期末测试压轴题模拟训练（三）（解析版）（人教版）

期末测试压轴题模拟训练（三）一、单选题1．若关于的不等式组有且仅有有4个整数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（）A．－4 B．－3 C．－2 D．9【答案】C【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴该不等式组的解集为：∵该不等式组有且仅有4个整数解，∴，解得：，解分式方程，得，∵分式方程有整数解即：是整数且，∴的值是：-3，1，∴它们的和为-2；故选：C．2．如图，点，，在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点、，交于点，连接，．下列结论：①；②；③为等边三角形；④平分．其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，

在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，

∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，∴②正确；

在△ABP和△DBQ中，，∴△ABP≌△DBQ（ASA），

∴BP=BQ，∴△BPQ为等边三角形，∴③正确；

∵△ABE≌△DBC∴AE=CD，S△ABE=S△DBC，∴点B到AE、CD的距离相等，∴B点在∠AMC的平分线上，

即MB平分∠AMC；∴④正确；故选：D．3．如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．故选：C．4．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜1，n＞0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，则m的取值范围是（）A．0＜m＜2 B．2＜m＜3 C．m＜3 D．m＞3【答案】B【详解】解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，∵点A（0，2），∴AO＝2，∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，∴0＜a＜1，∵OD＝OB+BD＝2+a＝m，∴2＜m＜3，故选：B．5．若关于x的不等式组恰有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，∴原不等式组的解集为：，该不等式组恰有3个整数解，该不等式组的整数解为：2，3，4，则，解得：，∴整数a的值为0，1，2，3，4，解分式方程得：且，该分式方程有非负整数解，∴将整数a的值0，1，2，3，4分别代入，得：当时，（不是整数，不符合题意，舍去），当时，（是整数，符合题意），当时，（不是整数，不符合题意，舍去），当时，（是整数，但与矛盾，故不符合题意，舍去），当时，（不是整数，不符合题意，舍去），综上所述，符合条件的整数a的值为1，∴符合条件的所有整数的和是1．故选：A．二、填空题6．如图，在中，，、分别为和的角平分线，的周长为20，，则的长为________________．【答案】8【详解】∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABC，∵∠ABC=2∠C，∴∠CBE=∠C，∴BE=CE，∴BE+AE=CE+AE=AC…①，过点D作DF//BE交CE于点F,如图所示：则∠CDF=∠CBE，∠AFD=∠AEB，∴∠CDF=∠CBE=∠C∴DF=CF∵∠AEB=∠C+∠CBE=2∠C，∴∠AFD=2∠C，∴∠ABC=∠AFD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD与△AFD中,，∴△ABD≌△AFD(AAS)，∴AB=AF，BD=DF，∴DF=BD=CF∴AB+BD=AF+DF=AF+CF=AC…②，由①②可得，BE+AE=AB+BD；∵△ABE的周长为20，BD=4，∴AB+BE+AE=AB+BD+AB=20，∴AB=8；故答案为：8.7．在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案（如图（3））．下列步骤：（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为_______；（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），此图形的周长为_________；（3）重复上述的作法，图（1）经过第_________次分形后得到图（3）的图形；（4）观察探究：上述分形过程中，经过n次分形得到的图形周长是____，面积是____．【答案】2【详解】（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为；（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），原图形的周长为4a，观察图形，发现对正方形每进行1次变化，周长增加1倍，故此时图形的周长为；（3）重复上述的作法，图（1）经过第2次分形后得到图（3）的图形；（4）观察探究：上述分形过程中，对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变．∴经过n次分形得到的图形周长是4a×2n=，面积是．故答案为；；2；；．8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥于E，当点P运动_________秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为顶点的三角形全等．【答案】1或或12【详解】解：分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC=6-t，QC=8-3t，∵PE⊥l，QF⊥l，∴∠PEC=∠QFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，∴∠EPC=∠QCF，∵△PCE≌△CQF，∴PC=CQ，即6-t=8-3t，∴t=1；②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC=t-6，QC=3t-8，∵由①知：PC=CQ，∴t-6=3t-8，∴t=1；∴t-6＜0，即此种情况不符合题意；③当P、Q都在AC上时，如图3，CP=6-t=3t-8，∴t=；④当Q到A点停止，P在BC上时，AC=PC，t-6=6，∴t=12．⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；答：点P运动1或或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为顶点的三角形全等．故答案为：1或或12．三、解答题9．综合与实践（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，且，且，利用（1）中结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______；（3）类比探究：如图3，中，，，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至，连接，求的面积（４）拓展提升：如图4，点B，C在的边AM，AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是、的外角，已知，，求证：（5）拓展应用：如图5，在中，，，点D在边BC上，，点E、F在线段AD上，，若的面积为15，则与的面积之和为______．【答案】（1）AAS；（2）50；（3）8；（4）见解析；（5）5【详解】解：（1）如图1中，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，故答案为：AAS．（2）如图2中，∵，，，，由（1）得：，，∴，，，，∴故答案为50.（3）如图3，过点作于E，由旋转得：，∵，由（1）可知，∴，∴．（4）如图4中，∵，，，，∴，，在和中，，∴，∴，，∴．（5）如图5中，∵的面积为15，，∴的面积是：，由图4中证出，∴与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积是5.10．阅读理解：如图，中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分：将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，无论折叠多少次，只要最后一次折叠恰好重合，就被称为是的好角．探究发现：小丽和小亮展示了确定是的好角的两种情形．小丽展示的如图，沿等腰三角形顶角的平分线折叠，点与点重合；小亮展示的如图，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点重合．（1）问题解决：图中与的关系为______，图中与的关系为______．（2）小丽又经过三次折叠发现了是的好角，请探究与（不妨设）之间的等量关系为______．根据以上内容猜想：若经过次折叠是的好角，则与（不妨设）之间的等量关系为______．（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为，，，发现和的两个角都是此三角形的好角．如果以为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠，如果以为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠．（4）应用提升：如果一个三角形的最小角是，若使该三角形的三个角均是此三角形的好角，则三角形另外两个角的度数是多少？请以（______，______）的形式写出所有可能的结果；【答案】（1）；；（2）；；（3）7次，4次；（4）16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°．【详解】解：（1）∵折叠后，B，C重合，∴∠B=∠C；∠B=2∠C，小丽展示的情形二中，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C．故答案为：∠B=∠C，∠B=2∠C．（2）在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．故答案为：∠B=3∠C，∠B=n∠C．（3）当以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，当以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次．故答案为：7，4．（4）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∵最小角是4°是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整数）．由题意，得4m+4mn+4=180，∴m（n+1）=44，∵m，n都是正整数，∴m与n+1是44的整数因子，因此有：m=4，n=10或m=11，n=3或m=22，n=1或m=2，n=21或m=1，n=33，；当m=4，n=10时，4m=16°，4mn=160°；当m=11，n=3时，4m=44°，4mn=132°；当m=22，n=1时，4m=88°，4mn=88°；当m=2，n=21时，4m=8°，4mn=168°；当m=1，n=4