10

【答案】6-160

【分析】

由展开式的项数可确定〃=6,令展开式通项中的x的幕指数等于零可求得乙代入展开式

的通项公式可求得常数项.

【详解】

(1Y

2x--展开式共有7项，.•.〃=6；

2x——展开式的通项公式为=最(2x)6-'(_1)，.26-「玛声2「

令6—2厂=0,解得：r=3,

2x--展开式的常数项为n=-23(^=-160.

Ix)

故答案为:6；-160.

【点睛】

本题考查利用二项式定理求解指定项的问题，涉及到根据展开式的项数求解某指数的问题;

关键是熟练掌握二项展开式通项公式的形式.

ln(x+2),x>—1,

15.设函数={,当/(&)=-1时，。=—；如果对于任意的xeR

-2.x-4,x<—1.

都有f(x)N)，那么实数b的取值范围是一.

3

【答案】一7(一°0,-2]

2

【分析】

由分段函数解方程可得〃的值；由对数函数和一次函数的单调性，可得/(x)的值域，由不

等式恒成立思想可得匕的范围.

【详解】

若论一1,则有ln（〃+2）=—l,解得：a=—2<—1,不符；

3

若aV—1,则有一2a—4=-1,解得：a=<—I,符合题意，

2

3

所以，a=——；

2

画出函数的图象，由图可知/（X）的值域为（-2,+00）,对于任意的x£R都有/CO>bf

则有匕<〃）而，所以，b<-2

3

故答案为一5，（-8,-2].

【点睛】

本题考查分段函数的运用：求自变量和值域，考查不等式恒成立问题的解法，考查运算能力,

属于基础题.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题13分）

已知锐角ABC,同时满足下列四个条件中的三个：

jr1

①4=—②a=13③c=15④sinC=-

33

（1）请指出这三个条件，并说明理由；

（2）求ABC的面积.

12

【答案】（1）ABC同时满足①，②，③，理由见解析.（2）3M

【分析】

（1）判断三角形的满足条件，推出结果即可.

（2）利用余弦定理求出b,利用面积公式求解ABC的面积.

【详解】

（1）ABC同时满足①，②，③.

理由如下：

若A3C同时满足①，④，则在锐角ABC中，

sinC=-<-,所以（）<C（工

326

,JIJrI'ft

又因为A=K，所以=<A+C<K所以5>—,这与ABC是锐角三角形矛盾，

3322

所以A3C不能同时满足①，④，所以A3C同时满足②，③.

因为c>a所以C〉A若满足④.

TTTT

则A<C<7•，则8>—,这与A3C是锐角三角形矛盾.故A3C不满足④.

62

故A3C满足①，②，③.

（2）因为储=/+。2一2bccosA，所以132=尸+152-2xbxl5x；.

解得〃=8或8=7.

724-132-152

当b=7时，cosC=———<0.所以C为钝角，与题意不符合，所以6=8.

2x7x13

所以ABC的面积S=L/?csinA=30j^.

2

【点睛】

本题主要考查解三角形中余弦定理的应用及面积公式的应用，属于中档题目.

17.(本小题13分)

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA_L平面ABCD,E、F分别是BC,

PC的中点，AB=2,AP=2,.

(1)求证：3。_L平面PAC；

(2)求二面角E—AE—C的大小.

【答案】(I)见解析(2)；

6

【详解】

PA±平面ABC。=>PA±BD

(1)正方形46C£>nAC_LB£>

=>80,平面P4C

(2)以A为原点，如图所示建立直角坐标系

A(0,0,0)£(2,l,0)F(l,l,l)

AE=(2,l,0)AF=(l,l,l)"

14

2x+y=0

设平面FAE法向量为n=(x,y,z)，则｛

x+y+z=0

n=(l,-2,l),BD=(-2,2,0)，

n-BD2+4V3

COSen=---------=-L尸=——

\n\\BD\2yj2y2

.•.。=生，即二面角E—AF-C的大小为£

66

18.(本小题14分)

为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我

健康，我快乐”的跳绳、踢键等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样

的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的

5名学生的测试数据(单位：个/分钟)：

学生编号12345

跳绳个数179181168177183

踢犍个数8578797280

(1)求高一、高二两个年级各有多少人？

(2)设某学生跳绳6个/分钟，踢健〃个/分钟.当机2175,且〃275时，称该学生为“运动

达人”.

①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人''的概率；

②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的

人数4的分布列和数学期望.

39

【答案】(1)196人，140人；⑵①二；②分布列见解析，£«)=-

【分析】

⑴按照比例求解即可；

(2)①根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解；

②找出4可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到J的期望.

【详解】

(1)设高一年级有a人，高二年级有6人.

有，=』

采用分层抽样,L=，±

3361233612

所以高一年级有196人，高二年级有140人.

(2)从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1,2,5的学生是“运动达人”.

3

故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为二.

(3)J的所有可能取值为L2,3.

r'C23C2cl3C31

—D=—太=《"3)=才历

所以J的分布列为

123

331

P

10510

3319

故4的期望49=1'6+2、彳+3、6=1.

JLV/。JLV_z〜7

【点睛】

本题主要考查了分层抽样各层个数的求法以及求离散型随机变量的均值，属于中档题.

19.(本小题15分)

已知函数/(x)=lnx---1.

(1)若曲线y=/(x)存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；

(2)求“X)的单调区间;

16

Y*_i_a

(3)设函数g(x)=三求证：当一l<a<0时,g(x)在(1,内)上存在极小值.

【答案】(1)(—,0).(2)答案见解析；(3)证明见解析.

【详解】

试题分析：

(1)求出函数的导数，问题转化为必+%+4=0存在大于0的实数根，根据y=d+x+a

在x〉0时递增，求出。的范围即可；

(2)求出函数的导数，通过讨论。的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；

(3)求出函数g(x),根据/(e)=-?>0,得到存在％w(l,e),满足g'(%o)=O,从而

让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可.

试题解析：

(1)由/(x)=lnx_?_l得/(x)=J+/=^^(x>0).

由已知曲线y=/(x)存在斜率为-1的切线，所以/。)=-1存在大于零的实数根，

即V+%+a=0存在大于零的实数根，因为y=d+%+。在%>0时单调递增，

所以实数a的取值范围(-8,0).

(2)由/'(*)=史",%>0,4€7?可得

当。2()时，/'(x)>0,所以函数“X)的增区间为(0,+8);

当"0时，若xe(-a,+oo),/'(x)>0,若xe(0,-a),/'(x)<0,

所以此时函数/(x)的增区间为(一。,田)，减区间为(0,一。).

,a1

x+aInx----1

(3)由g(x)=x

Inxzw

(叫2

由一1<"0可得0<—a<l,由⑵可知函数在(-凡物)上递增,

所以7(1)=一取x=e，显然e>l,

/(e)=ln£----l=-->0,所以存在玉w(l,e)满足/(玉))=0,即存在与e(l,e)满足

g'(xo)=O,所以g(x),g'(x)在区间(1,+oo)上的情况如下：

x(l,x0)xQ(x0,+oo)

g'(x)-0+

g(x)、极小/

所以当-1<av0时,g(x)在(1,+00)上存在极小值.

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知

识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向

及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的

几何意义，往往与解析儿何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；

已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形

结合思想的应用.

20.(本小题15分)

已知椭圆C：f+3y2=6的右焦点为尺

(1)求点尸的坐标和椭圆C的离心率；

(2)直线/:y=反+0)过点尸，且与椭圆C交于P,Q两点，如果点P关于x轴的

对称点为P，判断直线户。是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经

过，说明理由.

【答案】(1)焦点尸(2,0),离心率e=曰(2)是过x轴上的定点；定点(3,0)

【分析】

18

（1）由椭圆的标准方程即可得出;

（2）直线/:丁=依+加化wO）过点凡可得/:y=Z（x-2）,代入椭圆的标准方程可得：

（342+1卜2_]2左28+12公一6=0.（依题意4〉0）.设P（XQJ,。（々，乂），可得根与

系数的关系，点P关于x轴的对称点为尸’，则P（玉,-x）.可得直线P0的方程可以为

丁+凹=生生（》一百），令y=0,x=&"-十九+%=+石必，把根与系数的关

马一百y+%乂+%

系代入化简即可得出.

【详解】

22

（1）椭圆。：二+二=1,.•"2=/—〃=4,解得C=2,

62

・•・焦点尸（2,0）,离心率e邛.

（2）直线/:y=^r+m（左H0）过点凡

:.m=-2k,:.l:y=k（x-2）.

由一+3；V—，，得（3左2+1卜2_]2左2X+]2左2一6=0.（依题意/>0）.

y=k[x-2）'7

设P@，x）,Q（肛％），则，当飞二空1-

3K十13K十1

点P关于无轴的对称点为P,则P（%,一%）.

直线P'Q的方程可以设为y+y=??（x—x）,

令y=0,.出口b+―X+—

■y+为X+%

kx2（xt-2）+（x2-2）2%也一2（为+%）

k（^x]+x2—4）+x2—4）

2X^6-2X12公

3A2+1|EZ1=3

12公彳

3FZ1-4

直线P'Q过x轴上定点（3,0）.

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的离心率、椭圆中的定点问题，考查学生

的数学运算求解能力，是一道中档题.

21.（本小题15分）

设〃为给定的大于2的正整数，集合S={1,2,已知数列4：毛满足

条件:

①当时，x（.e5；

②当14i</4〃时，天工龙八

如果对于14i</4〃，有七〉七，则称（七,勺）为数歹U4的一个